幻燈片1：封面課程名稱：13.2勾股定理的應(yīng)用授課教師：[教師姓名]授課班級(jí)：[具體班級(jí)]配圖建議：以生活中常見的勾股定理應(yīng)用場(chǎng)景（如梯子靠墻、建筑框架）為背景，突出直角三角形和邊長(zhǎng)關(guān)系幻燈片2：目錄情境引入：生活中的直角三角形問題勾股定理回顧：公式與變形幾何圖形中的應(yīng)用（求邊長(zhǎng)）最短路徑問題（立體圖形展開）航海與測(cè)量中的應(yīng)用實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用課堂互動(dòng)：?jiǎn)栴}解決與計(jì)算課堂總結(jié)與技巧歸納課后作業(yè)布置幻燈片3：情境引入：生活中的直角三角形問題場(chǎng)景展示：場(chǎng)景1：工人師傅用梯子維修屋頂，梯子底部距離墻基3米，梯子長(zhǎng)5米，求梯子頂端到地面的高度。場(chǎng)景2：如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)方形草坪，長(zhǎng)20米，寬15米，從草坪一角到對(duì)角修一條小路，求小路的長(zhǎng)度。場(chǎng)景3：航海中，一艘輪船從港口出發(fā)向正東方向行駛12海里，再向正北方向行駛9海里，求此時(shí)輪船與港口的距離。問題引導(dǎo)：這些場(chǎng)景中都包含哪個(gè)幾何圖形？（直角三角形）如何利用勾股定理解決這些實(shí)際問題？引入課題：勾股定理不僅是數(shù)學(xué)中的重要定理，在解決實(shí)際問題時(shí)也有著廣泛應(yīng)用，今天我們將學(xué)習(xí)勾股定理在各類問題中的具體應(yīng)用。配圖：三個(gè)場(chǎng)景的示意圖，標(biāo)注已知條件和所求問題幻燈片4：勾股定理回顧：公式與變形核心公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊為a、b，斜邊為c，則a2+b2=c2。公式變形：求斜邊：c=√(a2+b2)求直角邊：a=√(c2?b2)，b=√(c2?a2)注意事項(xiàng)：明確直角三角形的直角頂點(diǎn)，區(qū)分斜邊和直角邊。計(jì)算時(shí)注意單位統(tǒng)一，結(jié)果可保留根號(hào)或根據(jù)要求取近似值（如保留一位小數(shù)）。應(yīng)用前需確認(rèn)圖形是否為直角三角形，或能否構(gòu)造直角三角形?？焖倬毩?xí)：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，則c=；若c=13，a=5，則b=。（答案：10；12）配圖：直角三角形邊長(zhǎng)標(biāo)注圖，公式變形的推導(dǎo)箭頭幻燈片5：幾何圖形中的應(yīng)用（求邊長(zhǎng)）例題1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，CD⊥AB于D，求CD的長(zhǎng)度。分析：先由勾股定理求出斜邊AB的長(zhǎng)度。再利用直角三角形面積公式（面積=1/2×

直角邊乘積=1/2×

斜邊

×

斜邊上的高）求CD。解答過程：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=82+62=64+36=100，∴AB=10cm?！逽△ABC=1/2×AC×BC=1/2×AB×CD，∴1/2×8×6=1/2×10×CD→24=5CD→CD=4.8cm。例題2：如圖，在△ABC中，AB=25，BC=20，AC=15，求△ABC的面積。分析：先判斷△ABC是否為直角三角形（驗(yàn)證152+202

