變同匍量與犬體幾何（斛客鑒J

6科年見考依歸類

分考點?精準練

考點01平行關系的判定

1.（2025?上海?高考真題）如圖，P是圓錐的頂點，O是底面圓心，力〃是底面直徑，且/B=2.

⑴若直線尸片與圓錐底面的所成角為求圓錐的側面積；

*3

（2）已知。是母線口的中點，點C、。在底面圓周上，且弧力。的長為鼻CD//AB.設點M在線段OC

上，證明：直線0M〃平面P8O.

2.（2023?全國乙卷高考真題）如圖，在三楂錐尸-48。中，AB1,BC，48=2,BC=2^PB=PC=瓜,

JBRWVK：的中點分別為。尺。，點/,'在/C上，肘,'1/。.

（1）求證：E*〃平面4/）0；

（2）若/PO”=120。，求三棱錐P-/BC的體積.

3.（2022?全國甲卷?高考真題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示:

底面WHC"是邊長為8（單位：曲）的正方形，"BCQGCO,△〃/M均為正二角形，且它們所在的平

面都與平面/8C7）垂直.

G

⑴證明：EF〃平面4BCD：

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

考點02垂直關系的判定

4.（2023?全國甲卷?高考真題）如圖，在三棱柱48。-44G中，居CL平面48C,//C8=90。.

⑴i正明：平面/CC41平面88℃；

（2）設/8=4a/4=2,求四棱錐4一88。。的高.

5.（2022?全國乙卷?高考真題）如圖，四面體力BC7）中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ABDC,W的

中點.

⑴證明：平面BED1平面ACD；

（2）設4B=BD=2,乙4cB=60。，點F在BD上,當△力"C的面積最小時，求三棱錐—彳8。的體積.

6.（2021?全國甲卷?高考真題）已知直三棱柱48C-44。中，側面4448為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為/c和G的中點，孫'14片.

（1）求三棱錐/后8。的體積：

（2）己知。為棱44上的點，證明：BF」DE.

7.（2021?全國乙卷?高考真題）如圖，四棱錐P-/灰刀的底面是矩形，,理底面/8C7）,M為8C的中

點，且PBUM?

（1）證明：平面P4W1平面P8D；

⑵若PD=DC=1，求四棱錐P-力灰7）的體積.

考點03求異面直線所成的角

8.（2025?全國一卷?高考真題）如圖所示的四棱錐P-48C7）中，/酬.1.平面力8C/J，

BC//AD.ABLAD.

⑴證明：平面P481平面/〃/）；

（2）PA=AB=>/i"D=l+&BC=2,P，B，C，。在同一個球面上，設該球面的球心為口.

⑴證明：白在平面/8C7）上；

（ii）求直線力C與直線所成角的余弦值.

9.（2021?上海?高考真題）四棱錐尸-力/無7>，底面為正方形&CD，邊長為%〃為力〃中點，r禁,1平面

（1）若△〃48為等邊三角形，求四棱錐P-4BC7）的體積；

（2）若CQ的中點為/,'，F(xiàn)W與平面48C/）所成角為45。，求更。與力。所成角的大小.

考點04求直線與平面所成的角

10.（2025?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P-48c7）中，“辦。與△陽。均為等腰直角三角形,

⑴若”,G分別為PQ,/N的中點，求證：“6〃平面43；

⑵若我4」平面48CQ，I）A=AC.求直線48與平面PCO所成角的正弦值?

11.（2024?上海?高考真題）如圖為正四棱錐P-/8C/）,。為底面/BC7）的中心.

（1）若//）=5,/。二3,2,求APO4繞尸。旋轉一周形成的幾何體的體積；

⑵若4P二川）,E為。B的中點、,求直線80與平面所成角的大小.

12.（2023?全國甲卷?高考真題）如圖，在三棱柱4月￡中，4。，底面48C,乙1C8=90。,44=2,

4到平面BCG4的距離為1.

