202L2025年高考數(shù)學真題知識點分類匯編之三角函數(shù)（一）

一,選擇題（共15小題）

1.(2025?新高考H)已知0Va<n，cos—=—,則sin(a—=()

5

\[2V2「3四7\/2

A.—B.一C.—D.一

1051010

2.(2025?北京)設函數(shù)f(x)=sin(<ox)+cos(O)A)(a)>0),若/'（X+TT）=f（X）恒成立，且/'（X）在

71

[0,上存在零點，則⑴的最小值為（)

4

A.8B.6C.4D.3

3.（2025?天津）f（x）=sin（co.v+（p）（o）>0,-n<<p<n）,在[-居，上單調(diào)遞增，且4=專為它的

一條對稱軸，（?0）是它的一個對稱中心，當其日（），刎，/（工）的最小值為（）

A.一孚B.C.1D.0

4.（2025?天津）設xWR,貝ij“x=0”是“sin2r=0"的（）

A.充分不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.（2025?新高考【）若點（a,0）（心0）是函數(shù)y=2tan（x-^）的圖象的一個對稱中心，則。的最小值

為（）

7T7171471

A.-B.-C.—D.—

4233

6.（2025*上海）已知aWR,不等式|t即（5％）--a\[tan(^x)--a-1]V0在（0,2025）中的整數(shù)解有m個.關

于，〃的個數(shù)，以下不可能的是（）

A.0B.338C.674D.1012

7.（2024?新高考I）當入￡0,2同時，曲線產(chǎn)siiu?與），=2sin⑶一看）的交點個數(shù)為（）

A.3B.4C.6D.8

8.(2024?甲卷)已知.-百，則tan(a+；j)-()

cosa-sina4

l顯r-

A.2V3+1B.2V3-1C.—D.I-V3

2

9.（2024?上海）下列函數(shù)/（x）的最小正周期是2n的是（）

A.siav+cos.rB.siiucosx

C.sin~x+cos~xD.sin2x-cos2x

10.(2024?新高考I)已知cos(a+p)=m,tanatanp=2,則cos(a-f)=()

m

A.-3mB一%C.一D.3m

33

II.（2024?大津）已知函數(shù)/O）=3s出（3%+電（a）＞0）的最小止周期為n.則/⑴在區(qū)間［一金,芻上

的最小值為（）

A.-孥B.C.0D.-

222

12.（2024?全國）函數(shù)）=siii￥+、/5cosJI的最大值是（）

A.1B.V6C.2D.-2

13.（2024?仝國）已知*=?和x=，都是函數(shù)/（x）=sin（a）x+＜p）（a）＞0）的極值點，則3的最小值是

()

1

A.4B.2C.1D.-

2

.71

14.(2024?北京)設函數(shù)/(x)=sina)x(w>0).已知/(M)=-L/(X2)=1,且|川-.以|的最小值為；，則

3=()

A.1B.2C.3D.4

COSaf—rr

15.(2024?甲卷)已知-------：-=73,則￡加(1+5=()

cosa-sina?

ll近r-

A.2V3+1B.2V3-1C.—D.1-V3

2

二.填空題(共4小題)

16.(2025?北京)已知a,pG[O?2n],且sin(a+p)=sin(a-p),cos(a+p)#cos(a-p),寫出滿足

條件的一組a=,p=.

17.(2025?上海)函數(shù)尸co&x白一去彳]上的值域為.

18.(2025?上海)己知lana=l,則cos(a+*)=.

19.(2024?新高考1])己知a為第一象限角，B為第三象限角，lana+tan0=4,tanatanp=V2+1,則sin

(a+p)=.

三,解答題(共1小題)

1

20.(2025?新高考II)已知f(x)=cos(2v+(p)(OWcpVn),且/'(0)=亍

(I)求(p的值;

(2)設g(x)=f(x)+fCx-l\求g(x)的值域和單調(diào)區(qū)間.

