線性代數(shù)（慕課版）本章小結(jié)第5章矩陣的特征值與特征向量本章小結(jié)01知識點(diǎn)歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議3特征值與特征向量特征值、特征向量的定義性質(zhì)與對角陣相似與對角陣正交相似基本概念性質(zhì)矩陣與對角陣相似實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化有n個線性無關(guān)的特征向量n個特征值互不相同求特征值、特征向量的方法具體矩陣抽象矩陣01

知識點(diǎn)歸納本章小結(jié)01知識點(diǎn)歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議5(1)理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，(3)掌握實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)．(2)理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對角化的(4)掌握實(shí)對稱矩陣正交相似對角化的方法．矩陣的特征值和特征向量．會求充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法.02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議6具體矩陣求特征值、特征向量的步驟1OPTION2OPTION求出

的值，即得到特征值；解對每一個

，求方程組(A-

E)X=0的基礎(chǔ)解系，即得到屬于這個特征值.02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議7抽象矩陣求特征值的結(jié)論特征向量保持不變特征向量無結(jié)論設(shè)

為A的特征值，則(1)k

為kA的特征值；(2)

m為Am的特征值；(3)f(

)為f(A)的特征值；(4)A可逆，則

-1為A-1的特征值；(5)A可逆，則為A*的特征值；(6)A與AT有相同的特征值；(7)相似矩陣有相同的特征值.02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議8矩陣相似對角化的步驟(1)求出A的所有特征值

1,

2,…,

n,若

1,

2,…,

n互異，則A與對角陣相似若

1,

2,…,

n中互異的為

1,

2,…,

m，每個

i的重?cái)?shù)為ki，當(dāng)時，一定與對角陣相似；否則A不與對角陣相似.02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議9矩陣相似對角化的步驟(2)當(dāng)A與對角陣相似時，求出A的n個線性無關(guān)的特征向量并令則有02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議10??普通方陣(1)n階方陣A有n個特征值；(2)屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)；(3)

是A的r重特征值，則對應(yīng)

的線性無關(guān)的特征變量小于等于r個；(4)n階方陣A是否與對角陣相似需具體判斷.對比02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議11對比(1)實(shí)對稱矩陣A的特征值一定為實(shí)數(shù)；(2)實(shí)對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量必相互正(3)設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，

是A的r重特征值，則對應(yīng)

恰有r個線性無關(guān)的特征向量.交；(4)實(shí)對稱矩陣A與對角陣相似.(5)實(shí)對稱矩陣A與對角陣正交相似.??實(shí)對稱矩陣02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議123階矩陣與對角陣相似判定3階方陣A與對角陣相似需具體判斷與對角陣不相似02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議13

合同等價相似正交相似設(shè)A與B都是n階矩陣，存在n階可逆矩陣P，使設(shè)A與B都是n階矩陣，存在n階可逆矩陣P，使設(shè)A是m×n階矩陣，存在m階可逆矩陣P