(1)證明：4c=4C；

(2)已知44與的距離為2,求/耳與平面8CC；4所成角的正弦值.

13.(2022?上海?高考真題)如圖所示三棱錐P/18C,底面為等邊三角形力8C,。為4C邊中點，且PO_1

底面48C,AP=AC—2

⑴求三棱錐P48C的體積；

(2)若〃為4。中點，求PM與平面21。所成角大小(結果用反三角數(shù)值表示).

14.(2022?浙江?高考真題)如圖，己知/8C7)和CQ/沙都是直角梯形，AB〃DC，DC11EF，48=5,

DC=3,環(huán)位，/胡。二/C/%=60。，二面角”―—8的平面角為60。.設M,N分別為的中

點.

(1)證明：FN1AD-,

⑵求直線/M/與平面力?！彼山堑恼抑?

15.(2022?全國甲卷?高考真題)在四棱錐力灰,7)中，/)/)1底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2J)P=應.

P

⑴證明：801/9；

⑵求PD與平面所成的角的正弦值.

16.（2022?全國乙卷?高考真題）如圖，四面體>4灰刀中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ABDC,小為力C的

中點.

⑴證明：平面B以）1平面力C/>

（2）設=BD=2,ZACB=60。，點尸在川）上，當△//,C的面積最小時，求/與平面力8。所成的角的正弦

值.

17.（2022?北京?高考真題）如圖，在三棱柱力/沱-48c中，側面8CC遇為正方形，平面BC'C/l平面/陰4,

4月=8C=2,M,N分別為44，4C的中點.

⑴求證：MN〃平面

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18.（2021?浙江?高考真題）如圖，在四棱錐P-4灰為中，底而力灰7）是平行四邊形，

48。=120。,48=1,8。=4/4=而，河，N分別為8C/C的中點，Pl）X.DC,PMX.Ml）.

（1）證明：AB1PM；

（2）求直線ZN與平面P。/所成角的正弦值.

考點05求面面角或二面角

19.（2021?全國乙卷?高考真題）如圖，四棱錐/，一力3CO的底面是矩形，制』r底面48C7）,PD=DC=l,

M為BC的中點,且P814".

（2）求二面角4-PA/-8的正弦值.

20.（2023?北京?高考真題）如圖，在三棱錐〃一/8。中，叔」平面4?C,PA=AB=BC=lPC=百.

P

(1)求證:即』,平面?"；

(2)求二面角4—PC—8的大小.

21.(2025?全國二卷?高考真題)如圖，在四邊形力灰力中，ABUCD/DAB=90。,/為CO的中點，點E

在AB上，EF//AD，AB=3AD,CD=2AD,將四邊形以刃力沿凝翻折至四邊形"“/)〃'，使得面/〃力燈

與0EFCB所成的二面角為60。.

⑴證明：48〃平面C/%；

(2)求面8CQ‘與面""OW所成的二面角的正弦值.

22.(2025?天津?高考真題)正方體/*7)-4見；。的棱長為4,"分別為4AC高中點,

CG=3GCr

⑴求證：窗'JL平面"B”；

(2)求平面“/小與平面面G夾角的余弦值：

⑶求三棱錐“8*的體積.

23.(2024?全國甲卷?高考真題)如圖，在以4B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形月8c。與四

邊形4。"'均為等腰梯形，EF//AD,BCI/AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED二屈,FB=2坦,M為

(1)證明：BM〃平面CDJ

（2）求二面角F—BM-*的正弦值.

24.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P—/BQ）中，BCIIAI）,AB=BC=l，AD=3點E在AD

上，且PEJ.AD，PE=DE=2-

P

⑴若/，'為線段P點中點，求證：B卜'〃平面P。）.

（2）若AB1平面P加）,求平面與平面PCO夾角的余弦值.

25.（2024?新課標II卷?高考真題）如圖，平面四邊形力4C。中，48=8,CD=3,AD=58

—?2—?—?1―?

