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文檔簡介

第2講圓錐曲線的方程與性質(zhì)

[考情分析]高考對這部分知識的考查側(cè)重三個方面:一是求圓錐曲線的標準方程:二是求

橢圓的離心率、雙曲線的離心率以及漸近線問題;三是拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用問題.

考點一圓錐曲線的定義與標準方程

【核心提煉】

1.圓錐曲線的定義

⑴楠圓:\PFi\+\PF2\=2a(2.a>\FiF2\).

(2)雙曲線:\\PFi\~|PF2||=2a(0<2a<\FiF2|).

⑶拋物線:\PF\=\PM\t/為拋物線的準線,點尸不在定直線/上,PM_L/于點M.

2.求圓錐曲線標準方程“先定型,后計算”

“定型”:確定曲線焦點所在的坐標軸的位置;“計算”:利用待定系數(shù)法求出方程中的序,

〃的值.

例1(1)(2022?衡水中學模擬)已知橢圓也+*=1(4>力>0)的左、右焦點分別為Q,F2,右頂點

為4,上頂點為8,以線段尸N為直徑的圓交線段的延長線于點P,若且線段

AP的長為2+也,則該橢圓方程為()

A-4+,2=1B4+f=1

c1

4+?=D4+4=I

答案D

解析設(shè)橢圓的半焦距為c,因為點尸在以線段為直徑的圓上,所以AP_LP居.

又因為B8〃AP,所以

又因為|尸2同=內(nèi)尸1|,

所以是等腰直角三角形,于是△QAP也是等腰直角三角形,

因為依。|=2+地,所以尸圜=也(2+6),

得。+C=,5(2+45),又6=C,所以a=,5c,

解得。=2吸,。=2,得〃2=〃2—/=4,

所以橢圓方程濾+9=L

(2)(2022?荊州模擬)已知雙曲線C器一]=1的左、右焦點分別是R,后,點P是C右支上

的一點(不是頂點),過B作的角平分線的垂線,垂足是M,O是原點,則|“。|=

答案4

解析延長尸2M交PQ于點Q,

由于PM是NQP&的角平分線,

所以^QP匕是等假三角形,

所以|PQ|=|PBI,且M是2B的中點.

根據(jù)雙曲線的定義可知|「川一|。尸2|=2小

即IQ尸||=%,

由于。是尸尸2的中點,

所以MO是△QQB的中位線,

所以|MO|=g|QQ|=a=4.

易錯提醒求圓錐曲線的標準方程時的常見錯誤

雙曲線的定義中忽略“絕對值”致錯:橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混,楠圓中的關(guān)系式

為/=〃+c2,雙曲線中的關(guān)系式為/=/+〃;圓錐曲線方程確定時還要注意焦點位置.

跟蹤演練?⑴已知雙曲線的漸近線方程為尸串,實軸長為4,則該雙曲線的方程為()

A-4-2=1

弋=1或

答案D

)2

解析設(shè)雙曲線方程為三;=1(/〃#0),

??2=4,???/=4,

當〃?>0時,2m=4,m=2;

當〃?<0時,一加=4,/?/=—4.

故所求雙曲線的方程為"一三=|或]一與■n.

(2)已知A,8是拋物線1y2=8x上兩點,當線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為3時,|A周的最大值

為()

A.5B.5<2

C.10D.1072

答案C

解析設(shè)拋物線)2=81的焦點為F,準線為/,線段的中點為M.如圖,分別過點4B,

M作準線/的垂線,垂足分別為C,D,N,連接AF,8F.因為線段AB的中點到),軸的距離

為3,拋物線V=8x的準線/:x=-2,所以|MN1=5.

因為MM〈MQ+|o/q=|4Q+|/,)|=2|MM=IO.當且僅當人,R.尸二點共娛時取等號,所以

依同max=10.

考點二橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)

【核心提煉】

1.求離心率通常有兩種方法

(1)未出4,C,代入公式6=彳.

⑵根據(jù)條件建立關(guān)于a,力,c的齊次式,消去。后,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式,即可求

得e的值或取值范圍.

22J2

2.與雙曲線也一齊=1(〃>0,方>0)共漸近線bx±iiy=()的雙曲線方程為也一方=犯#0).

