第5講空間曲面與二次曲面第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊）（慕課版）主講教師|本講內(nèi)容空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程02空間曲線在坐標(biāo)面上的投影03二次曲面0401301空間曲線的一般方程空間曲線可看作兩曲面的交線.設(shè)??(??,??,??)=0和??(??,??,??)=0是量曲面的方程，它們的交線為C,如圖所示.OxyzS2S1C曲線上的任何點的坐標(biāo)(??,??,??)應(yīng)同時滿足這兩個曲面方程,因此，應(yīng)滿足方程組

401空間曲線的一般方程反過來，如果點M

不在曲線C

上，那么它不可能同時在兩曲面上.所以，它的坐標(biāo)不滿足方程組(8.11)

.由上述兩點可知，曲線C

可由方程組(8.11)

表示.方程組(8.11)

稱作空間曲線的一般方程.501空間曲線的一般方程

x2+y2=1表示母線平行于z

軸的圓柱面，其準(zhǔn)線是xOy

面上的單位圓，2x+3z=6表示母線平行于y

軸的平面，所以方程組就表示圓柱面與平面的交線，即橢圓，如圖所示.xyOz方程組

表示怎樣的曲線？

??例1解601空間曲線的一般方程P100

例8.28

討論方程組

??例2

方程

表示球心在坐標(biāo)原點O，解

半徑為a

的上半球面；方程表示母線平行于z軸的圓柱面，它的準(zhǔn)線是xOy

面內(nèi)圓心在半徑為的圓.

701空間曲線的一般方程該方程組表示上半球面與圓柱面的交線C，如圖所示.CaOxyz本講內(nèi)容空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程02空間曲線在坐標(biāo)面上的投影03二次曲面0401902空間曲線的參數(shù)方程對于空間曲線C，若C上的動點的坐標(biāo)x，y，z

可表示成為參數(shù)t的函數(shù)隨著t的變動可得到曲線C上的全部點，此方程組叫作空間曲線的參數(shù)方程.

將空間曲線

表示成參數(shù)方程

1002空間曲線的參數(shù)方程化簡整理得

由于C在此橢圓柱面上，故C的方程可用如下形式來表示??例3

由方程組消去Z,得解

1102空間曲線的參數(shù)方程令

由橢球柱面方程有

而則曲線可表示成為

1202空間曲線的參數(shù)方程將y=x代入x2+y2+z2=9得2x2+z2=9??例4解

將曲線

化成參數(shù)方程.

取

則z=3sinθ，從而可得該曲線的參數(shù)方程

1302空間曲線的參數(shù)方程

螺旋線是實際中常用的曲線，例如，平頭螺絲釘?shù)穆菁y就是螺旋線.螺旋線的運動軌跡如下：??例5空間一點M

在圓柱面x2+y2=??2

以角速度ω

繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時以線速度v

沿平行于z

軸的正方向上升（這里ω，v

都是常數(shù)），點M

的軌跡稱為螺旋線.試建立其數(shù)學(xué)模型.

取時間t

為參數(shù)，如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)

t=0

時，動點在x

軸上的點A(??,0,0)處，經(jīng)過t

時間，動點由A

運動到點M(x,y,z).

1402空間曲線的參數(shù)方程解所以∠AOM′=ωt，M′M=vt，從而得螺旋線方程為記點M

在xOy

面上的投影為M′(x,y,0).由于動點在圓柱面上以角速度ω

繞z

軸旋轉(zhuǎn)，以線速度v

沿平行于z

軸的正方向上升，1502空間曲線的參數(shù)方程當(dāng)θ=2π時，M點就上升固定的高度為?=2πb，這個高度在工程技術(shù)上叫螺距.令θ=ωt，

螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為

1602空間曲線的參數(shù)方程MaAM′ωtOyxz螺旋線有廣泛的應(yīng)用，例如，平頭螺絲釘—

圓柱螺旋線，圓錐對數(shù)螺旋天線，植物中的對數(shù)螺旋線現(xiàn)象.本講內(nèi)容空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程02空間曲線在坐標(biāo)面上的投影03二次曲面04011803空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C

的一般方程為下面，我們來研究上述方程組消去變量z

之后所得到的方程

因(8.13)是由(8.12)消去z

后所得，則當(dāng)坐標(biāo)x，y，z

適合方程組

(8.12)

時，前兩個坐標(biāo)x，y

必定適合方程

(8.13)，即曲線C

上的所有點都在由

(8.13)

表示的曲面上.

1903空間曲線在坐標(biāo)面上的投影而方程

(8.13)

表示一個母線平行于z

軸的柱面，因此，此柱面必定包含曲線C

.以曲線C

為準(zhǔn)線，母線平行于z

軸的柱面叫做關(guān)于xOy

面的投影柱面.2003空間曲線在坐標(biāo)面上的投影

面上的投影曲線方程.中消去z,有

??例6

先求包含曲線C且母線平行于Z軸的柱面，從方程組解

已知2103空間曲線在坐標(biāo)面上的投影坐標(biāo)面上的橢圓

母線平行于Z

軸的橢圓柱面.此方程為投影柱面方程，即一個準(zhǔn)線為

于是，曲線C在

面上的投影曲線為

2203空間曲線在坐標(biāo)面上的投影上半球面與錐面的交線

C

為??例7解求上半球面

和錐面

在面上的投

影區(qū)域.由方程組消去變量Z

，有

2303空間曲線在坐標(biāo)面上的投影這是母線平行于Z軸的投影柱面，空間立體

好鑲在該柱體內(nèi)，該柱體在xOy面上的投影區(qū)域

投影柱面在

面上的交線為

它所圍成的區(qū)域為

如圖8.33所示圖8.33xyDzxOy

由

解得x2+y2=2x，故曲面在xOy

面上的投影區(qū)域

2403空間曲線在坐標(biāo)面上的投影??例8解記圓錐面與柱面的交線為C，所以C

在xOy

平面上的投影曲線的方程為設(shè)薄片型物體S

是圓錐面

被柱面

割下的有限部分.

求C

在xOy

平面上的投影曲線的方程.本講內(nèi)容空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程02空間曲線在坐標(biāo)面上的投影03二次曲面04012604二次曲線1.橢圓錐面特別地，當(dāng)??=b

時，方程x2+y2=??2z2

表示圓錐面.由方程

所確定的曲面稱為橢圓錐面，如圖所示.

Oxyz2704二次曲線由方程

所確定的曲面稱為橢球面，??，b，c

稱為橢球面的半軸，此方程稱為橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程．橢球面的形狀如圖所示.2.橢球面Oyxzb??c2804二次曲線特別地，當(dāng)??=b=c

時，方程x2+y2+z2=??2

表示球面；當(dāng)??=b≠c

時，

方程

表示繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)橢球面.2904二次曲線所確定的曲面稱為單葉雙曲面，如圖所示.Ozyx由方程

3.單葉雙曲面3004二次曲線所確定的曲面稱為雙葉雙曲面，如圖所示.Oyxz由方程

4.雙葉雙曲面3104二次曲線??注方程

和

也都是單葉雙曲面；

方程

和

也都是雙葉雙曲面.

3204二次曲線所確定的曲面稱