第十四章全等三角形大單元教學(xué)設(shè)計(jì)

一大單元主題背景分析（教材分析）—

教材地位與作用

全等三角形是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，承接了三角形的基本概念和性質(zhì)，是后續(xù)

學(xué)習(xí)四邊形、相似二角形等知識(shí)的基礎(chǔ).通過(guò)對(duì)全等二角形的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠深入理解圖形的性質(zhì)和判定方

法，體會(huì)數(shù)學(xué)中的邏輯推理和證明過(guò)程，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí)，全等三角形在實(shí)際

生活中也有廣泛的應(yīng)用，如建筑設(shè)計(jì)、測(cè)量等領(lǐng)域，能夠幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活緊密聯(lián)系起來(lái)，

提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

2022版初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，致力「培養(yǎng)學(xué)生“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察

現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.在全等三角形這一單元的教學(xué)中，

通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)全等三角形的特征和判定方法，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和抽象

能力，發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的素養(yǎng)；在證明全等三角形的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理和演繹

證明，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界的素養(yǎng)；要求學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言書(shū)寫(xiě)證明

過(guò)程，闡述全等三角形的性質(zhì)和判定依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的素養(yǎng).此外，通過(guò)解決與全等三

角形相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，落實(shí)新課標(biāo)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求.

學(xué)情分析

學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的基本概念、分類(lèi)以及一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)，對(duì)三角形有了一定的認(rèn)識(shí)和理

解，具備了初步的幾何思維和空間觀念.但對(duì)于全等三角形這種特殊的三角形關(guān)系，學(xué)生需要進(jìn)一步深入探

究其本質(zhì)特征和判定方法.八年級(jí)的學(xué)生正處于從形象思維向抽象思維過(guò)渡的階段，對(duì)直觀、生動(dòng)的教學(xué)活

動(dòng)比較感興趣，但在邏輯推理和抽象概括方面還需要進(jìn)一步加強(qiáng)訓(xùn)練.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，部分學(xué)生可能在理解

全等三角形的判定條件以及進(jìn)行證明時(shí)會(huì)遇到困難，需要教師給予更多的引導(dǎo)和幫助.

------單元教學(xué)目標(biāo)------------------------------

知識(shí)與技能

1.學(xué)生能夠理解全等三角形的概念，準(zhǔn)確識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

2.熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，艮」全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

3.經(jīng)歷探索三角形全等判定方法的過(guò)程，掌握“邊邊邊"（SSS）、“邊角邊”（SAS）、“角邊角”（ASA）、

“角角邊"（AAS）以及“斜邊、直角邊"（HL）等判定定理，并能運(yùn)用這些定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算.4.

能夠用尺規(guī)作圖的方法，如作一個(gè)角等于已知角、已知三邊作三角形、已知兩邊及夾角作三角形、已知兩

角及夾邊作三角形、作已知角的平分線等，并理解尺規(guī)作圖的原理.

5.理解角平分線的性質(zhì)和判定定理，并能運(yùn)用它們解決相關(guān)問(wèn)題.

數(shù)學(xué)思考

1.通過(guò)對(duì)全等三角形概念、性質(zhì)和判定方法的探究，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從具體的圖形

中抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律.

2.在證明全等三角形的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有條理的思考和邏輯推理，培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，使學(xué)

生能夠清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)自己的推理過(guò)程.

3.鼓勵(lì)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中嘗試不同的方法和思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，提高學(xué)生分析問(wèn)題和

解決問(wèn)題的靈活性.

問(wèn)題解決

1.能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出全等三角形的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中的測(cè)量、設(shè)計(jì)

等問(wèn)題，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

2.經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和自主探究能力，讓學(xué)生

學(xué)會(huì)與他人合作交流，共同解決問(wèn)題.

3.通過(guò)對(duì)一些復(fù)雜問(wèn)題的探究，培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，使學(xué)生能夠?qū)⑷热切蔚闹R(shí)與其他

數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，靈活運(yùn)用.

情感態(tài)度

1.通過(guò)豐富多彩的教學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生在探索全等三角形奧秘的過(guò)程中體驗(yàn)到成

功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

2.培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度和科學(xué)精神，使學(xué)生在證明和計(jì)算過(guò)程中做到步步有據(jù)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)

習(xí)慣.

3.在合作學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和交流能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞他人，尊重他人的意見(jiàn)和想法.

------學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)■

活動(dòng)一全等三角形及其性質(zhì)

活動(dòng)二全等三角形的判定

活動(dòng)三尺規(guī)作圖

活動(dòng)四角的平分線的性質(zhì)和判定

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

過(guò)程性評(píng)價(jià)

?課堂表現(xiàn)評(píng)價(jià)：觀察學(xué)生在課堂上的參與度，包括是否枳極回答問(wèn)題、主動(dòng)參與小組討論、提出有價(jià)

值的觀點(diǎn)等.對(duì)于積極參與課堂活動(dòng)的學(xué)生給予及時(shí)的肯定和表?yè)P(yáng)，對(duì)于參與度不高的學(xué)生要了解原因，鼓

勵(lì)他們積極參與.

?作業(yè)評(píng)價(jià)：認(rèn)真批改學(xué)生的作業(yè)，對(duì)作業(yè)的完成情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，包括作業(yè)的正確性、規(guī)范性、完整性

等方面.對(duì)于作業(yè)完成優(yōu)秀的學(xué)生進(jìn)行展示和表?yè)P(yáng)，對(duì)于作業(yè)中存在的問(wèn)題及時(shí)反饋給學(xué)生，要求他們認(rèn)真

訂正，并進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo).

?小組活動(dòng)評(píng)價(jià)：在小組活動(dòng)中，觀察學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力、溝通能力和解決問(wèn)題的能力.對(duì)小組活動(dòng)的

成果進(jìn)行評(píng)價(jià)，包括小組討論的深度、方案的合理性、展示的效果等方面.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組內(nèi)的自

我評(píng)價(jià)和互評(píng)，促進(jìn)學(xué)生共同進(jìn)步.