202L2025年高考數(shù)學真題知識點分類匯編之三角函數(shù)（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共15小題）

一,選擇題（共15小題）

a

I.(2025?新高考II)已知0<a<n,cos-=—?則sin(a-今)=(

2S

V2V23V27V2

A.一B.一c.—D.

1051010

【考點】求兩角和與差的三角函數(shù)值.

【專題】計算題：轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值;運算求解.

【答案】D

【分析】由已知，利用平方關系求出sinq再求出sina,cosa,然后將sin（a-^）展開，將前面的值

代入即可.

ayfs

【解答】解：因為OVaVn,cos-=—

所以0<2，所以sin]=7a2V271

1-8s(-)=7>—=sin—,

24

~汽…萬

所以一>—,即一<a<n,

242

所以sina=2sin^cos^=cosa=—V1—sin2a=—

rr|||?(兀、?a7T7y/^>

貝IJsin(a-彳)=sinacos-cosasin

故選：D.

【點評】本題考查平方關系，兩角和與差的正弦公式等，屬于中檔題.

2.(2025?北京)設函數(shù)/(x)=sin(O)A)+COS(O).V)(O)>0),若/(X+TT)=f(x)恒成立，且/‘(x)在

n

lO.R上存在零點,則⑴的最小值為（）

A.8B.6C.4D.3

【考點】求兩角和與差的三角函數(shù)值.

【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思維.

【答案】C

【分析】先利用輔助角公式化簡f(x),根據(jù)n是/CO的周期構造3的等式，然后結合/CO的零點

情況確定(0的最小值.

【解答】解：由己知得/(x)=&sin(3X+今)，

又f(x+n)=f(x)恒成立，所以叮=口，

所以k?紅=m即3=2億AWN",

3

k=1時，3=2,f(x)=V2sin(2x+?

TTTC3TC

因為［0,-］>所以+—］,f(A)>0,故A=1不符題意；

&=2時，3=4,f(x)=V2sm(4x4-^),

此時f(0)=&si吟=1>0,f(―)=&sE系=-K0,

f(0)f4)V。，BP/(x)在［0,3上存在零點，

故3=4即為所求.

故選：C.

【點評】本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

3.(2025?天津)f(x)=sin(a).r+(p)(a)>0,-ir<(p<n),在［一卷由上單調(diào)遞增，且戶金為它的

一條對稱軸，與0)是它的一個對稱中心，當四0,夕時，/(幻的最小值為()

/O1

A.一三B.一5C.1D.0

【考點】正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定出o)=4〃+2,再根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定周期范圍得出0Vo)W2,從而可確

定3=2,最后結合單調(diào)性與對稱中心得出口可得出f(x)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像得出最值

即可.

【解答】解：因為/⑴在［一駕，*上單調(diào)遞增，且尸倉為它的一條對稱軸，

7TTC

可得/(石)=1,即石o)+(p=2依+步kE7^①

TC

因為/(X)的圖象關于(可，0)對稱，

所以-3+(p=〃m,〃?WZ,②

3

產(chǎn)7T2n+l2nI12/r?

且———=-----r=-z—x—,ncEZ,

312443

解得3=4〃+2,nGZ,

因為在［一居，芻上單調(diào)遞增，所以套一(-普)工￡，

1■乙1Z1Z1ZZ

解得0V(A)W2,所以3=2,

(p=2kn+5

根據(jù)①②，可得1非，

cp=mn--y

因為-nV(p<ir,所以(p=§,

故f(x)=sin(2.v4-^)?

當.同0,芻時，2t+狂聲，可得/(x)的最小值為/(')=sin—=——.

2$33232

故選:A.

【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎題.

4.(2025?天津)設xER,則。=0”是“sin2Y=0”的()

A.充分不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】任意角的三角函數(shù)的定義；充分條件必要條件的判斷.

【專題】對應思想；定義法；三角函數(shù)的求值；運算求解.

【答案】A

【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)、充分條件、必要條件、充要條件的定義求解.

