2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之函數(shù)概念與性質(zhì)（二）

一.選擇題（共9小題）

I.（2023?乙卷）已知/（X）=eax-l是偶函數(shù)，則4)

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2023?北京）下列函數(shù)中在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（)

1k11

A.f(x)=-InxB.f(A)=>C.f(A)=D.f(A-)=3

3.（2022?乙卷）已知函數(shù)/（x）,g（x）的定義域均為R,且f（x）+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)

=7.若y=g（x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g（2）=4,則￡絲i/（&）=（）

A.-21B.-22C.-23D.-24

4.(2022?新高考II)已知函數(shù)/J)的定義域?yàn)镽,且/(x+)，)+f(X-y)=/(x)/()，)，/(I)=1,則

f(k)=()

A.-3B.-2C.0D.I

5.（2022?乙卷）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間L3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（）

x^—x

C2XCOSX、2sinx

C.v=

%2+1D?尸KT

6.(2022?甲卷)函數(shù)/(x)=(3》-3.*)cou在區(qū)間［-皆家的圖像大致為（）

y

Tt

~2

A.

y

B.

8.（2022?天津）函數(shù)），=。豆的圖像大致為（）

O

C.

〃的最大值為.

四,解答題（共1小題）

20.（2023?上海）已知a,c€R,函數(shù)/（x）=出筆學(xué)三.

（I）若a=0,求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在c使得/（X）是奇函數(shù)，說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1,3）,且函數(shù)/（外與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求此時(shí)。的值和。的取值范圍.

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之函數(shù)概念與性質(zhì)（二）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

題號(hào)123456789

答案DCDAAAAAC

二.多選題（共1小題）

題號(hào)10

答案ABC

一.選擇題（共9小題）

I.（2023?乙卷）已知/（x）是偶函數(shù)，貝lja=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】。

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)算即可得解.

【解答】解：???/（1=蕓7的定義域?yàn)椋究偅?又/（￡為偶函數(shù),

VJL

/./（-X）=/（X）,

*-xe~xxex

，，

e-ax_1.eax_^

?xeax-xxex

**eax-l=eax-l

^ax-x=x,

另法：,:于（X）=.受］=e（a-l"er'

又/（#是偶函數(shù)，），=x為奇函數(shù)，

所以產(chǎn)J""'--為奇函數(shù)，

所以eQ-Dx-eFe（「涼》-，=0,

所以。=2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

2.(2023?北京)下列函數(shù)中在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.f(x)=-InxB.fA)=8C./(x)=-iD./(x)=3k'"

【考點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【答案】C

【分析】根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，y="x在(0,+°°)上單調(diào)遞增，所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞

減，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)8選項(xiàng)，尸2、在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(x)=接在(0,+oo)上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)C選項(xiàng)，y=［在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(%)在(0，+oo)上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)正確;

對(duì)。選項(xiàng)，f(x)=3及一"在(0,+8)上不是單調(diào)的，。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查初等函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.

3.(2022?乙卷)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(1-4)

=7.若y=8(.V)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g(2)=4,則￡絲1/(妨=()

A.-21B.-22C.-23D.-24

【考點(diǎn)】抽象函數(shù)的周期性；函數(shù)的值.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】由y=g(x)的對(duì)稱性可得/CO為偶函數(shù)，進(jìn)而得到關(guān)于點(diǎn)(-1,-1)中心對(duì)稱，

所以/(1)=/(1)=1,再結(jié)合/(冷的周期為4,即可求出結(jié)果.

【解答】解：???y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則g(2-x)=g(2+x),

V/(x)+g(2-x)=5,：.f(-x)+g(2+x)=5,/./(-x)=/(x),故f(x)為偶函數(shù),

???g(2)=4,/(0)+g(2)=5,得/(O)=1.由8(x)-/(x-4)=7,得g(2-%)=/(-x-2)

+7,代入/(x)+g(2-x)=5,得/(x)+/<-x-2)=-2,故/(x)關(guān)于點(diǎn)(?1,-1)中心對(duì)稱，

/./(1)=/(-1)=-1,由/(x)(?x-2)=?2,/(?x)=f(x),得/(x)+f(A-+2)=-2,

?V(x+2)V(x+4)=-2,故/(x+4)=f(x),f(x)周期為4,

由/(O)4/(2)=-2,得廣：2)=-3,又/(3)=/(-1)=/(1)=-L

所以2蹌1f?)=十(1)+6f(2)+5f(3)+5/(4)=11X(-1)+5X1+6X(-3)=-24,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)?稱性和周期性，屬于中檔題.