是否等于252）。確認(rèn)是直角三角形后，以兩條直角邊為底和高計(jì)算面積。解答過程：∵152+202=225+400=625=252，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°。∴S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×15×20=150。技巧總結(jié)：求直角三角形斜邊上的高時(shí)，可結(jié)合面積公式建立等式。已知三角形三邊時(shí)，先驗(yàn)證是否為直角三角形（勾股定理逆定理）。配圖：例題1的直角三角形與斜邊上的高標(biāo)注；例題2的三角形三邊標(biāo)注及直角符號(hào)幻燈片6：最短路徑問題（立體圖形展開）例題3：如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，長(zhǎng)、寬、高分別為8cm、6cm、10cm，在盒子內(nèi)壁A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到B點(diǎn)處的食物，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）。分析：立體圖形中最短路徑需通過展開成平面圖形求解，長(zhǎng)方體展開有三種可能（前面+上面、前面+右面、左面+上面）。分別計(jì)算三種展開圖中A、B兩點(diǎn)間的直線距離，取最小值。解答過程：展開前面和上面：路徑長(zhǎng)=√[(8+6)2+102]=√(196+100)=√296=2√74cm。展開前面和右面：路徑長(zhǎng)=√[(8+10)2+62]=√(324+36)=√360=6√10cm。展開左面和上面：路徑長(zhǎng)=√[(6+10)2+82]=√(256+64)=√320=8√5cm。比較大小：2√74≈17.2，6√10≈18.97，8√5≈17.89，最短路徑為2√74cm。例題4：如圖，圓柱的底面半徑為3cm，高為10cm，一只螞蟻從A點(diǎn)沿圓柱表面爬行到B點(diǎn)（A、B在同一母線上的兩端），求最短路徑長(zhǎng)度。分析：圓柱展開為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為底面圓周長(zhǎng)的一半（π×3=3πcm），寬為圓柱的高10cm。A、B兩點(diǎn)在展開圖中為長(zhǎng)方形的對(duì)角頂點(diǎn)，路徑長(zhǎng)為長(zhǎng)方形對(duì)角線長(zhǎng)。解答過程：展開后長(zhǎng)方形長(zhǎng)=3πcm，寬=10cm，最短路徑=√[(3π)2+102]=√(9π2+100)cm≈√(88.7+100)=√188.7≈13.7cm。技巧總結(jié)：立體圖形最短路徑：“展曲為平”，將立體表面展開為平面，利用勾股定理求直線距離。長(zhǎng)方體需考慮不同展開方式，計(jì)算后取最小值；圓柱展開為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為底面半周長(zhǎng)。配圖：例題3的長(zhǎng)方體展開圖三種情況示意圖；例題4的圓柱展開圖及路徑標(biāo)注幻燈片7：航海與測(cè)量中的應(yīng)用例題5：一艘輪船從港口O出發(fā)，向正東方向行駛24海里到達(dá)A點(diǎn)，再向正北方向行駛10海里到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)輪船與港口O的距離是多少？若輪船從B點(diǎn)沿直線返回港口，每小時(shí)行駛13海里，需要多少小時(shí)？分析：OA與AB垂直，△OAB為直角三角形，OA=24海里，AB=10海里，求斜邊OB。返回時(shí)間=OB距離

÷

速度。解答過程：在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=242+102=576+100=676，∴OB=26海里。返回時(shí)間=26÷13=2小時(shí)。答：輪船與港口距離為26海里，返回需要2小時(shí)。例題6：如圖，某測(cè)量隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°

