高一上學(xué)期運動與數(shù)學(xué)試題一、直線運動中的函數(shù)關(guān)系應(yīng)用（一）勻速直線運動的位移計算例題1：一輛汽車在平直公路上以20m/s的速度勻速行駛，行駛過程中司機發(fā)現(xiàn)前方50m處有障礙物，立即剎車。已知剎車后汽車的加速度大小為5m/s2，且剎車過程視為勻減速直線運動。（1）求剎車后汽車滑行的距離；（2）通過計算判斷汽車是否會撞上障礙物。解析：（1）根據(jù)勻變速直線運動公式(v^2-v_0^2=2ax)，其中末速度(v=0)，初速度(v_0=20m/s)，加速度(a=-5m/s2)（負(fù)號表示與運動方向相反）。代入得：[0-20^2=2\times(-5)\timesx]解得(x=40m)。（2）剎車距離40m小于50m，故汽車不會撞上障礙物。（二）勻變速直線運動的圖像分析例題2：某物體做直線運動的v-t圖像如圖所示（假設(shè)圖像為過原點的傾斜直線，加速度a=2m/s2），求：（1）前3s內(nèi)物體的位移；（2）第2s末物體的速度。解析：（1）v-t圖像與時間軸圍成的面積表示位移，圖像為三角形，面積(x=\frac{1}{2}\timest\timesv)。由(v=at)得3s末速度(v=6m/s)，故位移(x=\frac{1}{2}\times3\times6=9m)。（2）第2s末速度(v=at=2\times2=4m/s)。二、曲線運動中的幾何與三角函數(shù)（一）平拋運動的分解計算例題3：將一小球從距地面高h(yuǎn)=20m的樓頂以v?=10m/s的水平速度拋出，忽略空氣阻力，g取10m/s2。（1）求小球在空中運動的時間；（2）求小球落地時的水平位移；（3）求小球落地時速度的大小和方向。解析：（1）豎直方向做自由落體運動，由(h=\frac{1}{2}gt^2)得：[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\times20}{10}}=2s]（2）水平方向做勻速運動，位移(x=v_0t=10\times2=20m)。（3）豎直方向末速度(v_y=gt=20m/s)，落地速度(v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=\sqrt{10^2+20^2}=10\sqrt{5}m/s)。設(shè)速度方向與水平方向夾角為θ，則(\tanθ=\frac{v_y}{v_0}=2)，故θ=arctan2。（二）圓周運動的向心力計算例題4：質(zhì)量為m=1kg的小球用長L=0.5m的輕繩系住，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，g取10m/s2。（1）若小球在最高點的速度為3m/s，求輕繩的拉力大??；（2）若小球恰好能通過最高點，求此時的速度大小。解析：（1）最高點向心力由重力和拉力共同提供：(F+mg=m\frac{v^2}{L})，代入得：[F=1\times\frac{3^2}{0.5}-1\times10=18-10=8N]（2）恰好通過最高點時拉力F=0，僅重力提供向心力：(mg=m\frac{v^2}{L})，解得(v=\sqrt{gL}=\sqrt{5}m/s)。三、運動學(xué)公式的綜合應(yīng)用（一）追及與相遇問題例題5：甲車以10m/s的速度在平直公路上勻速行駛，乙車在甲車后方20m處以15m/s的速度同向行駛，且乙車剎車后的加速度大小為1m/s2。（1）求乙車剎車后速度減至與甲車相等所需的時間；（2）通過計算判斷兩車是否會相遇。解析：（1）設(shè)經(jīng)過t時間兩車速度相等，由(v_乙-at=v_甲)得：[15-1\timest=10]解得(t=5s)。（2）t=5s內(nèi)甲車位移(x_甲=v_甲t=10\times5=50m)，乙車位移(x_乙=v_乙t-\frac{1}{2}at^2=15\times5-0.5\times1\times25=62.5m)。初始距離20m，乙車相對位移(62.5-(50+20)=-7.5m<0)，故兩車不會相遇。（二）多過程運動問題例題6：一物體從靜止開始做勻加速直線運動，加速度a?