4.(2022?新高考H)已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且/(x+y)+f(x-y)=f(x)/()，)，/(I)=1,則

咨/?)=()

A.-3B.-2C.0D.1

【考點(diǎn)】抽象函數(shù)的周期性.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】先根據(jù)題意求得函數(shù)/(x)的周期為6,再計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的每個(gè)函數(shù)值，由此可得解.

【解答】解：令y=l,則/("I)(x-1)=/(x),即/(K+1)=/(x)-/(A-1),

.*./(x+2)=f(x+1)-f(x)ff(x+3)=f(x+2)-/(x+1),

/./(x+3)=-/(x),則f(x+6)=-/(x+3)=/(x),

.V(x)的周期為6,

令x=l,)，=0得/(I)4/(1)=/(1)X/(0),解得/(0)=2,

又/(x+1)=f(x)-f(x-1),

A/(2)=/(l)-/<O)=-1,

/(3)=/(2)-f⑴=-2,

f(4)=f(3)-/(2)=-1,

/(5)=/(4)-/(3)=1,

/(6)=/(5)?/(4)=2,

f(k)=1-1-2-1+14-2=0,

，溪1/W=3x0+/(191+/(20)+/(21)+/(22)=/(1)4/(2)4/(3)+/(4)=3.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)周期性的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

5.(2022?乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是()

B.尸

x2+l

廠2xcosxn2sinx

c?產(chǎn)收了D?尸而

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】函數(shù)思想：數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：直觀想象.

【答案】A

【分析】首先分析函數(shù)奇偶性，然后觀察函數(shù)圖像在（1,3）存在零點(diǎn)，可排除B選項(xiàng)，再利用基本

不等式可判斷C。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【解答】解：首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)為奇函數(shù),

其次觀察函數(shù)在（1,3）存在零點(diǎn),

%

而對(duì)于8選項(xiàng)：令y=0,即-3—=0,解得x=0,或x=l或x=-l,故排除8選項(xiàng);

%2+1

C選項(xiàng):當(dāng)x>0時(shí)，2A>0,?+1>0,因?yàn)镃OSAW[-1,1],

,,2xcosx2x2一，.12

故F——<——=-I，且當(dāng)x>0時(shí)，x+->2,故1Z一i<1,

x2+lx2+lx+-xx+-

而觀察圖像可知當(dāng)3>0時(shí)，/（k）〃心21,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

。選項(xiàng)，產(chǎn)矍詈中，當(dāng)％=3時(shí)，尸斗薩X）,故排除。選項(xiàng).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.

"7T

6.（2022?甲卷）函數(shù)/（x）=（3、-3七）cou在區(qū)皿遙，寸的圖像大致為（）

y

_匹

A.

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】數(shù)形結(jié)合：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的特殊值判斷點(diǎn)的位置.，推出選項(xiàng)即可.

【解答】解：/(x)=(3X-3X)cosx,

可知f(-x)=(3'r-3v)cos(-x)=-(31-3飛)cosx=-/(x),

函數(shù)是奇函數(shù)，排除8D；

當(dāng)x=l時(shí)，F(xiàn)⑴=(3-3'1)cosl>0,排除C.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題.

7.(2022?甲卷)函數(shù)尸(3v-3'nCOI在區(qū)間［-3,芻的圖象大致為()

乙2

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的特殊值判斷點(diǎn)的位置，推出選項(xiàng)即可.

【解答】解：/(x)=(3A-3'V)cosx,

可知/(-x)=(3x-3V)cos(-x)=-(3*?3*)cosx=-f(x)，

函數(shù)是奇函數(shù)，排除8。；

當(dāng)x=I時(shí)，/(1)=(3-31)cosl>0,排除C.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題.