的山坡前進(jìn)1000米到達(dá)D處，再測(cè)得山頂B的仰角為60°，求山高BC（結(jié)果保留根號(hào)）。分析：過D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，構(gòu)造直角三角形ADE、BDF。利用角度關(guān)系和勾股定理表示各邊長(zhǎng)度，建立方程求解。解答過程：設(shè)DE=DF=AE=x（∠DAE=30°，AD=1000米，DE=500米，AE=500√3米）。設(shè)BF=y，∠BDF=60°，則DF=y/√3，BF=y。由∠BAC=45°，得BC=AC，即500+y=500√3+y/√3，解得y=500√3，BC=500+500√3=500(1+√3)米。技巧總結(jié)：航海問題中，正東、正北方向構(gòu)成直角，可直接構(gòu)造直角三角形。測(cè)量問題中，通過作垂線構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)和勾股定理結(jié)合求解。配圖：例題5的航海路線示意圖；例題6的測(cè)量場(chǎng)景與輔助線標(biāo)注幻燈片8：實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用例題7：如圖，某小區(qū)有一塊直角三角形空地ABC，∠C=90°，AC=6米，BC=8米，現(xiàn)要在空地內(nèi)建一個(gè)正方形健身區(qū)CDEF，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上，求正方形的邊長(zhǎng)。分析：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，AD=6?x，BF=8?x。由DE∥BC，得△ADE∽△ACB，利用相似比或勾股定理表示AE長(zhǎng)度。同理表示EB長(zhǎng)度，由AB=AE+EB=10米建立方程。解答過程：AB=√(62+82)=10米，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，則AD=6?x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，AD/AC=DE/BC→(6?x)/6=x/8→x=24/7≈3.43米。例題8：如圖，一根竹子高10尺，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，求折斷處離地面的高度。分析：設(shè)折斷處離地面高度為x尺，則折斷部分長(zhǎng)度為(10?x)尺，構(gòu)成直角三角形，直角邊為x和3，斜邊為10?x。解答過程：由勾股定理得x2+32=(10?x)2→x2+9=100?20x+x2→20x=91→x=4.55尺。技巧總結(jié)：實(shí)際問題中先抽象出直角三角形模型，明確已知量和未知量。通過設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理列方程求解，注意單位統(tǒng)一和實(shí)際意義。配圖：例題7的直角三角形與正方形標(biāo)注；例題8的竹子折斷示意圖幻燈片9：課堂互動(dòng)：?jiǎn)栴}解決與計(jì)算活動(dòng)一：基礎(chǔ)計(jì)算：練習(xí)1：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，求b和△ABC的面積。（答案：b=12，面積=30）活動(dòng)二：最短路徑：練習(xí)2：如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體盒子中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B，求最短路徑長(zhǎng)度。（提示：展開前面和右面，路徑=√[(1+1)2+12]=√5）活動(dòng)三：實(shí)際應(yīng)用：練習(xí)3：如圖，某學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形操場(chǎng)，長(zhǎng)40米，寬30米，現(xiàn)要在操場(chǎng)四周每隔5米種一棵樹，四個(gè)角都要種，共需種多少棵樹？（提示：先求操場(chǎng)周長(zhǎng)，再除以間距）（答案：周長(zhǎng)=140米，140÷5=28棵）練習(xí)4：一架長(zhǎng)25米的梯子斜靠在墻上，梯子底端離墻7米，若梯子頂端下滑4米，梯子底端將向外滑動(dòng)多少米？（提示：先求原頂端高度24米，下滑后高度20米，底端距離15米，滑動(dòng)8米）配圖：練習(xí)題的圖形標(biāo)注，關(guān)鍵步驟提示幻燈片10：課堂總結(jié)與技巧歸納知識(shí)要點(diǎn)回顧：勾股定理應(yīng)用核心：a2+b2=c2

及變形公式，適用于直角三角形。常見應(yīng)用場(chǎng)景：幾何圖形邊長(zhǎng)計(jì)算、立體圖形最短路徑、航海測(cè)量、生活實(shí)際問題。關(guān)鍵方法：構(gòu)造直角三角形，將非直角問題轉(zhuǎn)化為直角問題。解題步驟：建模：從實(shí)際問題中抽象出直角三角形模型，明確已知邊和所求邊。選公式：根據(jù)已知條件選擇勾股定理公式或變形公式。計(jì)算：代入數(shù)據(jù)計(jì)算，注意單位和結(jié)果合理性（如最短路徑需比較不同方案）。驗(yàn)證：結(jié)合實(shí)際情況驗(yàn)證結(jié)果是否符合題意。技巧歸納：遇立體圖形最短路徑：展開表面為平面，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”和勾股定理。遇折疊、折斷問題：折疊/折斷前后的線段長(zhǎng)度關(guān)系不變，構(gòu)造直角三角形。遇綜合問題：通過作垂線（高、輔助線）構(gòu)造直角三角形，結(jié)合相似、方程等知識(shí)?；脽羝?1：課后作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)：課本[具體頁(yè)碼]習(xí)題[具體題號(hào)]，完成勾股定理應(yīng)用的基礎(chǔ)計(jì)算題。提升作業(yè)：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB向點(diǎn)B以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)，幾秒后PQ的長(zhǎng)度為10？一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為16，底邊上的高為4，求這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)。拓展作業(yè)：設(shè)計(jì)一個(gè)利用勾股定理測(cè)量學(xué)校旗桿高度的方案，寫出所需工具、步驟和計(jì)算公式。探究：若直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)，求這三個(gè)數(shù)（提示：設(shè)中間數(shù)為x，列方程求解）。2025-2026學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

