2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之平面向量及其應(yīng)用（一）

一,選擇題（共9小題）

I.（2025?新高考II）在△4BC中，BC=2,AC=1+V5,AB=瓜,則NA=（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.（2025?北京）已知平面直角坐標(biāo)系屹F中，\OA\=\OB\=y[2,成|=2,設(shè)C（3,4）,則|2&+應(yīng)|的

取值范圍是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14JD.[8,12]

3.（2025?新高考I）帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小和方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中

稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速

對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等，方向相反.如表給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)

關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖（風(fēng)速的大小和向

量的大小相同，單位加s）,見真風(fēng)為（）

等級(jí)風(fēng)速大小加S名稱

21.1?3.3輕風(fēng)

33.4?5.4微風(fēng)

45.5?7.9和風(fēng)

58.0?10.1勁風(fēng)

Ay

123

A.輕風(fēng)B.微風(fēng)C.和風(fēng)D.勁風(fēng)

4.(2024?新高考H)已知向量工b滿足：La\=1,\a+2b\=2,且區(qū)-2；）_L1則或=（）

1V2V3

A.-B.一C.D.1

222

—?—>TT

5.(2024?新高考I)已知向量Q=(0,1),b=(2,x),右力_LCb-4a),貝■=()

A.-2B.-1C.1D.2

9

若2

D匕

6.（2024?甲卷）在△4BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為“，b,o=71=-

3*4則sin/4+sinC

=（）

3

A.一B.V2C.—D.—

222

7.（2024?全國(guó)）已知平面向量Z=（I,1）,b=（x+1,y）,則（）

A.“x=l,y=-2"是‘G||於'的必要條件

B.“x=l,y=-2"是（iaII+'的充分條件

C.“x=l,y=-2”是嗎1*的必要條件

D.。=1,y=-2”是“Z_L/'的充分條件

9

兀

若2

n==-

8.（2024?甲卷）在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)邊分別為a,b,o王4則sin-4+sinC

=（）

3C.亞D.在

A.-V2

222

Q2

9.（2024?臺(tái)灣）如圖所示,有一△A8C,已知BC邊上的高4。=12,且tan/B=S、tan/C=^.試問BC

的長(zhǎng)度為何？（）

21C.24D.25

E.26

二,多選題（共1小題）

I)已知△ABC的面積為j若cos24+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC=則

（多選）10.（2025?新高考

)

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=Vi

C.sin4+sinB=苧D.Aa+BC-=3

三,填空題（共7小題）

11.(2025?天津)△A8。中，O為A8邊中點(diǎn)，CE=\cD,AB=a,AC=b,則族=

(用工分表示)；若|晶1=5,AE_LC8,則族.?=.

12.(2025?新高考II汨知平面向量2=(x,\),b=(x-1,2x),若；JL&-b),則向尸.

1,x>0

0,x=0,a.b、工是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量.若/(：?/))

1-1,x<0

+f(b*c)+f(c*a)=0,則|Q+b+%的取值范圍是.

14,(2025?上海)小申同學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時(shí)候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有兩根長(zhǎng)為

1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點(diǎn)分別為4、B,它們?cè)陉柟獾恼丈湎鲁尸F(xiàn)出影子，陽

光可視為平行光；其中一根桿子的影子在水平面上，長(zhǎng)度為0.4米：另一根桿子的影子完全在斜面上,

長(zhǎng)度為0.45米.則斜面的底角6=.(結(jié)果用角度制表示，精確到0.01°)

15.(2025?上海)已知3=(2,1),b=(1,x),^a//b,則x=.

16.(2025?上海)在平面中，3和1是互相垂直的單位向量，向量7滿足而一4或|=2,向量了滿足正一61|=

1,貝山在；方向上的數(shù)量投影的最大值.

17.(2024?上海)已知“€R,a=(2,5),b=(6>k),a//bt則4的值為.

四.解答題(共3小題)

18.(2025?北京)在△ABC中，cosA=?sinC=4>/2.

(1)求c；

(2)在以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△人8C存在，求8C的高.

①a=6；②bsinC=*?；③△A8C面積為10VL

19.(2025?天津)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c.已知?sinB=yf3bcosA,c-2b=1,a=夕.