?課堂小測(cè)驗(yàn)：定期進(jìn)行課堂小測(cè)驗(yàn)，檢測(cè)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況.小測(cè)驗(yàn)的題目要涵蓋本節(jié)課的重

點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，題型要多樣化，包括選擇題、填空題、解答題等.通過(guò)小測(cè)驗(yàn)，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，

發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題，調(diào)整教學(xué)策略.

終結(jié)性評(píng)價(jià)

?單元測(cè)試：在本單元教學(xué)結(jié)束后，進(jìn)行一次全面的單元測(cè)試.測(cè)試內(nèi)容要覆蓋本單元的所有知識(shí)點(diǎn)，包

括全等三角形的概念、性質(zhì)、判定方法、尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)和判定等.題型要多樣化，既有考查基

礎(chǔ)知識(shí)的選擇題、填空題，又有考查綜合運(yùn)用能力的解答題和證明題.通過(guò)單元測(cè)試，全面了解學(xué)生對(duì)本單

元知識(shí)的掌握程度和運(yùn)用能力，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行量化評(píng)價(jià).

?項(xiàng)目式學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：布置一個(gè)與全等三角形相關(guān)的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)任務(wù)，如讓學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)利用全等三角形

原理進(jìn)行測(cè)量的方案，并實(shí)際進(jìn)行測(cè)量和驗(yàn)證.對(duì)學(xué)生的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)成果進(jìn)行評(píng)價(jià)，包括方案的創(chuàng)新性、可

行性、測(cè)量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性、報(bào)告的完整性和規(guī)范性等方面.通過(guò)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解

決實(shí)際問(wèn)題的能力、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力.

---------------------------反思性教學(xué)改進(jìn)------

在教學(xué)過(guò)程中，要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，對(duì)于學(xué)習(xí)困難的學(xué)生要給予更多的關(guān)注和幫助，采取個(gè)別輔

導(dǎo)、小組互助等方式，讓每個(gè)學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度，掌握所學(xué)知識(shí).

加強(qiáng)對(duì)學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，在證明全等三角形的教學(xué)中，要注重引導(dǎo)學(xué)生分析證明思路，規(guī)范

證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě).可以通過(guò)讓學(xué)生多做一些證明題，進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練，提高學(xué)生的邏輯推理能力和證明水

平.

進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)方法和教學(xué)手段，采用多媒體教學(xué)、實(shí)物演示等多種方式，讓教學(xué)更加生動(dòng)形象，激

發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時(shí).，要加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積

極性.

在評(píng)價(jià)方面，要進(jìn)一步完善評(píng)價(jià)體系，不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，還要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程.增加評(píng)

價(jià)的多元化，除了教師評(píng)價(jià)外，要更多地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)和互評(píng)，讓學(xué)生在評(píng)價(jià)過(guò)程中不斷反思自

己的學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效果.

平移，翻折，旋轉(zhuǎn)前后的圖形完全重合，是全等形.

全等三角形:能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

全等三角形的對(duì)應(yīng)元素:把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊,

重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.

點(diǎn)4和—，點(diǎn)B和，點(diǎn)C和是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).點(diǎn)"和一點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)R和-點(diǎn)互,點(diǎn)'和^乙是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

力"和一，"C和，4’和—是對(duì)應(yīng)邊.4,和DE,AC和EF,4c和&是對(duì)應(yīng)邊.

N/和____./〃和____,NC和是對(duì)應(yīng)角.N4和絲，N△和上，NC和N尸是對(duì)應(yīng)角.

注意：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置，

全等三角形的表示方法：“全等”用符號(hào)“g”表示，讀作“全等于”.

△從彳

寫(xiě)全等三角形時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上.

師生活動(dòng)：理解全等三角形的概念和性質(zhì)，舉手回答全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和府應(yīng)角.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解對(duì)應(yīng)的含義，過(guò)關(guān)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的識(shí)別和書(shū)寫(xiě)

例i.指出下圖中兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角

.48與AD,NABC與NADC,

H與48與。，。與CBC與DC,NBCA與NDCA,

令dC與dCNR4C與NEUC

AB與CD,ZABC與/CDA,

月與C,B與D,C與A5c與皿NBCA與NDAC,

%4c與C4NBAC與NDCA

AB與DC,ZABC與NDCB,

.4與D,B與C,C與BBC與CB,NBCA與NCBD,

M<C與034與ND

思考：尋找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角有什么規(guī)律?

有公共邊

有對(duì)頂角

有公共角

確定全等三角形對(duì)應(yīng)元素的方法

①位置關(guān)系：不在同一直線上；②聯(lián)接方式：首尾順次相接.

（1）根據(jù)書(shū)寫(xiě)規(guī)范，記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，故可按照對(duì)應(yīng)頂

點(diǎn)的位置確定對(duì)應(yīng)元素.如：AABC-ADEF,則AB和DE,AC和DF,BC和EF是對(duì)應(yīng)邊，NA和ND,ZB

和NE,NC和NF是對(duì)應(yīng)角.

⑵圖形位置法：①公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；②公共角一定是對(duì)應(yīng)角；

③對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角.

⑶圖形大小法：最大邊與最大邊（最小邊與最小邊）為對(duì)應(yīng)邊；最大角與最大角（最小角與最小角）為對(duì)

應(yīng)角；對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角為對(duì)應(yīng)角.

全等三角形的幾何語(yǔ)言

,.△ARgAFDE,

=AC=FE,AC=/）E（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,

M=LJt-LJJ

//=/￡//，=/〃，NC=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.