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和特殊點(diǎn)，即可判斷.

【解答】解：函數(shù)/（幻=吃豆的定義域?yàn)椋?8,0）U（0,+8）,

,V(-x)=l^1zll=_y(x),

???該函數(shù)為奇函數(shù)，故C。錯(cuò)誤；

x>0時(shí)，x-*0,f(x)—+8；x=\,f(x)=0；,l+8,f(x)—+8,

故8錯(cuò)誤，A正確.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象，屬「基礎(chǔ)題.

9.(2022?上海)下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是()

_1,11

A.y=x2B.y=xC.y=D.y=x2

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.

【專?題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】化分?jǐn)?shù)指數(shù)曷為根式，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域得答案.

【解答】解：y=x-^=j=,定義域?yàn)閧小>0},

y=x-1=p定義域?yàn)閧入出#0},

y=x3=Vx,定義域?yàn)镽,

y=x2=y/x,定義域?yàn)?/p>

1

，定義域?yàn)镽的是y=*.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題.

二,多選題(共1小題)

(多選)10.(2023?新高考I)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(盯)=臼(外+/())則()

A.f(0)=0

B./(1)=0

C./(x)是偶函數(shù)

D.x=0為/(x)的極小值點(diǎn)

【考點(diǎn)】抽象函數(shù)的周期性；函數(shù)的奇偶性.

【專題】函數(shù)思想；試驗(yàn)法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】ABC

【分析】在已知等式中，取x=)，=0判斷A：取x=y=l判斷8：求出再取y=7判斷C；

取滿足等式的特殊函數(shù)判斷D

【解答】解：由/⑻=y^f(x)+/()，)，

取x=y=O,可得/(0)=0,故A正確；

取x=y=l,可得/(I)=2f(1),即/'(I)=0,故8正確；

取x=y=-I,得/(I)=2/*(-1),即/(-I)=(1)=0,

取)=7,得f(-x)=/(%)，可得/(X)是偶函數(shù)，故C正確；

由上可知，/(-I)=/(0)=/(1)=0,而函數(shù)解析式不選定，

不妨取/(x)=0,滿足f(xy)=y-f(,v)+X2/*(y),

常數(shù)函數(shù)/(x)=0無(wú)極值，故。錯(cuò)誤.

故選：A1SC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，取特值是關(guān)鍵，是中檔期.

三.填空題(共9小題)

11.(2023?北京)已知函數(shù)/(*=4A+log2,r,則/(三)=1.

2

【考點(diǎn)】函數(shù)的值；反函數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析?】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：,??函數(shù)/(彳)=4v+log2x,

111

：?，=42+log2~=2-1=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2023?甲卷)若丁=(X-1)2+ai+sin(x+^)為偶函數(shù)，則a=2.

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】2.

【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的定義可得/(-X)=X2+2X-64r+l+cosx=x2-2x+tu+1+COSA=/(x),變

形分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)/(x)=(x-1)2+av+sin(x+冬)=AT-Zx+av+l+cos^,

其定義域?yàn)镽，

若f(x)為偶函數(shù)，則/(-x)=AT+2X-ax+\+cosx=x1-2:c+cix+1+cosx=/(x),

變形可得(a-2)工=(),必有a=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，涉及函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2023?甲卷)若/(x)=(A-1)2+aA+sin(x+*)為偶函數(shù)，則a=2.

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】2.

【分析】根據(jù)題意，先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合偶函數(shù)的定義可得關(guān)于。的方程，解可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)/(x)=(x-1)2+ax+sin(x+冬)=.P-2x+ar+l+cos^,

若f(x)為偶函數(shù)，則/(-x)=X2+2X-ax+1+cos.v=x2-2x+ax+1+cosx=f(x),

變形可得(a-2)x=0在R上恒成立，必有。=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳函數(shù)奇偶性的定義，涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2023?上海)已知函數(shù)/⑺,則函數(shù)/(x)的值域?yàn)?,+8).

【考點(diǎn)】函數(shù)的值域.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】［1,+8).

【分析】分段求出/(X)的值域，再取并集即可.

【解答】解：當(dāng)xWO時(shí)，/G)=1,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=2r>l,

所以函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?,+8).