(/)求A的值;

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之平面向量及其應(yīng)用（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

題號(hào)123456789

答案ADABDCDCE

二.多選題（共1小題）

題號(hào)10

答案ABC

一.選擇題（共9小題）

I.（2025?新高考II）在△ABC中，BC=2,AC=l+g,AB=R,則NA=（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

【考點(diǎn)】余弦定理.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】八

【分析】由余弦定理求得cos4再結(jié)合A的取值范圍即可求得.

【解答】解：因?yàn)?C=2,4C=l+g,V6,

所以由余弦定理得?加34—4/+482-8〃一（1+總）2+6—4一2（3+6）一淺

所以出氽如上埋得.cosZA-2A&AB-2x（1+、③xe一2&（3+、⑸一2'

因?yàn)?°VNAVI80°,所以/A=45°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2025?北京）已知平面直角坐標(biāo)系中，\OA\=\OB\=y[2,\AB\=2,設(shè)C（3,4）,則|2。4+88|的

取值范圍是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

【考點(diǎn)】平面向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】。

【分析】由|。*=|。8|=&,\AB\=2,可得點(diǎn)A、8在以。為圓心，魚為半徑的圓上，取4B的中

點(diǎn)”，得|0用=1,則點(diǎn)”在以。為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，可得

\2CA+AB\2=4CH2,再根據(jù)點(diǎn)到圓的距離范圍可求得結(jié)論.

【解答】解：由|、4|=|而|二VL\AB\=2,可知&1防,

故點(diǎn)八、8在以。為圓心，我為半徑的圓上，

取AB的中點(diǎn)”，可知

所以點(diǎn)”在以。為圓心，1為半徑的圓上，

則|2力+6|2=4CA2+4CA-AB+AB2

=4CA?(CA+而+4=疝?C%+4

=4(0+HA^CH+3B)+4=4(02_/2)+4

X||CO|-1|<\CH\<|CO|+1,而|=.32+42=5,

則4WI國(guó)I<6,故8<2|CHE12,

即|2&+6|的取值范圍是[8,12].

故選：。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題.

3.(2025?新高考I)帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小和方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中

稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速

對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等，方向相反.如表給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)

關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖(風(fēng)速的大小和向

量的大小相同，單位加/s),則真風(fēng)為()

等級(jí)風(fēng)速大小〃而名稱

21.1?3.3輕風(fēng)

33.4--5.4微風(fēng)

45.5?7.9和風(fēng)

58.0-10.1勁風(fēng)

A.輕風(fēng)B.微風(fēng)C.和風(fēng)D.勁風(fēng)

【考點(diǎn)】平面向量的概念與幾何表示.

【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，求出對(duì)應(yīng)速度對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，然后求出真風(fēng)速的坐標(biāo)，求出模長(zhǎng)判斷即可.

【解答】解：如圖：視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)為3=(-3,-1),

所以船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為一■=(-1,-3),

設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)向量為則D-a=3，

所以“=%+以=(?2,2),

所以向=，(一2/+22=2夜~2.8286(1.1,3.3),

故真風(fēng)為輕風(fēng).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的運(yùn)算和應(yīng)用，屬于中檔題.

4.(2024?新高考H)己知向量-5滿足：鬲=1,而+2&=2,且④一2辦11,則山=()

1V2八百

A.-B.—C.—D.I

222

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用：運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】利用向量的模，以及向量的垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：向量2,1滿足而|=1,而+2&=2,且@一2辦_1/

可得小+4Q?b+4b2=4,b2—2a-b=0,

可得6涼=3,

所以向二探

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的模的求法，是基礎(chǔ)題.

5.(2024?新高考I)已知向量;二(0,1),b=(2,x),若］_L(b-4a),貝I」x=()

A.-2B.-1C.1D.2

【考點(diǎn)】數(shù)量枳判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量:及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：a=(0,1)?b=(2,x),

則b-4a=(2,x-4),

Z?±(b—4a)?

則2X2+X(K-4)=(x-2)2=0,解得x=2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9

若8=b2=

6.(2024?甲卷)在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)邊分別為7r4-則sinX+sinC

=()

3L夕V3

I.1B.V2C.—

222

【考點(diǎn)】正弦定理：余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理,余弦定理，即可求辭.