=2m/s2，運動5s后立即改做勻減速直線運動，又經(jīng)過10s停止。（1）求物體在加速階段的位移；（2）求物體在減速階段的加速度大??；（3）求整個運動過程中的平均速度。解析：（1）加速階段位移(x_1=\frac{1}{2}a_1t_1^2=0.5\times2\times25=25m)。（2）加速階段末速度(v=a_1t_1=10m/s)，減速階段加速度(a_2=\frac{0-v}{t_2}=\frac{-10}{10}=-1m/s2)，大小為1m/s2。（3）減速階段位移(x_2=vt_2+\frac{1}{2}a_2t_2^2=10\times10-0.5\times1\times100=50m)，總位移(x=25+50=75m)，平均速度(\bar{v}=\frac{x}{t_1+t_2}=\frac{75}{15}=5m/s)。四、力學(xué)與數(shù)學(xué)的綜合拓展（一）運動學(xué)公式的導(dǎo)數(shù)與積分應(yīng)用例題7：已知某物體的位移隨時間變化的函數(shù)為(x(t)=t^3-3t^2+2t)（單位：m，s），求：（1）物體在t=2s時的速度；（2）物體在t=1s到t=3s內(nèi)的平均速度。解析：（1）速度是位移的導(dǎo)數(shù)(v(t)=x'(t)=3t^2-6t+2)，t=2s時(v(2)=3\times4-6\times2+2=2m/s)。（2）t=1s時(x(1)=1-3+2=0m)，t=3s時(x(3)=27-27+6=6m)，平均速度(\bar{v}=\frac{6-0}{3-1}=3m/s)。（二）運動中的極值問題例題8：一小球從地面以初速度v?斜向上拋出，拋出方向與水平方向夾角為θ，不計空氣阻力，g取10m/s2。（1）若v?=10m/s，求小球能達到的最大高度；（2）求當(dāng)θ為何值時，小球的水平射程最大。解析：（1）豎直分速度(v_y=v_0\sinθ)，最大高度(H=\frac{v_y^2}{2g}=\frac{(10\sinθ)^2}{20})。當(dāng)θ=90°時，(H_{max}=\frac{100}{20}=5m)。（2）水平射程(R=\frac{v_0^2\sin2θ}{g})，當(dāng)(\sin2θ=1)即θ=45°時，射程最大(R_{max}=\frac{v_0^2}{g})。五、實際應(yīng)用題例題9：某同學(xué)在體育測試中參加100m跑項目，其運動過程可簡化為勻加速直線運動和勻速直線運動兩個階段。已知該同學(xué)加速階段的加速度大小為4m/s2，且加速時間不超過4s，求：（1）若該同學(xué)全程用時12s，求其加速運動的時間；（2）在（1）的條件下，求勻速運動的速度大小。解析：設(shè)加速時間為t，勻速時間為12-t。加速階段位移(x_1=\frac{1}{2}\times4\timest^2=2t2)，末速度(v=4t)，勻速階段位移(x_2=v(12-t)=4t(12-t))。全程位移(x_1+x_2=100)：[2t2+4t(12-t)=100]化簡得(-2t2+48t-100=0)，即(t2-24t+50=0)。解得(t=2s)（t=22s舍去，不符合加速時間不超過4s的條件）。勻速速度(v=4\times2=8m/s)。六、附加題（選做）例題10：在光滑水平面上，質(zhì)量為m的物塊在水平拉力F作用下做勻加速直線運動，拉力F隨時間變化的規(guī)律為F=kt（k為常數(shù)）。已知t=0時物塊靜止，求：（1）物塊的加速度a隨時間t變化的表達式；（2）物塊在t時刻的速度大小。解析：（1）由牛頓第二定律(F=ma)得(a=\frac{F}{m}=\frac{kt}{m})。（2）速度是加速度對時間的積分(v=\int_0^tadt=\int_0^t\frac{kt}{m}dt=\frac{k}{2m}t2)。七、解題技巧總結(jié)公式選擇：勻變速直線運動優(yōu)先使用(v=v_0+at)、(x=v_0t+\frac{1}{2}at2)、(v2-v_02=2ax)，根據(jù)已知量選擇無需求解中間量的公式。圖像應(yīng)用：v-t圖像斜率表示加速度，面積表示位移；x-t圖像斜率