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時(shí)間：

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13.2勾股定理的應(yīng)用第13章

勾股定理aiTujmiaNg1、能運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；2、經(jīng)歷勾股定理的應(yīng)用過程，熟練掌握其應(yīng)用方法，明確應(yīng)用條件；溫故知新勾股定理勾股定理的逆定理圖形文字語言符號(hào)語言AbaCB∟在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2.AbaCBc在△ABC中，a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形，∠C=90°.如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c，且a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.直角三角形兩直角邊分別為a、b的平方和等于斜邊c的平方.從遠(yuǎn)處看斜拉橋，可以發(fā)現(xiàn)有許多直角三角形.已知橋面上以上的索塔AB的高，怎樣計(jì)算拉索AC、AD、AE、AF、AG的長(zhǎng)？分別測(cè)量出BC、BD、BE、BF、BG的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC、AD、AE、AF、AG的長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)一

勾股定理的應(yīng)用——最短路徑問題看一看：觀察下圖中物體的運(yùn)動(dòng)過程，試著計(jì)算其運(yùn)動(dòng)路程。典例精析【例1】如圖所示，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程.(精確到0.01cm)分析：螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬行，如果將這半個(gè)側(cè)面展開(如圖)，得到長(zhǎng)方形ABCD，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，所求的最短路程就是這一展開圖——長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線AC之長(zhǎng).ABCD解：如圖所示，在Rt△ABC中，BC=底面周長(zhǎng)的一半=10cm.由勾股定理，可得ABCD答：爬行的最短路程約為10.77cm.練一練1、如圖①，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為30cm、20cm、10cm，一只螞蟻從A處出發(fā)到B處覓食，求它爬行的最短路程.(結(jié)果保留根號(hào))因?yàn)槠矫嬲归_圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線．解：長(zhǎng)方體的展開圖如圖如圖②，展開前面、右面，由勾股定理得AB==如圖③，展開前面、上面，由勾股定理得AB==如圖④，展開左面、上面，由勾股定理得AB==∵，∴爬行最短路程為cm.知識(shí)點(diǎn)二

勾股定理的應(yīng)用——幾何問題【例2】

如圖,在△ABC中,AB＝26,BC＝20,BC邊上的中線AD＝24,求AC.DCBA262024

∵AD2＋BD2＝576＋100＝676，

AB2＝262＝676，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，AD垂直平分BC．∴AC＝AB＝26.還有其他方法求AC嗎？能求出△ABC的周長(zhǎng)和面積嗎?典例精析練一練1.計(jì)算圖中四邊形ABCD的面積.解：在Rt△ADB中，由勾股定理得：

BD2=AD2+AB2=122+162=400，∴BD=20，∵CD2＝152=225，

∴CD2+BD2＝BC2.

∴由勾股定理的逆定理得：∠BDC＝90°.

∴BD⊥CDS四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC

DCBA∟12161525BC2＝252=625，2.一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的比為3:4:5，它的周長(zhǎng)是60cm.求這個(gè)三角形的面積.

知識(shí)點(diǎn)三

勾股定理的實(shí)際應(yīng)用典例精析【例3】如圖，四邊形ABCD是學(xué)校的一塊空地，經(jīng)數(shù)學(xué)興趣小組的測(cè)量可知，∠B=90°，BC=3米，AB=4米，CD=13米，AD=12米．為了提高校園的綠化面積，現(xiàn)學(xué)校決定在空地內(nèi)鋪草坪，若鋪設(shè)每平方米草坪需要30元，則將這塊空地全部鋪滿一層草坪的費(fèi)用是多少？ABCD341213

∟練一練1、一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖所示的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門(廠門上方為半圓形拱門)？分析：由于車寬1.6米，所以卡車能否通過，只要比較距廠門中線0.8米處的高度與車高即可.如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD⊥AB，與地面相交于點(diǎn)H.解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.可見高度上有0.4米的余量，因此卡車能通過廠門.2、有一根高為16米的電線桿在A處斷裂，如圖所示，電線桿的頂部C落在離電線桿底部B處8米遠(yuǎn)的地方，求電線桿斷裂處A到地面的距離．根據(jù)題意可知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=8米，AB＋AC=16米．若設(shè)AB=x米，則AC=(16-x)米，然后根據(jù)勾股定理列出方程求解．解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°.設(shè)AB=x米，則AC=(16-x)米.根據(jù)勾股定理，得x2+82=(16-x)2，解得x=6，即AB=6米.答：電線桿斷裂處A到地面的距離為6米.1.如圖，將一根長(zhǎng)13厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度至少為（）厘米．A．1 B．2 C．3 D．4C