【解答】解：A€R,則“x=O"n“sin2x=0"，

“sin2A=0"="2x=E,kwZ”,

???“x=O”是“sinZt=O”的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)、充分條件、必要條件、充要條件的定義等基礎知識，是基礎題.

5.（2025?新高考I）若點（①0）（心0）是函數(shù)尸2tan（x-^）的圖象的一個對稱中心，則。的最小值

為（）

7T7171471

A.-B.-C.-D.—

4233

【考點】正切函數(shù)的圖象.

【專題】對應思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心可得〃的表達式，再由可得〃的最小值.

【解答】解：由已知，a—?kWZ,所以4=號口+條蛇Z,

因為。>0,所以取A=0時，得。的最小值為60°.

故選：C.

【點評】本題主要考查正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

6.（2025?上海）已知aER,不等式"加和）-a][tan（1x）-a-1]V0在（0,2025）中的整數(shù)解有m個.關

于，〃的個數(shù)，以下不可能的是（）

A.0B.338C.674D.1012

【考點】三角函數(shù)的周期性.

【專題】函數(shù)思想：數(shù)形結合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯思維；運算求解.

【答案】D

【分析】由題設可得aVta九吟X）VQ+1,結合正切函數(shù)的周期，利用函數(shù)圖象，數(shù)形結合分情況討論

求解即可.

【解答】解：因為[tan?！罚┮换豙￡。九。工）一Q-1]<0,所以QVQ+1,

考慮函數(shù)、=1加（看無）在（0,2025）的圖像，以6為周期，

先考慮一條直線y=/（/6R）與函數(shù)的整點交點，

注意到在一個周期（0,6]內(nèi)，可能存在的整點有1,2,4,5,6,

可得日一百，一孚，o,孝，向以下分情況討論：

①當t=B時，x=2+6&,女=0,1,2,337,有338個整點；

②當t=當時,x=l+64,〃=0,1,2,337,有338個整點;

③當f=0時、x=6+6Z,k=0,1,2,…，336,有337個整點；

④當”一亭時，尸5+6&,2=0,I,2,336,有337個整點;

⑤當￡=一75時,x=4+6鼠2=0,1,2,…，336,有337個整點,

再考慮直線），=。與），=4+1所包圍的區(qū)域（不含邊界），

注意到區(qū)間（小4+1）的長度為I,

所以可能0,-卓W（a，。+1），就有337+337=674個整點,故C可能;

因為二與百的距離為乎>1,所以只可能是3或V5中的一個W（。，。+1）,就有338個整點，故8可

333

能；

而當時，｛一遍,一李，0’亨，遍）中沒有元素6（。，a+\）,就令（）個整點，故A可能；

注意到1012=338+337+337,但更與一坐的距離為出>1,故。不可能.

333

故選：D.

【點評】本題考查正切函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結合思想方法的應用，屬難題.

7.（2024?新高考I）當x曰0,2封時，曲線產(chǎn)sin戈與），=2sin（3x-^）的交點個數(shù)為（）

A.3B.4C.6D.8

【考點】正弦函數(shù)的圖象.

【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；直觀想象.

【答案】C

【分析】作出兩函數(shù)在［0,2刊上的圖象，結合圖象即可得出答案.

【解答】解：在同一坐標系中，作出函數(shù)y=sinx與y=2sin（31-看）在［0,2冗］上的圖象如下,

由圖象可知，當尤［0,寸，曲線產(chǎn)siiu-與y=2sin(3A-1)的交點個數(shù)為6個.

故選：C.

【點評】本題考查正弦型函數(shù)的圖象及其運用，考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題.

cosaLIT

8.(2024?甲卷)已知嬴二^二代則—z)=()

cW

A.2V3+1B.2V3-12D.1-V3

【考?點】求兩角和與差的三角函數(shù)值.

【7題】轉化思想；轉化法；三角函數(shù)的求值；運算求解.

【答案】B

【分析】先求出tana,再結合正切的兩角和公式,即可求解.