考向1橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)

,2

例2(2022?河南五市聯(lián)考)設(shè)雙曲線C宗一方=1(。>(),〃>0)的左、右焦點分別為?&,

以色為圓心的圓恰好與雙曲線C的兩條漸近線相切,巨該圓恰好經(jīng)過線段OF2的中點,則

雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±\[3xB.y=±^x

C.D.y=±2x

答案B

解析由題意知,漸近線方程為),=1乂

焦點B(c,0),(r=(r+b1,

因為以尸2為圓心的圓恰好與雙曲線C的兩漸近線相切,則圓的半徑廣等于圓心到切線的抽離,

13

整理得4c2=13,,所以力=爭

故Z一勺,即e一學?

當兩個交點M,N都在雙曲線上的左支上時,如圖2所示,

圖2

同理可得|BQ|=2|OP|=2a,\PQ\=b.

3

因為cos/F|N3=5,

4

所以sinNFiNF2=5,

53

可得|N”2l=5a,WQ|=3〃,

3

所以WQ|=|NQ-|QQ|=呼一2兒

所以WBI=|/VFi|+2。=%-26

又W3|,所以%—23=|〃,

即。=2〃,故6=71+弓)2=喙故選AC.

規(guī)律方法(1)在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,結(jié)合橢圓(或雙曲線)的定

義,運用平方的方法,建立與儼F#|PB|6勺聯(lián)系.

(2)求雙曲線漸近線方程的關(guān)鍵在于求£或孑的值.也可將雙曲線方程中等號右邊的“1”變?yōu)?/p>

“0”,然后因式分解得到.

J2

跟蹤演練2(1)(2022.全國甲卷)橢圓C:a+芬=13>〃>。)的左頂點為4,點P,Q均在C上,

且關(guān)于y軸對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為h則C的離心率為()

R比rl

A坐D.2^^,3

答案A

解析設(shè)P(加,〃)(〃工0),

則。(一〃?,〃),易知A(一4,0),

所以公尸心。=扁?三寓=苔茄=/(*)

因為點。在橢圓C上,

所以"?+乒='得〃~=/〃一〃?),

代入(*)式,得,=:,

所以e=彳=7]_£=坐?故選A.

2r

(2)(多選)(2022?衡水中學模擬)已知雙曲線C:滔一胸=1(心0,比>0)的左、右焦點分別為F],

乃,過點3的直線與雙曲線的右支交于A,3兩點,若|AQ|=|3F2l=2|A3|,則()

A.ZAFiB=ZFiAB

B.雙曲線的離心率6=卑

C.雙曲線的漸近線方程為丁=白尊丫

D.原點O在以22為圓心,依乃|為半徑的圓上

答案AB

解析設(shè)IAQ|=|3B|=2\AF2\=2m,

則田目=田乃|十|BF2|=3m,

由雙曲線的定義知,

|AFi|一\AFa|=2m—m=2a,

即m=2a,\BF}\-\BF2\=2at

即[BRI-2m=2a,

:.\BF}\=3m=\AB\,ZAF\B=ZF}AB,

故選項A正確;

由余弦定理知,在△ABE中,

忸凡|2+舊凡|2一|/[用2

cosZAF\B=2|AF4|M|

可層+為川一9〃尸!

22小3〃?—3'

在△AF|F2中,

IAQF+MFZF-IQBF

cos/RAB=

2|AF,|-|AF2|

47n2+/n2—4c21

22"〃=cosN4尸山=予

化簡整理得12c2=llm2=44d2,

工離心率e=5=、用=當^,故選項B正確;

雙曲線的漸近線方程為),=備=±yJJ1x=±\je2—Ix=±^^x,

故選項C錯誤;

若原點。在以B為圓心,IABI為半徑的圓上,

則c=,〃=2a,與》=琴相矛盾,故選項D錯誤.

考點三拋物線的幾何性質(zhì)

【核心提煉】

拋物線的焦點弦的幾個常見結(jié)論

設(shè)AB是過拋物線y2=2PMp>0)的焦點尸的弦,若,)?i)>伙工2,)2),則

(1UiX2=^,y\yi=~p1-

(2)|AB|=xi+i2+p.

(3)當軸時,弦AB的長最短為2P.

例4(1)(2022.泰安模擬)已知拋物線C:產(chǎn)=2〃X3>0)的焦點為F,HM在拋物線C上,射

線FM與y軸交于點4(0,2),與拋物線C的準線交于點N,FM=^MN,則p的值等于()

A.1B.2C.1D.4

oq

答案B

解析設(shè)點W到拋物線的準線的距離為|MM'I,拋物線的準線與x軸的交點記為點B.