例2.如圖,△AEOZXADB,點(diǎn)E和點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

⑴寫(xiě)出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；

（2）若NA=50°,NABD=39°,且N1=N2,求N1的度數(shù).

E.D

解：(1)

對(duì)應(yīng)邊：AB和AC,AD和AE,BD和CE.

對(duì)應(yīng)角：ZA和ZA,ZABD和/ACE,ZADB和ZAEC.

(2)VAAECgAADB,AZACE=ZABD=39°.

在AABC中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

UPZA+ZABD+Z1+Z2+ZACE=180°.

又???N1=N2,

:.500+39°+2Z1+390=180。，解得Nl=26°.

例3.已知：如圖，AABC^ADEF.

(1)若DF=10cm,則AC的長(zhǎng)為；

(2)若NA=100°,則ND的度數(shù)為；

答案：10cm；100°

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的解答，讓學(xué)生真正掌握知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題的能力、運(yùn)用知解

決問(wèn)題的素養(yǎng).學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

常見(jiàn)的全等三角形重要模理總結(jié)

師生活動(dòng)：共同回顧和總結(jié)全等三角形的擺放方式，學(xué)生板演全等三角形可能的圖形.

設(shè)計(jì)意圖：歸納常見(jiàn)的全等模型，讓學(xué)生熟悉圖形的位置關(guān)系，積累全等三角形圖形識(shí)別的經(jīng)臉.

活動(dòng)二全等三角形的判定

■情境引入

思考：學(xué)校舉行藝術(shù)節(jié)，為了裝扮會(huì)場(chǎng)，需要一定數(shù)量的用紙折成的玫瑰花，這些玫瑰花是有一些相同的

三角形紙片折疊而成，為了準(zhǔn)備這些三角形紙片，老師應(yīng)該提供哪些數(shù)據(jù)才能保證所有同學(xué)剪裁的三角形

紙片全等呢？

■探究新知

只給個(gè)條件（條邊或個(gè)角）畫(huà)三角形時(shí)，大家畫(huà)出的三角形?定全等嗎？

①只給一條邊：

②只給一個(gè)角:

思考：只給兩個(gè)條件畫(huà)三角形時(shí)，大家畫(huà)出的三角形一定全等嗎？

【兩個(gè)條件有三種情況：①一邊一角；②兩個(gè)角；③兩邊】

①一邊一角：三角形的一個(gè)內(nèi)角為30°,一條邊為3cm；

②兩個(gè)角：三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為30°和50°：

③兩邊：三角形的兩條邊分別為4cm,6cm.

歸納：綜合以上可知，給定一個(gè)條件和兩個(gè)條件都不能確定唯一的三角形.

師生活動(dòng)：在既定條件下呼出對(duì)應(yīng)圖形，和同桌的進(jìn)行對(duì)比，觀察所畫(huà)圖形是否全等.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)畫(huà)圖，讓學(xué)生得出結(jié)論兩個(gè)條件不等判定三角形全等.

思考：如果給出三個(gè)條件畫(huà)三角形,你能說(shuō)出有哪幾種可能的情況嗎？

追問(wèn)：兩邊一角分為哪幾種情況？

一種情況是角夾在兩條邊的中間，形成兩邊夾一角

另一種情況是角不夾在兩邊的中間，形成兩邊一對(duì)角

邊?邊?角

思考：如圖，已知兩條線段和?個(gè)角，試畫(huà)?個(gè)三角形，使這兩條線段為其兩邊，這個(gè)角為這兩邊的夾角.

2.5cm

3cm

你畫(huà)的三角形與同伴畫(huà)的一定全等嗎？

師生活動(dòng)：列舉給出條件兩邊一角能有幾種情況，學(xué)生在給定條件下畫(huà)三角形，和其他同學(xué)的進(jìn)行對(duì)比,

并觀察所畫(huà)的三角形是否全等.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，得到“邊角邊”判定兩個(gè)三角形全等的事實(shí).

基本事實(shí)：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”.

幾何語(yǔ)言：

在A45C和中.

AB=DE,

,乙i=4D,

AC=DF,

A4BC=ADEF(SAS).

特別提醒：在做題時(shí)往往在相等的邊或角上作相同的標(biāo)記，方便辨別和判定全等三角形.

在對(duì)應(yīng)的位置，順序不能錯(cuò)

格式要求:

三個(gè)條件必須按照

在△/IBC和△/圮尸中

指明范圍邊

fAH角

邊

說(shuō)明依據(jù)Z.A=Z/),

1ACDF.的順序進(jìn)行書(shū)寫(xiě)

.-.△z1//CgADEF(SAS).

得出結(jié)論

師生活動(dòng)：在教師的指引下，寫(xiě)出全等三角形判定的幾何語(yǔ)言和格式規(guī)范.

設(shè)計(jì)意圖：掌握SAS判定三角形全等幾何語(yǔ)言的寫(xiě)法.

例I.已知:AD=AB,AC平分NBAD,證明:NB二ND.

教師說(shuō)明：AC既是AABC的邊，又是aADC的邊.我們稱(chēng)它為這兩個(gè)三角形的公共邊.

證明：..NC平分N84D,

???Z1=Z2.

在/1ABD與ACBD中,

\4B=AD(已知)，

?Z1=Z2(已證)，

AC=AC(公共邊)，

ZL4BCSZUDC(SAS),

例2.如圖，在AABC中，AB>AC,點(diǎn)D在邊AB上，且BD=CA,過(guò)點(diǎn)D作DE//AC,并截取DE=AB,且

點(diǎn)C,E在AB同側(cè)，連結(jié)BE.求證：△DEBgZXABC.

證明：TOE%C,

:?4EDB=4A.

在ADEB與AABC中,

"DE=AB

-4EDB=4A

VBD=CA

AD￡B=AA5C(SAS).