I解答】解：瞪*

則=O所以￡Q.二I一字

故皿(°+力=奏=28一1.

故選：B.

【點評】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，屬于基礎題.

9.(2024?上海)下列函數(shù)/(x)的最小正周期是2TT的是()

A.siiu+cosxB.sin.vcosx

C.sin-x+cos-xD?sin*x-cos\v

【考點】兩角和與差的三角函數(shù)；三角函數(shù)的周期性.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解.

【答案】A

【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式，化簡選項表達式，求解函數(shù)的周期即可.

【解答】解：對于A,sinv+cosA-V2sin（x+今），則T=2TT,滿足條件，所以A正確.

對于B,sinxco&t=3sin2x,則7=m不滿足條件，所以8不正確.

對于C,Sin2x+cos2x=l,函數(shù)是常函數(shù)，不存在最小正周期，不滿足條件，所以C不正確.

對于D,sin2x-cos2x=-cos2r,則7=n,不滿足條件，所以。不正確.

故選:A.

【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應用，函數(shù)的周期的求法，是基礎題.

10.（2024?新高考I）已知cos（a邛）=m,tanatanp=2,則cos（a-p）=（）

mm

A.-3mB.一千C.—D.3m

33

【考點】求兩角和與差的三角函數(shù)值.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解.

【答案】A

【分析】由已知結合同角基本關系及兩角和與差的余弦公式即可求解.

【解答】解：因為cos(a+P)=cosacosP-sinasinP=/?,

sinasinB

由tanatanp=可得sinasinp=2cosacosp,

cosacosp~

所以cosacosp=-mfsinasinp=-2m,

貝ijcos(a-p)=cosacosp+sinasinp=-3m.

故選：A.

【點評】本題主要考查了三角函數(shù)基本關系及和差角公式的應用，屬「基礎題.

II.（2024?天津）已知函數(shù)/（x）=3s出（Mt+今（a）＞0）的最小正周期為n.則/⑴在區(qū)間［一各芻上

的最小值為（）

A.一攀B.C.0D.-

222

【考點】三角函數(shù)的周期性；三角函數(shù)的最值.

【專題】方程思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解.

【答案】D

【分析】由最小正周期為m求出3=2,從而/（x）=3sin⑵+電，由此能求出函數(shù)在［一修看的

取最小值.

【解答】解：〉?函數(shù)f(x)=3sin(o)%+⑥,(a)>0)

T=—=n,3=2,

3

,__TTrrJTyr7727T

可得f(x)=3sin(2x+@),.隹[—豆，R,2x+3G[-?-b

所以sin(2x4-5)G[—,1],

J2

3

所以/(x)GH,3J,

乙

3

故函數(shù)取最小值是3

故選：D.

【點評】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

12.(2024,全國)函數(shù)y=siiir+、/5cos^的最大值是()

A.1B.V6C.2D.-2

【考點】三角函數(shù)的最值；兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】計算題；轉化思想；轉化法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【答案】C

【分析】利用兩角和的正弦公式即可化為一皿葉兒。』=+74](A-+0),進而利用正弦函數(shù)的單調(diào)

性、最值即可得出.

【解答】解：_y=sinA+V3cos,v=2gsinx+苧cosx)=2sin(x+^).

-1Wsin(工+專)〈1,

，當sin(x+5)=1時，函數(shù)y取得最大值2.

故選：c.

【點評】本題屬于基礎題，熟練掌握兩角和的正弦公式化6/sinA+/.cosx=V^TPsin(x+。)、及正弦函

數(shù)的單調(diào)性、最值是解題的關鍵.

13.(2024?全國)已知％=與和無=*都是函數(shù)/(x)=sin(a)x+(p)(u)>0)的極值點，則3的最小值是

()

1

A.4B.2C.1D.-

2

【考點】由y=Asin(a)x+(p)的部分圖象確定其解析式.

【專題】函數(shù)思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思、維.