【解答】解：因?yàn)?=箏b2=lac,

所以由正弦定理可得，sim4sinC=^sin2B=1,

9

322

-QaA+c=134Q

由余弦定理可得:4Ja

sin2A+sin2C=-^-sinAsinC=誦，

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2siHi4sinC=7,sinA+sinC=

1,4

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2024?全國(guó))已知平面向量Q=(I,1),b=(x+l,y),則()

A.ax=\,y=-2”是“Z||I"的必要條件

B.“X=1,尸-2”是i(a||”的充分條件

C.“x=I,y=-2"是喘1的必要條件

D.“工=1,產(chǎn)-2”是(ta1的充分條件

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；充分條件的判斷；必要條件的判斷；平面向量共線(平

行)的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行、垂直的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：對(duì)于解若aIIb,

則l?y=l?(x+l),即y=x+l,充分性不成立，錯(cuò)誤，

對(duì)于3,當(dāng)x=l,>>=?2時(shí)，

則匕=(2,-2),a||匕不成立，錯(cuò)誤，

對(duì)于C,若a1b,

則x+l+y=O,必要性不成立，故錯(cuò)誤，

對(duì)于￡>,當(dāng)x=l,)，=-2時(shí)，

則1=(2,-2),

a-b=2-2=0,alb,充分性成立，故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9

若87b2-

4a

8.(2024?甲卷)在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)邊分別為a,TT-則sinX+sinC

=()

【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及余弦定理，即可求解.

【解答】解：因?yàn)?=半b2=lac,

所以由正弦定理可,得，W5C=^s:i-n2R=i.

由余弦定理可得:b2=cr+c2-2ac*cosB=a2+c1-ac=、ac,iPa2+c2=竽ac,

sin2A+sin2C=^-sinAsinC=居,

所以(sinA+sinC)2=s\n2A+sin1C+2sinAsinC=psinA+sinC=

14

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳正弦定理，以及余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2024?臺(tái)灣）如圖所示，有一zMBC,已知邊上的高12,且tanNB=去tan/C=系試問

的長(zhǎng)度為何？（）

A.20B.21C.24D.25

E.26

【考點(diǎn)】解三角形.

【專題】計(jì)算題：數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形：運(yùn)算求解.

【答案】E

【分析】由題意利用tan/B=器，可求8。的值，由tan/C=罌，可求得CQ的值，即可求解BC=

8ZHCO的值.

【解答】解：在△ABC中，因?yàn)?c邊上的高AO=12,tanN8=9=^=解得80=8,

又tanNC=|=^=備，解得。。=18,

所以8c=30+00=8+18=26.

故選：E.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題（共1小題）

（多選）10.（2025?新高考I）已知△ABC的面積為士若cos2A+cos2B+2sinC=2,cos/AcosBsinC=則

44

（）

A.sinC=sin2/\+sin2^B.AB=\[2

C.siiM+si但第D.AC2+BC2=3

【考點(diǎn)】解三角形；利用正弦定理解三角形；余弦定理.

【專題】分類討論；綜合法；解三角形；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】ABC

【分析】由cos2A+cos2B+2sinC=2,利用二倍角公式，可判斷A；sin274+sin25=sin>4cosB+cos/4sin5,

得sinA(sin/\-cosfi)+sinB(sinB-cosA)=0,對(duì)于4+和4+8〈與進(jìn)行分類討論，可推出矛

盾，可得4+B=*,進(jìn)而可判斷BCD

【解答】解：因?yàn)閏os2A+cos2〃+2sinC=1-2sin?4+l-2sin28+2sinC=2,

/.sin24+sin2B=sinC>故4正確;

由sinJ+si/Busio4cos8+cos八sinB,/.sinA(sinX-cosB)+sinB(sin5-cosA)=0,

Vcos>4cosBsinC=*X),.'A,B為銳角，

(A-B

若4+n則J,

z

sinA>cosB,sinB>cosA,sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)>0,，矛盾,舍去,

同理，4+BV冬也矛盾，

???4+8=熱???8=掾一月，0=務(wù)

^?sinAcosA=*=^sin2A=sin2A=

Sf.ABC=^abs\nC=^ab=J,ab=

a=csinA,b=ccosA,

■1.21o

/.ab=2=csirL4?ccosA=c-sinAcos4=4c?，

AC2=2,即4B=遮，故B正確；

■7T...).3

VC=2f?,?sirkA+sin8=sinA+cosA,(sirtA+cosA)?=l+2siivlcosA=中

因?yàn)閟in4+cosA>0>所以siM+cosA=坐,故C正確;

AC2+BC2=AB2=2,故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，屬于中檔題.