由拋物線的定義知,

\MMf\=\FM\.

@1=亞

口"MAC5'

所以\MN\~5

nn,\MM'|小

卬cosNNMM==5'

所以cos/O/^=cosNNMW=坐,

2

而―/。用=陶2^=害,解得〃=2.

P+22

(2)(多選)(2022.新高考全國II)已知。為坐標原點,過拋物線C:)2=2px(p>0)焦點廠的直線與

C交于A,B兩點,其中力在第一象限,點M(p,0).若|AQ=|AM],則()

A.直線A3的斜率為2#

B.\OB\=\OF]

C.\AB\>4\OF]

D.NOAM+NOBMvl80°

答案ACD

解析對于A,由題意,得方(縣0).

因為|AF1=HM,且M(p,0),

gr]、一+一13

所以;———$—4P,

2

將其代入拋物線方程1y=2/?,得必=監(jiān)

所以4儕,乎p)

當p-0

所以直線AB的斜率以8=攵"=工~=2\16,

2

故A正確;

對于B,由選項A的分析,知直線AB的方程為>=2網(wǎng)》一勻,代入),2=2px,得1*一13內(nèi)

+3〃2=0,解得尸%或x=;p,所以X8=gp,所以沖=一當p,所以|08|=3FF亞=8^1(汨,

故B不正確;

對于C,由拋物線的定義及選項A,B的分析,

13

得H8|=XA+x8+〃=j^p+p=^p>2p,

即H陰>4|0月,故C正確;

對于D,易知|。4|=邛5,|AM|=%,

|。8|=*〃,18Ml=當5,

QAF+IAMP-IOMP

則cosNO人M=

2\OA\-\AM\

33」25,,

育'+/F21

返5-5<33>0,

2X

4^

|O5F+|BM]2一|OM2

cosN0BM=麗麗麗

7,.10,,

w+文—p-4

…近返=洞°,

2X>3

所以NOAM<90。,NOBM<90。,所以/Q4M+/O8MV180。,故D正確.綜上所述,選ACD.

規(guī)律方法利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時,要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如

三角形、直角梯形等)來溝通已知量與〃的關(guān)系,靈活運用拋物線的焦點弦的特殊結(jié)論,使問

題簡單化且減少教學運算.

跟蹤演練3(1)(2021?新高考全國I)已知O為坐標原點,拋物線C:),2=2px(p>。)的焦點為F,

P為C上一點,尸尸與x軸垂直,。為x軸上一點,且PQ_LOP.若|FQ=6,則。的準線方程

為■

3

答案x=-5

解析方法一(解直角三角形法)由題易得|。回=多|四=p,ZOPF=ZPQF,

所以tanZOPF=tanZPOF,

P

2

-p

以--

〃6

IPFI

3

解得〃=3,所以C的準線方程為尸一忘

方法二(應(yīng)用射影定理法)由題易得|0回=令|PQ=p,\PF]2=\OF]-\FQ\,即p2=?X6,解得

3

-

〃=3或〃=0(舍去),所以C的準線方程為x=2

⑵(2022.濟寧模擬)過拋物線產(chǎn)=4、的焦點F的直級與該他物線及其準線都相交,交點從左到

右依次為A,B,C.若贏=小前,則線段8c的中點到忙線的距離為()

A.3B.4

C.5D.6

答案B

解析由拋物線的方程可得焦點?(1,0),漸近線的方程為x=-l,

由贏=小泳,可得躺=血,

由于拋物線的對稱性,不昉假設(shè)直線和拋物線位置關(guān)系如圖所示,作8E垂直準線于點E,

準線交x軸于點M則|3R=|8E1,

故|8n=阿=隹故NABE=Z,

而軸,故NAFN=&

所以直線AB的傾斜角為?

所以直線4B的方程為y=x—1,

設(shè)伏汨,>'|)?C(X2,y2),

y=L1,

聯(lián)立2,

1)?=4心

整理可得f-6x+l=0,

則內(nèi)+也=6,所以8C的中點的橫坐標為3,

則線段8c的中點到準線的距離為3—(—1)=4.