【答案】A

【分析】根據(jù)尸和尸糊是函數(shù)/G)的極值點，得出函數(shù)的周期片2X4一》，由此求解即可.

【解答】解：因為廣左和x=￡都是函數(shù)/(x)=sin(3"<p)(co>0)的極值點，

所以周期為7W2X(---)二。

242

所以—<—?所以324,

32

即co的最小值是4.

故選:A.

【點評】本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)應用問題，是基礎題.

14.(2024?北京)設函數(shù)/(x)=sin(jo.v(co>0).已知/(xi)=-1,/(x2)=1,.且|xi-切的最小值為二則

2

3=()

A.1B.2C.3D.4

【考點】正弦函數(shù)的圖象.

【專題】整體思想：綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解.

【答案】B

【分析】由己知結合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可直接求解.

【解答】解：因為f(x)=sina)A-,

則/(xi)=-1為函數(shù)的最小值，f(X2)=1為函數(shù)的最大置，

乂1工1—^2)min=2=2，

所以T=1X,0)=2.

故選:B.

【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

15.(2024?甲卷)已知一經(jīng)里一=寸§,則()

cosa-stna'

A.2V3+1B.2V3-1C.—D.I-V3

2

【考點】求兩角和與差的三角函數(shù)值.

【專題】轉化思想：轉化法；三角函數(shù)的求值；運算求解.

【答案】B

【分析】先求出lana,再結合正切的兩角和公式，即可求解.

cosa

【解答】解:

cosa-sina

則-------=V3,所以tana=1-浮，

1-tanaJ

故ta“a+$=9=26-L

故選：B.

【點評】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，屬于基礎題.

二,填空題（共4小題）

16.（2025?北京）已知a,阻0,2n］,且sin（a+f）=sin（a邛）,cos（a+f）Heos（a-P）,寫出滿足

條件的一組a=答案不唯一）,B=g（答案不唯一）.

【考點】求兩角和與差的三角函數(shù)值.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值：運算求解.

【答案】W（答案不唯一）

22

【分析】利用兩角和與差的正余弦公式展開化簡，再根據(jù)化筒后的結果確定a,0的值.

【解答】解:因為sin（a+p）=sin（a-p）,

所以sinacosp+cosasinp=sinacosp-cosasinp,

所以cosasin0=O?,Xcos（a+p）Wcos（a-p）,

即cosacosp-sinasinp^cosacosp+sinasinp,即sinasinp^O?,

結合①②得：cosa=0,且sinaWO,sinp^O,

故可取：a=/?=?.

故答案為：g,g.（答案不唯一）

22

【點評】本題考查兩角和與差的正余弦公式，屬于中檔題.

17.（2025?上海）函數(shù)y=cosx在［一。巴1上的值域為f0,11.

N4

【考點】余弦函數(shù)的圖象.

【專題】對應思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解.

【答案】［0，1］.

【分析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得.

【解答】解：因為函數(shù)產(chǎn)COSX在［一為，0］單調(diào)遞增，在［0,勺單調(diào)遞減，

所以當x=0M,cosx取得最人值1,

因為cos(-?)=O,COS：=所以COJU：的最小值為0,

L42

所以函數(shù)y=cosx在［-4,々上的值域為［0,1］.

乙4

故答案為：［0,1］.

【點評】本題考查余弦函數(shù)在給定區(qū)間上的值域，屬于基礎題.

18.(2025?上海)已知tana=l,則cos(u+/)=0

【考點】求兩角和與差的三角函數(shù)值.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解.

【答案】0.

【分析】由同角三角函數(shù)的關系，結合兩角和與差的三角函數(shù)求解.

【解答】解：已知tana=l,

艮|Jsina=cosa,

則cos(a+與)=孝(cosa—sina)=0.

故答案為：0.

【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關系，重點考查了兩角和與差的三角函數(shù)，屬中檔題.