三,填空題(共7小題)

1T-->—T—1T2T

11.(2025?天津)AAAC中，D為AB邊中點(diǎn)、,CE=^CD,AB=a,AC=b,則AE=-a十一b(用

J-53

a,7表示)；若|旗|=5,AE±CB,則/?2)=-15.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維：運(yùn)算求解.

I-2T

【答案】-a+-b；-15.

63

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可求得第一空；由|族1=5,AE_LCB結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)

量積建立關(guān)于滔，a-b,Q的方程組，求解可得之工=180—4a，a2=16d2-540,再由向量的數(shù)

量積運(yùn)算計(jì)算6即可.

T1T

【解答】解：因?yàn)?。?邊中點(diǎn)，CE=、D,

所以北=幾+后=公+義益=AC+-AQ

oo

1一2-121T2T

--4---Q+-b

34D36363

T1T22f4T2

因?yàn)閨4E|=5,所以一a+-a-b+-b=25,①

3699

因?yàn)楦?幾一元=3-6,且AE_LC8,

TT1—2TTT1—1—TOT

所以AE-CB=(ra+-(a-b)=-za2+?b--^b2=0,②

由①②可得：a-b=180—4b2,a2=16b2—540,

因?yàn)镃D=AD-AC=^AB-AC=^a-b,

TT1->2T1T_1.T2T

所以4E,CD=(a。+可匕),(2。-b)=-yjQ?+&Q■b_X

2T

b2

[21f-

=太(16b-540)+言(180-4b2)3=—15.

IT2T

故答案為：-a+-b；~15.

63

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)最積，屬F中檔題.

I2.(2025?新高考II)已知平面向量之二(x,I),b=(x-l,2x),若Z_L(a-b),W>J|a|=\^2.

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂宜關(guān)系.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】V2.

【分析】求出6的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的充要條件求出工，再利用求模公式求解.

【解答】解：因?yàn)閍=(x,1),b=(x-1,2r),

所以之一匕=(1,1-2v),又Z_L(a-b),

所以a?(a—b)=x+l-2x=0?解得x=I,

所以a=(1,1),

則|Q|=Vl2+l2=A/2.

故答案為：y/2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向最的坐標(biāo)運(yùn)算,垂直的充要條件以及求模公式等，屬于基礎(chǔ)題.

小。25?上海，已知函數(shù)?卡

X=0，Q、b.1是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量.若/(Q?b)

x<0

+f(b*c)+f(c*a)=0,則la+b+。的取值范圍是(1,遮).

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】(1,V5).

【分析】由題可得fG，b),f(b,c),f(a,")必為一個(gè)為1,一個(gè)為-1,一個(gè)為0,不妨設(shè)/(%?b)=

0,f(b-c)=—If(a,c)=1,且a=(1,0),b=(0,1),c=(cos。，sinO),0e(-n,n),由分

段函數(shù)可得。€(-5,0),再由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)后求三角函數(shù)的值域即可.

【解答】解：由題意可知，/(工7)，f(b,"fG，")三者全為0或一個(gè)為I,一個(gè)為-1.一個(gè)為0,

當(dāng)全為。時(shí)，可知Zb,"兩兩垂直，不符合題意；

所以必為一個(gè)為1,一個(gè)為?1,一個(gè)為0,不妨設(shè)/'(%?5)=0,f(b-c)=-1,f(a-c)=1,

由函數(shù),,x>0

x=0?可知力.[v。，a-c>0/a-b=0,

x<0

不妨設(shè)a=(1,0)>b=(0^1),c=(cos。，sin6),0e(-n,n],

所以a?c=cos0>0,b-c=sinO<0,所以。￡（一為，0）,

所以而+%+"|=+cos6）2+（1+s出6）2=卜+2&s比（8+百），

因?yàn)?）?所以6+（W（—左）,所以2A/^SE（8+今）￡（—2,2）,

所以|a+b+c|G（1,V5）.

故答案為：（1，V5）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積與函數(shù)的綜合，向量模的求解，屬于中檔題.

14.（2025?上海）小申同學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時(shí)候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有兩根長(zhǎng)為

1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點(diǎn)分別為A、B,它們?cè)陉柟獾恼丈湎鲁尸F(xiàn)出影子，陽

光可視為平行光：其中一根桿子的影子在水平面上，長(zhǎng)度為0.4米：另一根桿子的影子完全在斜面上,

長(zhǎng)度為0.45米.則斜面的底角8=12.58°.（結(jié)果用角度制表示，精確到0.01°）

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】數(shù)形結(jié)合：粽合法：解三角形：邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】12.58°.