故答案為：［1，+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2023?全國(guó))/(x)為A上奇函數(shù)，/(x+4)=/(%),/(I)+f(3)+f(4)+f<5)=6,/(

3)=6.

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：運(yùn)算求解.

【答案】6.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的周期性，即可求解.

【解答】解：/(x+4)=/(x),

則函數(shù)/(x)的周期為4,

/(x)為R上奇函數(shù)，

/(0)=/(4)=0,

令x=-2,

則/(-2+4)=/(2)=/(-2)=-/(2),解得/(2)=0,

令x=-3,

則/⑴=/(-3)=-/(3),

/(I)=/(5)=/(-3),

所以/(I)4/(2)4/(3)4/(4)tf(5)=-/(3)4/(2)±f(3)4/(4)+/<-3)=/(-3)=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2023?全國(guó))已知函數(shù)/⑴=21+2-\則/(x)在區(qū)間［一:，身的最大值為呼.

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

■2,3^2

【答案】—.

2

【分析】求導(dǎo)后得到/Cr)在［一表0)單調(diào)遞減，在(0,會(huì)單調(diào)遞增，由/(—卞二零，/(0)=2,

/(；)=竽，比較大小即可求解.

【解答】解：:/(X)=2'+2汽

：.f(X)=27?:2-2'xln2=ln2(2V-2D,

令f(x)=0,則x=0,

?V(x)在［一］0)單調(diào)遞減，在(0,與單調(diào)遞增，

42

?r(1、_3,/2、/-/^\_3/2

?2)—2，Jv0?—2,—2，

身的最大值為一^—.

則/（工）在區(qū)間[一4

故答案為：當(dāng)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題.

1____

17.（2022?北京）函數(shù)/（x）=亍+4^的定義域是（-8,0）U（0,I].

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】（?8,o）u（o,1].

【分析】由分母不為0,被開(kāi)方數(shù)非負(fù)列不等式組，即可求解函數(shù)的定義域.

【解答】解：要使函數(shù)/（幻=1+?^有意義，

則《二：之0,解得xWl且xWO,

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?8,o）u（o,1].

故答案為：（?8,o）u（o,1].

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳函數(shù)定義域的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.（2022?上海）設(shè)函數(shù)/（x）滿足f。）=/（上）對(duì)任意.隹[0,+8）都成立，其值域是A/,已知對(duì)任何

JLI人

滿足上述條件的/（X）都有｛m，=/（x）,OWxWa｝=A/,則a的取值范圍為+8）.

【考點(diǎn)】函數(shù)的值域；函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】方案型；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】[第，+8）.

【分析】由題可得｛y[y=/Q）,OWxW與八再根據(jù)aV與i時(shí)不合題意，進(jìn)而即得；或等價(jià)

11

于------<a恒成立，即一一（1+a）4%恒成立，進(jìn)而即得.

1+x+aa

【解答】解：法一：令工=告，解得％=亨（負(fù)值舍去;，

當(dāng)4G[0，A時(shí)，X2=同今Gr[1，1]，

當(dāng)6（"11，+8）時(shí),x2=勺；]€（0，'，?1）,

且當(dāng)今W（與L+8）時(shí)，總存在外=五%€（0,與與，使得/（加）=/（X2）,

故｛y|y=/(x),o<x<=Ar

若Q<岳21'易得了(':1)生［y\y=/(%)，o<%<Q}.

所以亭,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為［干，+00);

法二：原命題等價(jià)于任意a>0,f［x+a)=f(］+；+a)，

所以］+：+a<a=>x>^-(l+a)恒成立，

即:-(1+a)<0恒成立，又a>0,

所以aN與L

即實(shí)數(shù)4的取值范圍為［與1，+00).

乙

故答案為：［與+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了集合的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.(2022?北京)設(shè)函數(shù)/(x)=［一球+：'X〈a'若f(x)存在最小值，則a的一個(gè)取值為0:

l(x-2)2,x>a

a的最大值為］.

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值；分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】數(shù)形結(jié)合：分析法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】0,1.