思考：根據(jù)之前講解的作圖步驟，請(qǐng)同學(xué)們作出以下二角形：兩條邊分別是2-Scm,3.5cm,長(zhǎng)度為2.5cm

的邊所對(duì)的角為40’.你畫(huà)的三角形與同伴畫(huà)的一定全等嗎？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況？

B

結(jié)論：兩邊分別相等且其中?組等邊的對(duì)角也相等，兩個(gè)三角形不?定全等.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解SSA不能證明全等.

例3.下列條件中，不能說(shuō)明△ABC@Z\DEF的是(

A.AB=DE,NB=NE,BC=EF

B.AB=DE,ZA=ZD,AC=DF

C.BC=EF,ZB=ZE,AC=DF

D.BC=EF,ZC=ZF,AC=DF

例4.如圖所示，在湖的兩岸點(diǎn)A,B之間建一座觀賞橋，由于條件限制，無(wú)法直接測(cè)量A,B兩點(diǎn)之間的距

離.請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)按以下要求設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案.

⑴畫(huà)出測(cè)量示意圖；

⑵寫(xiě)出測(cè)量步驟；

(3)計(jì)算點(diǎn)A,B之間的距離(寫(xiě)出求解或推理過(guò)程，結(jié)果用字母表示).

(2)在湖岸上找到可以直接到達(dá)點(diǎn)4B的一點(diǎn)。,

連結(jié)80并延長(zhǎng)到點(diǎn)C,使OC=OB；

連結(jié)并延長(zhǎng)到點(diǎn)D,使8=。4,

連結(jié)CD,則測(cè)量出CQ的長(zhǎng)度即為48的長(zhǎng)度.

(3)設(shè)C2?=%

在△CQD和口。!中

?OD=OA

-NCOD=NBOA

OC=OB

/?△COD=△5Q45AS),

CD=BA,即dZ?=〃z.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的解答，讓學(xué)生真正掌握知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題的能力、運(yùn)用知解

決問(wèn)題的素養(yǎng).學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

思考：兩角一邊分為哪幾種情況？

一種情況是邊夾在兩角的中間，形成兩角夾一邊；另一種情況是邊不夾在兩角的中間，形成兩角一對(duì)邊

角■邊?角角_角_邊

追問(wèn)：作圖，三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60“和80。，其中60°角和80。角和所夾的邊為2cm.你畫(huà)的三角

形與同伴畫(huà)的一定全等嗎？

師生活動(dòng)：，學(xué)生在給定條件下畫(huà)三角形，和其他同學(xué)的進(jìn)行對(duì)比，并觀察所畫(huà)的三角形是否全等.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，得到“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等的事實(shí).

基本事實(shí)：有兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）.

幾何語(yǔ)言：

全等三角形的對(duì)應(yīng)字母要寫(xiě)

在對(duì)應(yīng)的位置，順序不能錯(cuò)

格式要求:

三個(gè)條件必須按照

指明范圍在和產(chǎn)中角

//=ND,邊

角

說(shuō)明依據(jù)AB=DE

y的順序進(jìn)行書(shū)寫(xiě)

.ZB=ZE,

.'.AABC義ADEF(ASA).

得出結(jié)論

第一個(gè)三角形的名稱(chēng)第二個(gè)三角形的名稱(chēng)

和對(duì)應(yīng)的判定條件和對(duì)應(yīng)的判定條件

師生活動(dòng)：在教師的指引卜，寫(xiě)出全等三角形判定的幾何語(yǔ)言和格式規(guī)范.

設(shè)計(jì)意圖：掌握ASA判定三角形全等幾何語(yǔ)言的寫(xiě)法.

例5.如圖,D是AB上一點(diǎn),DF交AC于點(diǎn)E,DE=FE,FC〃AB,試說(shuō)明：AADE^ACFE.

證明：〈FC〃且5,

...Nd="CE,NADE=NF,

在AADE與ACFE中,

ZA=ZFCF,

4ADE=NF、

DE=FE,

AIDE^AC^AAS).

思考：作圖，三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和80°,其中80°角所對(duì)的邊為2cm.你畫(huà)的三角形與同伴畫(huà)

的一定全等嗎？

教師：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別相等，那么它們的另一個(gè)角也相等.

基本事實(shí)：兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”.

幾何語(yǔ)言：

在和△DET中，

乙4=ZZ),

ZB=ZE,

.BC=EF,

K4BC=ADEF(AAS)

全等三角形的對(duì)應(yīng)字母要寫(xiě)

在對(duì)應(yīng)的位置，順序不能錯(cuò)

格式要求:

三個(gè)條件必須按照

指明范圍在A45C和△口￡尸中角

乙4=ZD,角

邊

說(shuō)明依據(jù)ZB=ZE,

的順序進(jìn)行書(shū)寫(xiě)

BC=EF,

..AzlBC2ADEF(AAS).

得出結(jié)論

第一個(gè)三角形的名稱(chēng)第二個(gè)三角形的名稱(chēng)

和對(duì)應(yīng)的判定條件和對(duì)應(yīng)的判定條件

師生活動(dòng)：在教師的指引下，寫(xiě)出全等三角形判定的幾何語(yǔ)言和格式規(guī)范.

設(shè)計(jì)意圖：掌握AAS判定三角形全等幾何語(yǔ)言的寫(xiě)法.

例6.如圖，點(diǎn)B,D在線段AE上,AD=BE,AC/7EF,NC=NF.試說(shuō)明：BC=DF.

證明：?二必=3旦

,'.AD-BD=BE-BD即AB=ED.

YAC〃EF、.*.ZJ=ZE.

在△”(？和產(chǎn)中，

ZC=ZF,

ZA=NE,

4B=ED,

ZA45C^ZXEDF(AAS).，'.BC=DF.