【分析】由題意作出示意圖，從而得到△AMNS/XECD,由相似三角形的性質(zhì)可得方程0.45cos6=

0.4+0.18sin0,sin20+cos29=I即可求得.

【解答】解：由題可得接觸點(diǎn)為A的旗桿影子在水平面上，接觸點(diǎn)為8的旗桿影子完全在斜面上，

不妨設(shè)影子完全在斜面上是旗桿為4C,影子為3Q,過。作平行于水平面的直線交C3的延長(zhǎng)線于￡,

所以DE±I3E,

所以BE=0.45sin。，DE=O.45cos0,

因?yàn)殛柟饪梢暈槠叫泄?，所以MN〃C。，所以△AMNS/\ECD,

?,ANAM,0.41

所以--=----,即--------=---------；，

EDECO.45COS01+0.45SP16

所以0.45cose=0.4+0.l8sin8,①

因?yàn)閟in29+cos20=1,②

聯(lián)立①②解得8=12.58°.

故答案為：12.58°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.

T-*T-1

15.(2025?上海)已知a=(2,1),b=(1,x),若a〃6,則x=：.

【考點(diǎn)】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】"

2

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：1=(2,1),b=(1,x),a//bf

則2x=l,解得k]

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16,(2025?上海)在平面中，3和g是互相垂直的單位向量，向量[滿足萬一4^1=2,向量I滿足向一6扇|=

1,則I在；方向上的數(shù)量投影的最大值.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】4.

【分析】設(shè)&=工晶=/根據(jù)題意求得A、8所在圓的圓心和半徑，然后根據(jù)數(shù)量投影的意義，

結(jié)合圖形求得I在之方向上的數(shù)量投影的最大值.

【解答】解：根據(jù)題意不妨設(shè)%=(1,0),e2=(0,1),a=(x?y),b=(〃?，〃)，

則a—4e1=(x—4,y),b—6e2—(m,n—6),

由區(qū)一4川=2可得(x-4)2+)2=4,

由-6ezl=1可得m2+(〃-6)2=1?

設(shè)&=ZOB=b,故4在以。(4,0)為圓心，2為半徑的圓上,

3在以Q(0,6)為圓心，I為半徑的圓上，

過8作8OJ_OA于。，則。。即為Z在［上的數(shù)量投影，如下所示：

因?yàn)锳,8分別為兩圓上任意動(dòng)點(diǎn)，不妨固定B,則。8為定長(zhǎng)，

設(shè)v￡b>=0,即NAO3=6,故|OE>|=|O3|?cos。，

因?yàn)榇藭r(shí)|0用為定長(zhǎng),且8=NA08V180°,

故隨著e的減小，cos。增大，直至04恰好與圓Ci相切時(shí)，QQI取得最大值，如下所示:

在。4與圓。相切的基礎(chǔ)匕移動(dòng)點(diǎn)B,過C2作Q￡_L0A于￡,故|0。|=|0月+|￡。卜

在△C1A。中，ZC\AO=90°,C\A=2,0cl=4,

故NAOCi=30°,ZC20E=600,因?yàn)閨OC2|=6,

故在直角三角形C2OE中,\OC2\=2\OE\,則0E=3,即|OQ|=|O四+|EQ|=3+|EQ|：

在四邊形4QEC2中，因?yàn)?乃￡C2=NC2EQ=90",故|O￡1S|8C2|=1,

當(dāng)且僅當(dāng)8c2〃OE時(shí)等號(hào)成立，從而|OD|=3+|ED|W3+1=4,

綜上所述：了在：方向上的數(shù)量投影的最大值為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向最與直線和圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬難題.

17.(2024?上海)已知&€R,a=(2,5),b=(6,k),a//b,則大的值為15

【考點(diǎn)】平面向我共線(平行)的坐標(biāo)表示；平面向后的相等與共線.

【專題】方程思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】15.

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，列方程求解即可.

【解答】解：由3=(2,5),9=(6,k),aIIb,

可得2k-5X6=0,解得女=15.

故答案為：15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬基礎(chǔ)題.