【分析】對(duì)函數(shù)/G)分段函數(shù)的分界點(diǎn)進(jìn)行分類討論，研究其不同圖像時(shí)函數(shù)取最小值時(shí)。的范圍即

可.

【解答】解：當(dāng)“VO時(shí)，函數(shù)/(外圖像如圖所示，不滿足題意，

當(dāng)〃=0時(shí)，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，滿足題意;

當(dāng)0V〃V2時(shí)，函數(shù)f（x）圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需滿足-J+12（）,解得：OVqWl；

當(dāng)〃=2時(shí)，函數(shù)/（x）圖像如圖所示，不滿足題意,

當(dāng)〃>2時(shí)，函數(shù)/（工）圖像如圖所示，要使得函數(shù)/（3有最小值，需（〃-2）2^-a2+\,無(wú)解,故

不滿足題意；

綜上所述：。的取值范圍是[0,1],

故答案為：0,1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用分段函數(shù)圖像確定函數(shù)最小值是分界點(diǎn)的討論，屬于較難題目.

四.解答題（共1小題）

20.（2023,上海）己知mcGR,函數(shù)/（%）=>+（3?1）尤+：

（1）若〃=0,求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在c使得/G）是奇函數(shù)，說(shuō)明理由：

（2）若函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1,3）,且函數(shù)/（外與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求此時(shí)。的值和。的取值范圍.

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】函數(shù)思想：轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】(1)〃=0時(shí)，/(X)的定義域?yàn)閧小H0},不存在c使得/(x)是奇函數(shù).

111

(2)(一，-)U(一，4-00).

322

【分析】(1)。=0時(shí)，求出函數(shù)/(x)的解析式，根據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶性進(jìn)行求解判斷即可.

(2)根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(1,3),求出c的值，然后根據(jù)/Q)與八軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為?元

二次方程根的分布進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(1)若。=0,則/'(X)=雙亨*=x+*+l,

要使函數(shù)有意義，則xKO,g|-/(x)的定義域?yàn)?x#0),

???y=x+*是奇函數(shù),y=l是偶函數(shù),

???函數(shù)/(x)=x+2+l為非奇非偶函數(shù)，不可能是奇函數(shù)，故不存在熨數(shù)C,使得f(x)是奇函數(shù).

l+3a+l+c3a+2+c

(2)若函數(shù)過(guò)點(diǎn)(1,3),則/(I)==3,得3a+2+c=3+3a,得c=3?2=l,

1+Q1+Q

此時(shí)/(x)=史土@空羋±1,若數(shù)/J)與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

人IV4-

即f(X)=芷土空學(xué)士1=0,得(3a+l)x+l=o,當(dāng)］V0時(shí)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

設(shè)g(x)=』+(3a+l)x+1,

Z=(3a+l)2-4>0

Q刃她V-11

XiX=1>03。+1>2或3。+1〈-2得

則231，即a/,

\x+x=-(3a+l)<0*寸

x23a+l>0a>-o

L咿VO?J

若x+a=O即x=-a是方程/+(3a+l)x+l=O的根,

則。2-(3a+\)a+\=0,即如+〃-1=0,得或a=-l,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是且存劣且4-1,

111

即(一，-)U(-,4-00).

322

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程，轉(zhuǎn)化為一元二

次方程根的分布是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.函數(shù)的定義域及其求法

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；

②根式（開(kāi)偶次方）被開(kāi)方式2（）；

③對(duì)數(shù)的真數(shù)大了零，以及對(duì)數(shù)底數(shù)大于零且不等「I；

④指數(shù)為零時(shí)，底數(shù)不為零.

⑤實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域；

【辭題方法點(diǎn)撥】

求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組.（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，其定義域是使解析

式有意義的自變量的取值集合.（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意

義，還要有實(shí)際意義（如長(zhǎng)度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）.（3）若一函數(shù)解析式是由幾個(gè)

函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這幾個(gè)函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域?yàn)?/p>

空集，則函數(shù)不存在.（4）抽象函數(shù)的定義域：①對(duì)在同一對(duì)應(yīng)法則/下的量“x”“x+a”“x-a”所要滿

足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x,所以求gCv）的定義域應(yīng)求g（x）中的x的范圍.