專題強化練

一、單項選擇題

1.(2022?中山模擬)拋物線C:尸=2/*上一點(1,和)到其焦點的距離為3,則拋物線C的方

程為()

A.)?=4xB.“=8工

C.r=12xD.y2=16x

答案B

解析因拋物線C)?=2px上一點(1,阿到其焦點的距離為3,則〃>(),拋物線準線方程為

工=一多由拋物線定義得1一(一鄉(xiāng)=3,解得〃=4,

所以拋物線。的方程為)?=8工

2.已知雙曲線》一),2=1(切>0)的一個焦點為尸(3,0),則其漸近線方程為()

A.y=±^xB.y=±2\f2x

C.y=±2xD.y=gx

答案A

解析因為雙曲線'—)?=1(加>0)的一個焦點為尸(3,0),

所以由m+1=3\得〃?=8,

所以雙曲線方程為1—)2=1,

所以雙曲線的漸近線方程為),=丹;.

3.(2022?全國乙卷)設(shè)廠為拋物線CV=4x的焦點,點A在。上,點3(3,0),若依川=|8川,

則依陰等于()

A.2B.2^2

C.3D.3^2

答案B

解析方法一由題意可知他1,0),拋物線的準線方程為尸一1.設(shè)A得,嗎),

則由拋物線的定義可知依用=曰+1.

因為|BF1=3—1=2,

2

所以由|A用=|BF1,可得芋+1=2,

解得卯=±2,所以41,2)或A(l,-2).

不妨取A(l,2),

則|48|='([—3)?+(2—0)2=m=26,故選B.

方法二由題意可知尸(1,0),故|8Q=2,

所以H/]=2.

因為拋物線的通徑長為2P=4,

所以4尸的長為通徑長的一半,

所以A/LLx軸,

所以依8|=轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)=觀=26.故選B.

4.(2022?濰坊模擬)如圖,某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮,建筑師通過雙曲線的

設(shè)計元素賦予了這座建筑以輕盈、極簡和雕塑般的氣質(zhì),該建筑物外形弧線的一段可以近似

看成焦點在),軸上的雙曲線方一£=1(。>0,比>0)上支的一部分.已知該雙曲線的上焦點尸到

下頂點的距離為36,尸到漸近線的距離為12,則該雙曲線的離心率為()

答案B

解析點F(0,c)到漸近線尸治,

甲c|

即ar地y=0的距離d==b=l2t

a+c=36,

又由題意知

〃+122=冷

205

4=16,---

解得“所以e=c216-4

c=20,0

5.(2022?福州質(zhì)檢)已知點E,F,分別是橢圓予+方=1(?匕>0)的左、右焦點,過點E的直

4

-

IHA^l-3

線交橢圓于A,B兩點,且滿足AFi_LAB,BI則該橢圓的圖心率是()

口逅

A2RD.或3,L/?巫3Lx.3

答案B

解析如圖所示,設(shè)H”i|=4x,貝iJ|A8|=3x,

因為

則|=VlW+lW=5x,

由橢圓的定義可得

|/4Fi|+|A陰+出人|=(依川+|4&|)+(出向+|/汨|)=4。=⑵、則x=*

4〃

所以|4/;i|=4x=w,

則尸勿言=尊

由勾股定理可得IARF+依/2|2=歷尸2巴

則俘〉+(號)2=4,,則c=^a,

因此該橢圓的離心率為e=?彎.

C4J

6.如圖,圓。與離心率為坐的橢圓7:a+$=1(4>/>0)相切于點M(O,1),過點M引兩條互

相垂直的直線八,3兩直線與兩曲線分別交于點A,C與點B,Q(均不重合).若尸為橢圓

上任意一點,記點。到兩直線的距離分別為4,d2,則於+&的最大值是()

A.4B.5C.竽D與

答案c

解析易知橢圓。的方程為亍+)2=1,

圓。的方程為f+)3=l,

設(shè)P(xo,yo),

因為hd-hf

則山+W=|尸洶2="+。心—1),

因為乎+)3=1,

所以冼+M=4—4網(wǎng)+°,0—1)2

因為一1Wy)W1,

所以當yo=一即點年斗一,時,用+逃取得最大值竽.