四.解答題（共3小題）

18.（2025?北京）在△A8C中，cosA=asinC=4叵

（1）求c；

（2）在以下三個(gè)條件中選擇?個(gè)作為已知，使得△A6C存在，求6c的高.

①a=6；②如11。=粵馬③△A8C面積為10注.

【考點(diǎn)】解三角形.

【專題】方程思想；綜合法；解三角形；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】（1）6；（2）不能選①；選②：—;選③：2?之

【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sinA的值，再由正弦定理可得csinA的值，從而求得c；

（2）選①：由等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理可得△ABC不存在;選②:由正弦定理和條件可得sin&

再解直角三角形即可求得；選③：由三角形的面積公式求江由余弦定理求小再由三角形的面積公式

即可求得.

【解答】解：（1）因?yàn)閏osA=-J,且AC（三，IT）,

32

所以sinA=V1—cos2A-1-

ac-

由正弦定理一一=--,得csiii4=asinC=4或，

sinAstnC

O-,.,4/24、泛,

所以,=麗=季=6；

（2）選①：因?yàn)?=6,由（1）知，c=6,

所以。=c,則A=C,

因?yàn)锳為鈍角，所以不符合三角形的內(nèi)角和定理.，

所以aABC不存在；

選②：因?yàn)閎sinC=*2,則由正弦定理..=——得cs出8=hsinC="

JsinBsinCJ

由（1）知，c=6,所以=一卜=一1一=七-，

所以BC邊上的IWJ/?=csinB=6x—^―=—^―；

選③：因?yàn)椤鰽8C面積為10夜，由（1）知，c=6,sinA=

所以S=\bcsin4,即10魚=義x6x芻2力，解得〃=5,

由余弦定理可得：tz2=/?2+c2-2hccosA=25+36-2x5x6x（-1）=81,即4=9,

設(shè)BC邊上的高為〃，則S=2Q/I,所以/=§=挈.

乙Ci-X

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正、余弦定理和三角形的面積公式解三角形，屬于中檔題.

19.（2025?天津）在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為小△c.已知asinB=V3bcosA,c-2b=l,a=V7.

（/）求A的值；

（n）求c；

（III）求sinCA+2B）的值.

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】（/）人=幸

（II）c=3；

4百

（III）—.

7

【分析】（/）由正弦定理，邊角互化求解即可；

（II）由余弦定理可得《=廬2-2Acos4,代入已知數(shù)據(jù)及b=早，求解即可；

（III）由余弦定埋可得cos8=彎，sin8=等，從而求出cos28、sin28的值，最后由兩角和的正弦公

式求解即可.

【解答】解：（/）因?yàn)閛sinB=V5ZXX）SA,

所以sin/lsinA?=V3sin^cosA?

又因?yàn)閟inBWO,

所以sin4=V5COSA,

即tanA=V3,

因?yàn)锳W（0,IT）,

所以A=4；

(II)因?yàn)?=J,c-2b=1,a=\H,

所以a2=b2+c1-2bccosA,

即7=（與工）2+/-2x|x'D,

乙乙乙

整理得:3d=27,

解得c=3；

(III)因?yàn)锳=g,c-2b=1,c=3,a=V7,

J

所以b=\,

222

Da+c-b5541

COSB=2ac=后F'

所以sinB=V1-cos2B=-^==

所以sin25=2sin8cos4=cos2/?=cos2/?-sin2Z?=

所以sin(A+2B)=sirL4cos23+cosAsin23=孚xm+5乃4百

X7T=—

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換、利用正弦定理及余弦定理解三角形，屬于中檔題.

20.（2025?上海）在△ABC中，角4、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且c=5.

,asinBn

⑴右五=石？0=2'求。；

（2）若而=20,求△A8C的面積的最大值.

【考點(diǎn)】解三角形.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；不等式；運(yùn)算求解.

【答案】（1）2通;

5755

(2)----.

4

【分析】C）由看二鬻‘結(jié)合正弦定理算出〃=?,然后根據(jù)勾股定理求出邊〃的長(zhǎng);

（2）根據(jù)余弦定理與基本不等式，算出cos。的最小值，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求得sinC的最大值,

進(jìn)而可得8c的面積的最大值.

ccIRch

【解答】解：（1）由玄=—；,根據(jù)正弦定理得六二一，化簡(jiǎn)得。=28，

4bstnA4ba

因?yàn)镃=3，c=5,所以。2+/）2=。2=25,gp4Z>2+/?2=25,解得》=b，a=2b=2V5；

223

（2）根據(jù)岫=20,c=5,由余弦定理得cosC=貯端士=余Ca+b-25）N焉（2M-25）-

8

當(dāng)且僅當(dāng)。=》時(shí)，等號(hào)成立.