【命題方向】高考會(huì)考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題.

2.函數(shù)的值域

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)值的集合lf（x）|xE4｝叫做函數(shù)的值域.A是函數(shù)的定義域.

【解題方法點(diǎn)撥】（1）求函數(shù)的值域

此類問(wèn)題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法

等.

無(wú)論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.

（2）函數(shù)的綜合性題目

此類問(wèn)題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目.

此類問(wèn)題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力.

在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng).

（3）運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際忻題

此類問(wèn)題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從而利用所學(xué)知識(shí)去解決.此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析

能力和數(shù)學(xué)建模能力.

【命題方向】函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，有時(shí)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題中出現(xiàn),

是?？碱}型.

3.函數(shù)的圖象與圖象的變換

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

函數(shù)圖象的作法：通過(guò)如下3個(gè)步驟(1)列表；(2)描點(diǎn)；(3)連線.

解題方法點(diǎn)撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過(guò)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，列出表格,

然后在直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)確描點(diǎn)，然后連線(平滑曲線).

命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問(wèn)，常見(jiàn)考題是，常見(jiàn)函數(shù)的圖象，有時(shí)結(jié)合函數(shù)

的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性知識(shí)結(jié)合命題.

圖象的變換

I.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線.

首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性

等).

其次：列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(I)平移變換:

y=f(.x)”>0,右移〃個(gè)單位(“V0,左移悶個(gè)單位)

y=f(x)b>0,上移〃個(gè)單位(力<0,下移回個(gè)單位)=>y=f(x)+b.

(2)伸縮變換:

0CX1,伸長(zhǎng)為原來(lái)聯(lián)倍

0

3,縮短演來(lái)聯(lián)

(x)y=f(3%)；

y=f(x)A>\,伸為原來(lái)的A倍(OVAVI,縮為原來(lái)的A倍)=)，=*(x).

(3)對(duì)稱變換:

y=f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱ny=-f⑺；

y=f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱(-x)；

y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱=>y=-f(-x).

(4)翻折變換：

)，=/(.?)去掉y軸左邊圖，保留)，軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊=y=/(|x|)；

y=f(x)留卜x軸上方圖將x軸卜一方圖翻折上去yul/a)

【解題方法點(diǎn)撥】

1、畫(huà)函數(shù)圖象的一般方法

（I）直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式（或變形后的表達(dá)式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時(shí)，可根

據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.

（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作

出，但要注意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ?/p>

換單位及解析式的影響.

（3）描點(diǎn)法：當(dāng)上面兩種方法都失效時(shí)，則可采用描點(diǎn)法.為了通過(guò)描少量點(diǎn)，就能得到比較準(zhǔn)確的圖

象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論.

2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法

（I）知圖選式：

①?gòu)膱D象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；

②從圖象的變化趨勢(shì)，觀察函數(shù)的單調(diào)性；

③從圖象的對(duì)稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性：

④從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性.

利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確的選項(xiàng).

（2）知式選圖：

①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；

②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.

④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確選項(xiàng).

注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當(dāng)選項(xiàng)無(wú)法排除時(shí)，代特殊值，或從某些量上尋找突破口.

3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

從弱象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向

趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.

（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個(gè)數(shù)

有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；利用此法也可由解的個(gè)數(shù)求參數(shù)值.

【命題方向】

（I）1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)■■圖象變換中的易錯(cuò)點(diǎn)

在解決函數(shù)圖象的變換問(wèn)題時(shí)，要遵循“只能對(duì)函數(shù)關(guān)系式中的X,y變換”的原則，寫(xiě)出每一次的變換所

得多象對(duì)應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯(cuò).

（2）3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)--正確作出函數(shù)圖象的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點(diǎn)：

①正確求出函數(shù)的定義域；

②熱練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、形如），=%+

的函數(shù)；

③掌握平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來(lái)幫助我們簡(jiǎn)化作圖過(guò)

程.

（3）3種方法--識(shí)圖的方法

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面來(lái)獲取圖中所提供的

信息，解決這類問(wèn)題的常用方法有：

①定性分析法，也就是通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢(shì)，利用這一特

征來(lái)分析解決問(wèn)題；

②定量計(jì)算法，也就是通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題：

③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)題.