4/）。=90°，440=30°，點￡“滿足力"二一力。，Ab=-AH,將沿"翻折至！/）/沙，使得

52

PC=46?

⑵求平面PCD與平面PA"所成的二面角的正弦值.

26.（2023?上海?高考真題）在直四棱柱48CZ）-48KA中，制CD，AB1.AD，48=2,對）=3,

/X=4

⑴求證：力"〃平面。cc;〃；

（2）若四棱柱力灰刀-44。"體積為36,求二面角4-即-4大小.

27.（2023?全國乙卷?高考真題）如圖，在三棱錐P—48C中，4B1BC，AB=2,BC=25

PB=PC二底BP,AP,8c的中點分別為。，E,O,川)=因)0，點、F在AC上,BFL4Q

(1)證明：/訃.//平面//X)；

(2)證明：平面平面〃EE

⑶求二面角/)—力。一。的正弦值.

28.(2023?新課標II卷?高考真題)如圖，三棱錐4—8Q)中，/%=//=QC，HI)LCD,

(2)點E滿足,求二面角/)一/B-”的正弦值.

29.(2022?天津?高考真題)如圖，在直三棱柱/8C—44G中，ACLAIh點。、E、廠分別為44,44,CZ)

的中點，AB=AC=AA[=2.

⑴求證：EF//平面4BC；

(2)求直線片“與平面CCJ)所成角的正弦值：

⑶求平面4?！ㄅc平面CC；。夾角的余弦值.

30.(2022?新高考全國n卷?高考真題)如圖，〃。是三楂錐〃-4NC的高，PA=PB，AB」.4C，E是摩

的中點.

(1)證明：〃平面24C：

(2)若480=NC80=3()o,0。二3，*5,求二面角C—/E—8的正弦值.

31.(2022,新高考全國I卷?高考真題)如圖，直三棱柱的體積為4,“嚴。的面積為2亞.

⑴求力到平面4*'的距離；

(2)設。為舄C的中點，超=期，平面48cl平面彳求二面角力一8。一。的正弦值.

32.(2021,新高考全國n卷,高考真題)在四棱錐。-/灰刀中，底面/8Q)是正方形，若

AD=2,QD=QA=后,QC=3.

(1)證明：平面，〃JL平面/BC7)；

(2)求二面角-力的平面角的余弦值.

33.(2021?天津?高考真題)如圖，在棱長為2的正方體力中，E為楂BC的中點,，F(xiàn)為棱CD

的中點.

（I）求證：/）///平面4?G；

（ID求直線與平面4片（；所成角的正弦值.

（in）求二面角力-4G-月的正弦值.

34.（2021?新高考全國I卷?高考真題）如圖，在三棱錐4-BQ）中，平面/BO1平面8Q），48=4），（）

為8。的中點.

（1）證明：041CZ）：

（2）若A"R是邊長為1的等邊三角形，點”在棱力。上，1）E=2EA，且二面角川—8?！?。的大小為特,

求三棱錐力-8C/）的體積.

35.（2023?新課標I卷?高考真題）如圖，在正四棱柱—48cA中，48=2,44=4.點4*2，。2,2

分別在棱A4,%C（\DDi上,AA.=1,8叫=Dl）2=2,CC2=3.

（1）證明:B2c2〃便2；

⑵點〃在棱B片上，當二面角P—4c2-。2為睛爆時，求82P.

36.（2021?北京?高考真題）如圖：在正方體力灰力-48cA中，"為4A中點，4G與平面交于點

（1）求證：/,'為蜀商的中點；

（2）點〃是棱44上一點，且二面角"-/?'。-*的余弦值為史，求件的值.

344

37.（2024?新課標I卷?高考真題）如圖，四棱錐/灰刀中，1皿L底面4?CQ,PA=AC=2,

⑴若4O1P8,證明：4）〃平面P8C；

⑵若/Q1/）C，且二面角4—C/）—/）的正弦值為匹，求4）.