所以cos2c言,HP1-sin2C>可得結(jié)合sinOO,解得sinCW竿.

因?yàn)椤鰽BC的面積S=%sinC=lOsinCWIOX阜=工

Lo4-

所以當(dāng)a=h=2遍時(shí)，△ABC的面枳取得最大值&竺.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理與余弦定理、三角形的面積公式、運(yùn)用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于

中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.充分條件的判斷

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

充分條件是指如果條件P成立，則條件。必然成立.在數(shù)學(xué)上，通常記作尸=。.充分條件的概念在邏輯

推理和數(shù)學(xué)證明中非常重要，常用于判斷某些結(jié)論是否成立.例如，在三角形中，如果一個(gè)三角形是等邊

三角形，那么它必然是等腰三角形，這就是等邊三角形是等腰三角形的充分條件.

【解題方法點(diǎn)撥】

要判斷一個(gè)條件是否為充分條件，可以通過驗(yàn)證當(dāng)條件P成立時(shí)，條件Q是否也必然成立.通常可以通過

具體實(shí)例或邏輯推理來驗(yàn)證.例如，假設(shè)P成立，通過推理或計(jì)算驗(yàn)證。是否成立.如果可以找到反例，

即P成立但。不成立，則戶不是Q的充分條件.

【命題方向】

在高考和其他數(shù)學(xué)考試中，常見的充分條件的命題方向包括幾何圖形的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的性質(zhì)

等.例如，三角形全等判定條件中的“S、SSS等都是充分條件.函數(shù)的單調(diào)性和極值之間的關(guān)系也是常

見的命題方向.

下列選項(xiàng)中，滿足〃是q的充分條件的是()

A.p：x>>/2,q：x>1

B.p：/n=0,qzmn=O

C.p：x2WO,q：xWO

D.p：x>ytq：

解：對(duì)于A,由4>或可推出x>l,所以4>式是的充分條件，A正確，

對(duì)于B,由rn=O可推出mn=Q,所以m=O是mn=0的充分條件，B正確，

對(duì)于C,由/WO可推出工#(),所以/wo是X六0的充分條件，。正確，

對(duì)于。，當(dāng)x=2,)，=-2時(shí)，x>y,但是/=/，所以不是/>)2的充分條件，。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

2.必要條件的判斷

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

必要條件是指如果條件Q成立，那么條件P必然成立.用符號(hào)表示為QnP.必要條件是判斷一個(gè)結(jié)論是

否必須具備的條件.例如，如果一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶數(shù)的必要條件.在

解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，確定必要條件可以幫助我們縮小可能的解答范圍.

【解題方法點(diǎn)撥】

要判斷一個(gè)條件是否為必要條件，可以通過假設(shè)條件Q成立，然后驗(yàn)證條件尸是否也必然成立.可以使用

反證法，即假設(shè)。不成立，看看。是否也不成立.如果。不成立，那么。是。的必要條件?.此外，可以

通過邏輯推理和實(shí)例驗(yàn)證來進(jìn)行判斷.

【命題方向】

必要條件的命題方向通常包括數(shù)列的收斂性判定、幾何圖形的判定等.例如，判斷一個(gè)四邊形是否是平行

四邊形，可以利用對(duì)角線互相平分這個(gè)必要條件.

若關(guān)于x的方程『+（〃?-1）.計(jì)1=0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則它成立的必要條件可以是（）

A."\<m<3

13.-2<m<4

C./n<4

D.-\^m<2

解:因?yàn)榉匠?+（/n-1）x+l=0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以方程，+Cm-I）x+l=0的判別式AW（）,

即：（〃？-1）2-4W0,解得7WmW3,

利用必要條件的定義，結(jié)合選項(xiàng)可知，-1W〃?W3成立的必要條件可以是選項(xiàng)B和選項(xiàng)C.

故選：BC.

3.平面向量的概念與幾何表示

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

向量概念

既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)

量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）.在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量.

向量的幾何表示

用有向線段表示向品，有向線段的長(zhǎng)度表示有向向?qū)У拇笮?，用箭頭所指的方向表示向我的方向.即用表

示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母