4.由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量W，X2,

當(dāng)X1V4時(shí)，都有/（不）</（也），那么就說(shuō)函數(shù)/（X）在區(qū)恒。上是增函數(shù)；當(dāng)XI>X2時(shí)，都有/（M）

</（A-2）,那么就說(shuō)函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是減函數(shù).

若函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是相函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)/（X）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)

問(wèn)Q叫做），=/（“）的單調(diào)區(qū)間.

【解題方法點(diǎn)撥】

證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號(hào)；⑤下結(jié)論.

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

第一步：求函數(shù)的定義域.若題設(shè)中有對(duì)數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考

慮定義域.

第二步：求函數(shù)/（x）的導(dǎo)數(shù)，（X）,并令/（x）=0,求其根.

第三步：利用/(x)=0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列表.

第四步：由/(X)在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷了(X)在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：求極值、最值.

第五步：將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/(x)〃心或/J)mid,解不等式求參數(shù)的取值范圍.

第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論

【命題方向】

從近三年的高考試題來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選

擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，

主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思

想方法.預(yù)測(cè)明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取

值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力.

5.函數(shù)的最值

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱

坐標(biāo)，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點(diǎn)的值，然后進(jìn)行比較可得.

【解題方法點(diǎn)撥】

①基本不等式法：如當(dāng)心＞0時(shí)，求2x+］的最小值，有2x+孩之20^=8；

②轉(zhuǎn)化法：如求|x-5|+|x-3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點(diǎn)到x=5和A=3的距離之和，易知最

小值為2；

③求導(dǎo)法：通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)的值最后進(jìn)行比較.

【命題方向】

本知識(shí)點(diǎn)是?？键c(diǎn)，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視.本知識(shí)點(diǎn)未

來(lái)將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個(gè)參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的

自變量或者參數(shù)的范圍.常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等.

6.函數(shù)的奇偶性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

①如果函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)文，都有/(-/)=-/J),那么函

數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于(0,0)對(duì)稱.②如果函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

定義域內(nèi)任意一個(gè)「都有/'(r)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱.

【解題方法點(diǎn)撥】

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用/(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用/(x)=-/(-x)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用/(x)=/(-x)這個(gè)去求解；

④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反.

例題：函數(shù)y=MR+px,是()

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶D.與〃有關(guān)

解：由題設(shè)知/(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

因?yàn)?(-x)=-.r|-x|-px=-A|A|-px=-f(x),

所以/(x)是奇函數(shù).

故選從

【命題方向】

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確

率.

7.抽象函數(shù)的周期性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù).由于抽象函數(shù)

表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問(wèn)題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一.

【解題方法點(diǎn)撥】

①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來(lái)，如f(x+v)=f(x)4/()，)，它的原型就是.V

—MLV;

②可通過(guò)賦特殊值法使問(wèn)題得以解決

例：f(邛)=/(x)+f(y)，求記/(1)=/(-1)=0

令x=y=l,則/(I)=2f(l)=>/(1)=0

令x=y=-I,同理可推出/(-I)=0

③既然是函數(shù)，也可以運(yùn)用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；

【命題方向】

抽象函數(shù)及其應(yīng)用.

抽象函數(shù)是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)范點(diǎn)，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種.高考中一般以中檔題

和小題為生，要引起重視.

8.函數(shù)的值

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

函數(shù)的值是指在某一自變量取值卜，函數(shù)對(duì)應(yīng)的輸出值.

【解題方法點(diǎn)撥】

-確定函數(shù)的解析式，代入自變量值，計(jì)算函數(shù)的值.

-驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題分析函數(shù)的值.

-利川函數(shù)的值分析其性質(zhì)和應(yīng)用.

【命題方向】題目包括計(jì)算函數(shù)的值，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題求解函數(shù)的值及其應(yīng)用.

X+2,x<0

0<%<2,求/(/(/(_*)))的值；

(X>2

113

^-+2=

-2-2-

3白9)

Z

(---r

K229=4

914=9

z--

vf4-2x8_J

99

故f(/(/(_?)=/(渴))=4一