二、多項選擇題

7.(2022.臨沂模擬)2022年4月16日9時56分,神舟十三號返回艙成功著陸,返回艙是宇

航員返回地球的座艙,返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”,如圖

在平面直角坐標系中半圓的圓心在坐標原點,半圓所在的圓過橢圓的焦點?(0,2),橢圓的短

軸與半圓的直徑重合,下乂圓與),軸交于點G.若過原點。的直線與上半橢圓交于點A,與下

半圓交于點B,則()

A.橢圓的長軸長為46

B.|A8|的取值范圍是[4,2—2陋]

C.△人85面積的最小值是4

D.△AR7的周長為4+46

答案ABD

解析由題意知,橢圓中的幾何量8=c=2,

得。=2a,

則2a=4,5,A正確;

依同=|OB|+|OA|=2+|OA|,

由橢圓性質(zhì)可知2W|Q4|W2吸,

所以4WH8|W2+26,B正確;

記NAO/n。,

則SdABF=SMOF+S^OBF

=^OAWF]sinO^OBV\OF\s\n(n-0]

=|OA|sin6>+2sin0

=(|O4|+2)sin0,

取。弋,

則1+;|。4區(qū)I+;X2也<4,C錯誤;

由橢圓定義知|AQ+|AG|=2〃=4也,

所以△AR7的周長乙=|產(chǎn)。|+4小=4+外”,

D正確.

,2

8.(2022?濟寧模擬)已知雙曲線C:,一5=1(g),">0)的左、右焦點分別為尸],尸2,左、右

頂點分別為4,人2,點。是雙曲線C上異于頂點的一點,貝|J()

A.||叫|一|必211=24

B.若焦點尸2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點在。上,則C的離心率為小

C.若雙曲線。為等軸雙曲線,則直線力|的斜率與直線以2的斜率之積為I

D.若雙曲線C為等軸雙曲線,且NA|%2=3/出瓜2,則/辦自2=%

答案BCD

解析對于A,在△以第2中,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,

可知||刑|一|啊||<|4也|=①,故A錯誤;

對于B,焦點&(c,0),

漸近線不妨取y=%,即bx—"=o,

設(shè)B關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為(小,〃),

即尸2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為(三匕,竿),

由題意知該點在雙曲線上,

(4—/門⑵而尸

故正應(yīng)3—1,將c/一a-+/r代入,

化簡整理得。4—3/房-4/=0.即從=4/.

?2.?序+乂1|之?

o—1I,-D,

rcr

得6=小,故B正確;

對于C,雙曲線C為等軸雙曲線,

即C:y2=a2(a>0),

設(shè)P(Myo)G,o卉0),

則入3—4=〃2,

則焉一/=)3,

2

=高干“2=1'故C正確;

對于D,雙曲線C為等軸雙曲線,

即C:X2—y2=a2(tz>0),

且NAi以2=3/%出2,

設(shè)/必/2=仇N4以2=3。,

則N%>=4仇

即有tan〃tan40=1,

.sin6sin4^

,'cos-cos4。=1,

Acos50=0,

???夕+3夕£(0,7t),

?.5/7=2>

:.NR4|A2=e=Y^.

三、填空題

9.寫出一個滿足以下三個條件的橢圓的方程:.①中心為坐標原點;②焦點

在坐標軸上;③離心率為;.

答案卷+《=1(答案不唯一)

解析只要橢圓方程形如就;+普=或孺+煮=1(〃?>。)即可.

10.(2022?淄博模擬)已知P“P2,…,P8是拋物線f=4y上不同的點,且尸(0,1).若沖】+麗

+???+沛8=o,M|FPI|+IFP2H--+IWI=.

答案16

解析設(shè)Pi(制,yi),P2U2,”),

P3(X3,”),…,「8(X8,期),

Pl,P2,P3,…,2是拋物線A2=4y上不同的點,點尸(0,1),準線為丁=-1,

則麗=(為,y,-1)(/=1,2,8),

所以沖1+而2+3+/8

=(方+]2+…+48,3—1)+(J2-1)+…+(及-1))=0,

所以但一1)+。個-1)H----(yg—1)=0,

即yi+yz+y3H---Fy8=8,

???|澤||+]前2|+???+|袍I

=5+1)+()空+1)H----1-(/8+1)

=yi+)'2+—+<ys+8=16.

II.(2022?濟南模擬)已知橢圓G:於+W=lS>0)的焦點分別為尸2,且&是拋物線。2:

)2=2pMp>。)的焦點,若p是G與C2的交點,且|P人|=7,則cosNPHQ的值為

答案y

解析依題意,由橢圓定義得|PQI+|PBI=I2,而|PR|=7,則儼Bl=5,

因為點B是拋物線C2:的焦點,則該拋物線的準線/過點Q,如圖,

過點P作PQ_L/于點Q,

由拋物線定義知|PQI=|尸科=5,

而FyF2//PQ.

則NPFIF2=N

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