19.(2024?新高考II)已知a為第一象限角，0為第三象限角，tana+lan0=4,tanatan/?=0+1,貝ijsin

(a+p)=-4

【考點】兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由已知結合兩角和的正切公式可求tan(a+p),然后結合同角基本關系即可求解.

【解答】解：因為a為第一象限角，S為第三象限角，

所以n+2如Va+B<2n+2如，WZ,

因為tana+tanp=4,tanatanp=V24-1,

所以tan但位=螺磊=匚&=-2夜<0，

3

所以尸+2如Va+BV2n+2日，AeZ,

所以cos(a+Q=/+/("￡)器

則sin(a+p)——yjl—cos2(a+/?)——

故答案為:

【點評】本題主:要考宜了兩角和的正切公式及同角基本關系的應用，屬于中檔題.

三,解答題(共1小題)

20.(2025?新高考H)已知/(%)=cos(2,v+(p)(0W(P〈TT),且/(0)=

(1)求(P的值；

(2)設gG)=/(x)G-蜘，求g(x)的值域和單調(diào)區(qū)間.

【考點】余弦函數(shù)的圖象.

【專題】綜合題：轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解.

【答案】⑴p

(2)值域：［—V3>V3］,遞增區(qū)間［―^^+kw,—1^+/c7T),遞減區(qū)間［—春+ATT,+Z:ir)?kWZ.

【分析】(1)利用/(0)=|,求出(p的值；

(2)先利用三角恒等變換的知識將g(x)化簡為一次的形式，然后結合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答】解：f(x)=cos(2x+(p)(0<(pVn),且/(0)=i,

乙

1

(1)由已知得/(O)=COSQ=亍結合OW(pVn,

所以(p=.

(2)由(1)知：/(%)=cos(2x+所以/(k—Q=cos2x,

nn

所以g(X)=f(x)+f(x-7)=cos2rcos——sinZvsin-+cos2v

33

3

-

2cos2x-與sin2x=y/3[cos2xcos^-sin2xsin

=V5cos(Zr+工)，

6

顯然g(x)的值域為［一V5,V3］,因為y=cosx在［-7T+2E,2上遞增，在［2內(nèi)r,2KT+TT］上%減，依Z,

所以令一兀+2/CTTW2x+［V2kjr,解得g(x)的遞增區(qū)間為+Kr,—召+Kr),kEZi-

再令2&nW2r+5工2〃n+ir,解得g再)的遞減區(qū)間為［一金+Ki,—&WZ.

【點評】本題考查三角恒等變換以及三角方程的計算，三角兩數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法等，屬于中檔題.

考點卡片

1.充分條件必要條件的判斷

【知識點的認識】

1、判斷：當命題“若〃則g”為真時，可表示為〃=夕，稱〃為夕的充分條件，g是〃的必要條件.

2、充要條件：如果既有“p=q”，又有“q=p”，則稱條件〃是q成立的充要條件，或稱條件q是〃成立的

充要條件，記作“〃一夕”.〃與“互為充要條件.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不

可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生

答邈時往往混淆二者的關系.判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若〃二夕為真命題且q=p為假命題，則命題〃是命題q的充分不必要條件；

②若p=q為假命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若pnq為真命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若pnq為假命題且為假畬題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題〃與命題＜7所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題〃與命題q

的關系.

【命題方向】

充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，

多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣.

2.任意角的三角函數(shù)的定義

【知識點的認識】

任意角的三角函數(shù)

I定義：設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y)?那么sina=士，cosa

=-x,tanX

2.幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在上軸上，余弦線的起點

都是原點，正切線的起點都是(1,0).

【解題方法點撥】

利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法

利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個最：

(I)角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x；(2)縱坐標y；(3)該點到原點的距離;".若

題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況(點所在象限不同).

【命題方向】

已知角a的終邊經(jīng)過點(?4,3),則cosa=()

4334

從

兒--C---

55*55

分析：由條件直接利用任意角的三角函數(shù)的定義求得cosa的值.