思考：“ASA"和'AAS”兩種判定全等的方法有何區(qū)別與聯(lián)系？

“ASA”和，AAS”的區(qū)別與聯(lián)系

“S”的意義書(shū)寫(xiě)格式聯(lián)系

“S”是兩角的夾把夾邊相等寫(xiě)在兩角相

ASA

邊等的中間

白三角形的內(nèi)角和定理可知，

“ASA”和“AAS”可以互相轉(zhuǎn)化

AAS“S”是其中一角把兩角相等寫(xiě)在一起，

的對(duì)邊邊相等放在最后

師生活動(dòng)：學(xué)生板演解題過(guò)程，教師訂正.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾個(gè)例題的講解，區(qū)分并掌握AAS和ASA判定三角形全等的異同.

例7.如圖①，在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,過(guò)點(diǎn)C在△ABC外作直線I,AMJJ于點(diǎn)M,BNJJ于點(diǎn)

N.⑴試說(shuō)明：MN=AM+BN；⑵如圖②，若過(guò)點(diǎn)C作直線I與線段AB相交，AMJJ于點(diǎn)M,BNJJ于點(diǎn)N

（AM>BN）,⑴中的結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由.

(1)證明：???NdC8=90。，/.ZACM+ZBGV=90°.（2）解：（1）中的結(jié)論不成立，結(jié)論為

又..IMJ■孫。BN工MN、：.ZAMC=ZCNB=90°,

理由如下：

N5CV+ZCBN=90°,ZACM=ZCBN.

4AMC=ZCNB、同⑴中證明可得A4C初□△CAMAAS）,

在和△CBN中，NACM=2CBN,

：.CM=BN,AM=CN.

4c=CB,

：

ACBMAAS),:.MC=NB、必=AC.'MN=CN-CM,

,:MN=MC+CN,：.MN=AM-\-BN.:.MN=AM-BN.

思考:如圖，直觀上,AB,BC,CA的大小確定了,0ABe的形狀、大小也就確定了.也就是說(shuō)，在EA'B'C'與回ABC

中，如果AE=ABBC'=BC,C7V=CA,那么但AEU況ABC.這個(gè)判斷正確嗎？

A

教師講解：如圖，由A'B'=AB可知，如果使點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B'在射線AB上，那么點(diǎn)B，與點(diǎn)B

重合.另外，使點(diǎn)C'落在直線AB的含有點(diǎn)C的一側(cè).由于點(diǎn)C是以A為圓心、AC為半徑的圓和以點(diǎn)B為圓

心、BC為半徑的圓的交點(diǎn)，點(diǎn)U是以A'為圓心、A，U為半徑的圓和以點(diǎn)B，為圓心、B，C'為半徑的

圓的交點(diǎn).所以由B'C'=BC,C'A'=CA可知點(diǎn)C'與點(diǎn)C重合.這樣，XNB'C'的三個(gè)頂點(diǎn)與AABC的

三個(gè)頂點(diǎn)分別重合，XNB'C'與aABC能夠完全重合，因此，XNB'C'竺△ABC.

基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)記為SSS.（或邊邊邊）.

幾何語(yǔ)言：

在ZU5c和八4'8。中,

AB=AE,

■AC=A,C,,

BC=B'C'f

：.4iB6ZU'B'C'(SSS).

格式要求:

指明范圍在八4BC和ZU5C中,

AB=A'B'f

說(shuō)明依據(jù)

AC=A'C'f

[BC=B'C',

得出結(jié)論：.^ABGLIA'B'C(SSS).

第一個(gè)三角形的名稱(chēng)第二個(gè)三角形的名稱(chēng)

和對(duì)應(yīng)的判定條件和對(duì)應(yīng)的判定條件

師生活動(dòng)：在教師的指引下,寫(xiě)出全等三角形判定的幾何語(yǔ)言和格式規(guī)范.

設(shè)計(jì)意國(guó)：掌握SSS判定三角形全等幾何語(yǔ)言的寫(xiě)法.

例8.已知：如圖，AB=AE,AC=AD,BD=CE.求證：AABC^AAED.

證明：???&）=CE,

BD-CD=CE-CD.

BC=ED.

在△JBC和△幺EO中，

AC=AD（已知），

<AB=AE（已知），

,BC=ED（已證），

/.AABC^AAED（SSS）.

例9.已知：如圖，AC=AD,BC=BD,求證:ZC=ZD.

證明：連結(jié)48.

在和A4DB中

".'AC=AD,

BC=BD,

AB=AB（公共邊），

?,4CB9AADB（S.S.S.）.

，NC=N。（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

￡思考：通過(guò)學(xué)習(xí)“邊邊邊”判定三角形全等,你能解釋三角形的穩(wěn)定性嗎？

利用以上事實(shí)，可以說(shuō)明我們?cè)?jīng)做過(guò)的實(shí)驗(yàn)的結(jié)果：將三根木條釘成一個(gè)三角形木架，這個(gè)三角形木架

的形狀、大小就不變了，也就是三角形具有穩(wěn)定性.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)全等三角形的學(xué)習(xí)，解釋前面的知識(shí)，形成知識(shí)閉環(huán).

思考：上述分析過(guò)程也告訴我們：已知三角形的三邊，可以利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)三角形.如圖，已知三條

線段a,b,c（其中任意兩條線段的和大于第三條線段），求作△ABC,使其三邊分別為a,b,c.

作法：⑴作線段AB=c；

（2）分別以點(diǎn)A,B為圓心，線段b,a為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C；

⑶連接AC,BC,則因ABC就是所作的三角形.

例10.在如圖所示的三角形鋼架中，AB=AC,AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架.

求證:AD1BC.

證明：（1）。是SC的中點(diǎn)，:2ADB=/ADC,

:.BD=CD,又N33+N2DC=180°,

在和△ZCDE中，?,"ADB=90°,

.4B=AC（已知），?-AD1BC.

'BD=CD（已知），

^AD=AD（已證）,

/.AABD^AACD（SSS）.