解：???角a的終邊經(jīng)過點(-4,3),Ax=-4,y=3,/-=Jx￡+yz=5.

4

x-4-

.*.cosa=-=-g-=5

故選：。.

點評：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點間的距離公式的應用，屬于基礎題.

3.三角函數(shù)的周期性

【知識點的認識】

周期性

①一般地，對于函數(shù)/(%)，如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)

=f(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)7叫做這個函數(shù)的周期.

②對于一個周期函數(shù)/(/),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做/(x)

的最小正周期.

③函數(shù)y=Asin(u)x+(p),xER及函數(shù)y=Acos(a)x+(p)；AGR(其中4、co、<p為常數(shù)，且A#0,a)>0)

的周期7=名.

CD

【解題方法點撥】

1.一點提醒

求函數(shù)產(chǎn)Asin(coA+cp)的單調(diào)區(qū)間時，應注意3的符號，只有當a)>0時，才能把u)A+(p看作一個整體，

代入)，=sinI的相應單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯誤.

2.兩類點

j=sinx,x€[0,2n],y=cosx,.c6[0,2n]的五點是:零點和極值點（最值點）.

3.求周期的三種方法

①利用周期函數(shù)的定義.f（A+T）=f（x）

②利用公式：y=Asin（（o.v+（p）和y=Acos（oii+（p）的最小正周期為y=tan（a）A+（p）的最小正周期為

QI

7T

|3「

③利用圖象.圖象重復的X的長度.

4.正弦函數(shù)的圖象

【知識點的認識】

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)尸sinxy=cosxy=tanx7

圖象7

戶.Jk"丁

Onc7~i一1I

r??????????。

*1.........*-/

1T*

1

定義域RRke7F

值域[-，1][-?，I]R

單調(diào)性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

（2日-夕2汽+?）（2日?貝，2質(zhì)）匹）

（E-2"

,、（蛇Z）；

awz）；（kWZ）

田.BL遞減區(qū)間：

遞減區(qū)間：

（2Kr,2Zrrr+n）

（2Zm4-2ATTT+）

'乙（M）

（依Z）

最值x=2E+?(AWZ)時,加以4=2E(始Z)時，y“=l；無最值

X=2KT+TT(AEZ)時，

=1：

ymin=~1

x=2而-*(AreZ)時，

ymin=-1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對稱性對稱中心：（配，0）（AWZ）對稱中心：（丘+00）（蛇2）對稱中心：（―,o）（；GZ）

z2

對稱軸：廠內(nèi)r+訝依Z對稱軸：尸E，KGZ無對稱軸

周期27r2TTTT

5.正弦函數(shù)的單調(diào)性

【知識點的認識】

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定.

2.求形如y=Asin（3+?）或y=Acos（必+夕）（其中，3>0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“@+夕”

為一個整體，通過解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助誘導公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性

弄錯.

6.余弦函數(shù)的圖象

【知識點的認識】

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxj=tanx

?A

圖象1......;*■

■1

■

\丁二八一■1

o…..口q"XZ?-7

-14■/

*■

■?

?a

?■

1■

定義域RRkez

值域[-b11[-1，1]R

單調(diào)性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

[2hr-IT,2ATT]（keZ）

（&WZ）；（依Z）；

遞減區(qū)間：遞減區(qū)間：

[2E，2Znr+n]

（kWZ）（蛇Z）

最值x=2krc+(KwZ)時，ymax=1；x=2krc(kWZ)時，I；無最值

x=2Kr-(依Z)時，x=2kn+ii(kWZ)時，

ymm=~1ymin=-1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對稱性對稱中心：（始，0）（髭Z）對稱中心:（itGZ）對稱中心:（髭Z）

對稱軸：AreZ對稱軸：x=hr,kwz無對稱軸

周期2n2n7T

7.正切函數(shù)的圖象

【知識點的認識】

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

定義域RRkWZ

值域1-1，U1-1，11R

單調(diào)性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

[2配一夕2M+