思考：三角分別相等的兩個(gè)三角形全等嗎？

已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為40。，60°和80。，請(qǐng)你畫(huà)出這個(gè)三角形，并與同桌的進(jìn)行比較，觀察

你們畫(huà)出的三角形是否全等.

結(jié)論：不~"定全等.

師生活動(dòng)：給定三個(gè)角的情況下畫(huà)圖，學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，得出結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：理解三個(gè)角不等判定三角形全等，為九年級(jí)學(xué)習(xí)相似三角形做鋪墊.

思考：1.兩個(gè)直角三角形中，斜邊和一個(gè)銳角分別相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？

2.兩個(gè)直角三角形中，有?條直角邊和一銳角分別相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？

3.兩個(gè)直角三角形中，兩直角邊分別相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？

4.兩個(gè)直角三角形中，直角邊和斜邊分別相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？

5.如圖，已知AC=AV,AB=A'B',0C=0C=9O\0ABe羽DEF嗎？

教師提示：我們知道，證明一般的三角形全等不存在“SSA”定理.我們可以通過(guò)畫(huà)圖試試看.

探究：已知兩條線段（這兩條線段長(zhǎng)不相等），試畫(huà)一個(gè)直角三角形，使長(zhǎng)的線段為其斜邊、短的線段為其一

條直角邊.

2cm

3cm

追問(wèn)：你畫(huà)的三角形與同伴畫(huà)的一定全等嗎？

步驟：

1.畫(huà)一條線段AB,使它等于2cm;

2.IjNMAB=90°（用量角器或三隹尺）；

3.以點(diǎn)B為圓心、3cm長(zhǎng)為半徑間圓弧，交射線AM于點(diǎn)C;

4.連結(jié)BC.AABC即為所求.

如圖，由NC'=NC=90°可知，如果使點(diǎn)C'與點(diǎn)C重合，并且使射線UA與射線CA重合，那么射線

CB與射線CB重合.再由B￡'=BC,可知點(diǎn)B'與點(diǎn)B重合.為了判斷點(diǎn)A，與點(diǎn)A是否重合，我們討論射線

CA上除點(diǎn)C,A外的點(diǎn)與點(diǎn)B的連線和邊AB的大小關(guān)系.

如圖，由NC'=NC=90°可知，如果使點(diǎn)U與點(diǎn)C重合，并且使射線C'A與射線CA重合，那么射線

CB與射線CB重合.再由BC'=BC,可知點(diǎn)B'與點(diǎn)B重合.為了判斷點(diǎn)A'與點(diǎn)A是否重合，我們討論射線

CA上除點(diǎn)C,A外的點(diǎn)與點(diǎn)B的連線和邊AB的大小關(guān)系.設(shè)點(diǎn)M在直角邊AC（不包括端點(diǎn)）上，連接BM,則/

BMA>NC,NBMA是鈍角.若過(guò)點(diǎn)M且垂直于BM的直線與線段AB相交于點(diǎn)M）則有AB>BM'>BM.設(shè)點(diǎn)N在

線段CA的延長(zhǎng)線上，連接BN,同理可得BN>AB.因此，在射線CA上，與點(diǎn)B的連線長(zhǎng)度等于AB的點(diǎn)只有一

個(gè).再由點(diǎn)A'在射線CA上，A*'=AB,可知點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合.這樣，△ABC'的三個(gè)頂點(diǎn)與△ABC的三個(gè)

頂點(diǎn)分別重合，△AB'C'與4A3c能夠完全重合，因而△ABC'^AABC.

學(xué)生進(jìn)行對(duì)比所畫(huà)直角三角形，得出結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：理解直角三角形中，給定直角邊和斜邊，事實(shí)上是可以確定直角三角形的形狀和大小的，即所

畫(huà)直角三角形是全等的.

基本事實(shí)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，（簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

幾何語(yǔ)言：

在RtAABC和RtAJEC中,

,,

rAB=AB1

RtZLlSC-RtZU'BC(HL).

全等三角形的對(duì)應(yīng)字母要寫(xiě)

在對(duì)應(yīng)的位置.順序不能錯(cuò)

格式要求:

三個(gè)條件必須按照

韋明范國(guó)在和Rt^A'B'C中，斜邊

直角邊

rABA'B\的順序進(jìn)行書(shū)寫(xiě)

說(shuō)明依據(jù)I3C=B'C',范圍和結(jié)論中

必須寫(xiě)明歷△

醇出結(jié)論RtZUBC@RtAT8'C'（HL）.

第一個(gè)三角形的名稱(chēng)第二個(gè)三角形的名稱(chēng)

和對(duì)應(yīng)的判定條件和對(duì)應(yīng)的判定條件

例11.如圖，AC1BC,BD1AD,AC=BD,求證：BC=AD.

證明：.?.ZC_LBC,BD1AD,

???NC與NZ)都是直角.

在RtZUBC和RtABAD中，

rAB—BA.,

\AC=BD.

RtZU5Ci2RtAA4D(HL).

，BC=AD.

例12.如圖，AC=BC,AE=CD,AE_LCE于點(diǎn)E,BD_LCD于點(diǎn)D,AE=7,BD=2,求DE的長(zhǎng).

悻：???AEJXJE千點(diǎn)EBDLC肝點(diǎn)Q,

：/AEC=4D=9Q：

在RtA4EC與RtZkCQB中

rAC=BC

LAE=CD,

.'.RiZvlEC-RtACDB(HL),

/.CE=BD=2,CD=AE=1,

：?DE=CD-CE=7-2=5.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的解答，讓學(xué)生真正掌握知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題的能力、運(yùn)用知解

決問(wèn)題的素養(yǎng).學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

活動(dòng)三尺規(guī)作圖

思考：線段和角都是基本的幾何圖形，也是構(gòu)成其他幾何圖形的元素.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了作一條線段等于已知

線段的尺規(guī)作圖，如何用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角呢？

如圖，已知：ZAOB.利用直尺和圓規(guī)求作：NA'()'B'=Z/\OB.

追問(wèn)：解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？

提示：這里的直尺指的是無(wú)刻度的直尺，也就是說(shuō)，利用直尺只能用來(lái)連線，并不能用來(lái)測(cè)量線段的長(zhǎng)度.

圓規(guī)的作用是量取相等長(zhǎng)度的線段.

解答：解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是能用直尺和圓規(guī)確定NAOB的大小.

追問(wèn)：能夠利用學(xué)過(guò)的全等三角形的知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？

對(duì)于一個(gè)三角形，其三條邊、三個(gè)角是確定的，如果能將NAOB“放在"某個(gè)三角形中，作為其一個(gè)角，而我

們又能用直尺和圓規(guī)作出這個(gè)三角形,那么就說(shuō)明可以用直尺和圓規(guī)確定/AOB.進(jìn)而再作出與這個(gè)三角形全

等的三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì),NAOB的對(duì)應(yīng)角就是要求作的角.

顯然，這樣的三角形是容易作出的.如圖在NAOB的邊OAQB上分別取點(diǎn)CQ,連接CQ,得到△COD,

NAOB就是△COD的一個(gè)內(nèi)角.再作出△(：'O'D',Z\C'O'D'^△COD,ZC,O'D'=ZCOD=ZAOB.

由此我們得到作一個(gè)角NA’0B等于已知角/AOB的方法.

作法：

(1)以點(diǎn)0為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA,0B于點(diǎn)C、D：

⑵畫(huà)一條射線O'N,以點(diǎn)0'為圓心，0C長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。'A'于點(diǎn)U；

(3)以點(diǎn)U為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第(2)步中所畫(huà)的弧交于點(diǎn)工；

(4)過(guò)點(diǎn)D'畫(huà)射線O'B',則NA'O'Bf=ZAOB.

追問(wèn)：你能證明以上作圖的正確性嗎？

證明：在△ooc和△zro，c，中，

（已知），

<oc=o，c，（已知），

、oc=zrc'（已知），

4DOC*八D'O'C'（SSS）.

?..NO=NO,（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

師生活動(dòng)：根據(jù)老師的步驟提示，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，遇到問(wèn)題積極和同學(xué)討論，交流可能出現(xiàn)的問(wèn)題，教師

統(tǒng)一講評(píng)注意事項(xiàng).學(xué)生思考該步腺的正確性，結(jié)合全等三角形的判定給出證明方法.

設(shè)計(jì)意圖：動(dòng)過(guò)動(dòng)手實(shí)踐.理解作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖，同時(shí)理解其背后的證明依據(jù).

例I.如圖，已知直線AB及直線AB外一點(diǎn)C.利用直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)C作直線AB的

平行線CD.

解：（1）過(guò)點(diǎn)C作一條直線，與直線AB相交于點(diǎn)E;

⑵在點(diǎn)C處作NCEB的同位角NFCD,使NFCD=NCEB;

⑶反向延長(zhǎng)CD,得直線CD,則直線CD//AB.

例2.已知：Na,NB,線段c.

求作：△ABC,使NA=Na,ZB=Z3,AB=c

作法：

⑴作回DAF=^a；

（2）在射線AF上截取線段AB=c；

⑶以B為頂點(diǎn)，以BA為一邊，作團(tuán)ABE=（3B，

BE交AD于點(diǎn)C,則用ABC就是所求作的三角形.

師生活動(dòng)：學(xué)生板演作圖過(guò)程，通過(guò)例題再次熟悉作圖過(guò)程和原理.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)作一個(gè)角等于已知角與一反三，培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比能力.學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生

的應(yīng)用意識(shí).

活動(dòng)四角的平分線的性質(zhì)和判定

■情境引入

思考：下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD,BCRC,將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放

下，沿AC畫(huà)一條射線AE,AE就是NDAB的平分線.你能說(shuō)明它的道理嗎？

理由如下：如圖構(gòu)成了AWC和3SC,

ji?/在ZUDC和AISC中，

/\AD=AB,

m-q—

K、《DdBC、

C：.Z^4Z）C=4ABC（SSS）,

E/?^DAO^BAC.

丁點(diǎn)C在射矣IE上,是這個(gè)角的平分發(fā)

■探究新知

追問(wèn)：由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線嗎？

⑴己知什么？求作什么？

⑵把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這

個(gè)過(guò)程呢？

⑶在平分角的儀器中，BC=DC,怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過(guò)程呢？

⑷你能說(shuō)明為什么OC是團(tuán)AOB的平分線嗎？

如圖，已知：NAOB.求作:NAOB的平分線.

作法：

（1）以點(diǎn)0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑網(wǎng)弧線，交0A十點(diǎn)M,交0B十點(diǎn)N.

（2）分別以M、N為圓心，大于1/2MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在NAOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.

（3）畫(huà)射線0C,射線0C即為所求.

追問(wèn)1：為什么要以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧線？

以“適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑”是為了方便畫(huà)圖，不能太長(zhǎng)，也不能太短.

追問(wèn)2：為什么要以大于1/2MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)?。?/p>

是因?yàn)樾∮?/2MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧時(shí)兩弧沒(méi)有交點(diǎn)，

等于1/2MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧時(shí)不容易操作.

追問(wèn)3：兩弧交點(diǎn)在什么位置？

應(yīng)該在角的內(nèi)部找所作兩弧的交點(diǎn)，因?yàn)樗鞯纳渚€為角的平分線，而角的平分線應(yīng)該在角的內(nèi)部.

追問(wèn)4：第（3）步能否說(shuō)成“連接0C”？

“畫(huà)射線0C”不能說(shuō)成“連接0C”，因?yàn)檫B接0C得到的是線段，而角的平分線是一條射線.

師生活動(dòng)：教師演示角的平分線的尺規(guī)作圖方法，學(xué)生模仿作圖，思考并I可答問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題串的形式，讓學(xué)生在回答問(wèn)題的過(guò)程中掌握作圖方法.

如圖，任意作一個(gè)角NAOB,作出NAOB的平分線0C.在0C上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P畫(huà)出OA、0B的垂

線，分別記垂足為D、E,測(cè)量PD、PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在0C上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.

根據(jù)以上測(cè)量，你能得到什么猜想？

猜想:PD=PE

追問(wèn)：能否根據(jù)全等的知識(shí)來(lái)證明上述結(jié)論？

證明：

VPDX.OA,PE1OB,

￡P(guān)DO=￡P(guān)EO=90。.

在APZ)。和△PEO中>

2PDO=￡P(guān)EO>

_NDOP=4EOP,

OP=OP,

APDO=APEO(AAS).

PD=PE.

性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

應(yīng)用所具備的條件：

（1）點(diǎn)在角的平分線上；（2）到角兩邊的距離（垂直）.

定理的作用；證明線段相等.

應(yīng)用格式：

V0P是NAOB的平分線，PD±OA,PE±OB,

:.PD=PE.

證明幾何命題的一般步驟

（1）明確命題中的已知和求證；

（2）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；

（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證明的結(jié)論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程.

注意：（1）所畫(huà)圖形應(yīng)符合題意，并具有一般性和代表性.在畫(huà)圖的時(shí)候要考慮是否存在不同的情形，若存

在，則要分別畫(huà)出圖形，再分別進(jìn)行證明：

（2）證明過(guò)程中的每一步推理都要有依據(jù)，比如：已知條件、定義、定理等.

師生活動(dòng)：學(xué)生測(cè)量線段的長(zhǎng)度，得出結(jié)論并證明，掌握其作用和應(yīng)用格式.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐角的平分線的性質(zhì)定理的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力.

■應(yīng)用新知

例L判斷下列命題是否正確：

①如圖1,0C平分NAOB,點(diǎn)P在0C上，D,E分別為OA,0B上的點(diǎn)，則PD=PE

②如圖2,點(diǎn)P在0（:上，PD±OA,PE10B,垂足分別為D,E,則PD=PE

③加圖3,OC平分NAOB,點(diǎn)P在OC上，PD±OA.垂足分別為D.若PD=3,則點(diǎn)P到OB的距離為3

（PD、PE不是角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離）.

（0C不是NAOB的平分線）.

（PD是NAOB平分線0C上的點(diǎn)到0A的距離）.

例2.如圖，在AABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE_LAB,DF±AC,垂足分別為E、F.求證：EB=FC.

證明：???AD是AABC的角平分線，DE1AB,DFXAC,

/.DE=DE

???在RtABDE和RtACDF中，

BD=CD,

DE=DF,

ARtABDE^RtACDF(HL).

/.EB=FC.

例3.如圖，^ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

證明：過(guò)點(diǎn)P作PE_LBC于點(diǎn)E,作PDJ_AB于點(diǎn)D,

作PF_LAC于點(diǎn)F,

VBMsCN分別平分/ABC、ZACB

APD=PF

由于三角形三條角平分線交于一點(diǎn)

故點(diǎn)P也在NA的平分線上

.-.PD=PF=PE

???點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的解答，讓學(xué)生真正掌握角的平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題的能

力、運(yùn)用知解決問(wèn)題的素養(yǎng).學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

思考：我們知道，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.那么在角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是

否在角的平分線上呢？

猜想：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

追問(wèn)：利用全等的知識(shí)，該如何證明這個(gè)結(jié)論呢？

己知：如圖，點(diǎn)P是NAOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD±OA,PE±OB,垂足分別為D,E,且PD=PE.

求證：點(diǎn)P在NAOB的平分線0C上.

證明：。4,PE工OB,

.'.ZPEO=ZPDO=9Q°.

?.在RtZkPEO和Rt△尸。。中，

PE=PD,

PO=PO,

/.RtAPfO^RtAPDO(HL)

.,.ZAOC=Z.BOC.

..?點(diǎn)P在乙1。強(qiáng)平分線OC上.

判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

應(yīng)用所具備的條件：

（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；

（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角的平分線上.

應(yīng)用格式：

VPD±OA,PE±OB,PD=PE,

，點(diǎn)P在NAOB的平分線上.

思考：角的平分線的性質(zhì)與判定定理有何關(guān)系？

（1）都與距離有關(guān)，即垂直的條件都應(yīng)具備.

性庾

⑵點(diǎn)在角的平分線上建彳看點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.

⑶性質(zhì)反映只要星角平分線上的點(diǎn)，到角兩邊的距漠就一定相等;

判定定理反映只要是到角兩邊距離相等的點(diǎn)，都應(yīng)在角的

平分線上.

師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)對(duì)比學(xué)習(xí)，得出結(jié)論并證明，掌握其作用和應(yīng)用格式.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完角的平分線的性質(zhì)定理后，逆向思考角的平分線的判定，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

思考：畫(huà)出三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線，從位置上你能觀察出什么結(jié)論？

歸納：三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)位于三角形的內(nèi)部,

這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，通常用字母I表示.

例4.如圖，BE=CF,DE_LAB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DF_LAC于點(diǎn)F且DB=DC.

求證：AD是NBAC的平分線.

證明：的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DFA.AC=Y^F,

.-.Z5￡D=ZCFD=90".

?.?在R3Z>E和RtACDF中，BE=CF,

DB=DC,

.'.RlASDMRtACDF（HL）.

：.DE=DF.

..?松在NA4怎平然上，即乂膜N由際平懦.

例5.如圖，O是Z\