高一上學(xué)期亮點與數(shù)學(xué)試題一、高一上學(xué)期數(shù)學(xué)教學(xué)亮點（一）知識體系的承續(xù)與創(chuàng)新高一上學(xué)期數(shù)學(xué)課程在知識體系上實現(xiàn)了從初中到高中的平穩(wěn)過渡與顯著提升。教材以集合作為起始內(nèi)容，通過元素與集合的屬于關(guān)系、集合間的包含與相等關(guān)系等概念，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。這種從具體數(shù)字到抽象集合的跨越，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個重要轉(zhuǎn)折點。隨后引入的函數(shù)概念，更是貫穿整個高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。教材立足于現(xiàn)實生活，從具體問題入手，按照“問題情境—數(shù)學(xué)活動—意義建構(gòu)—數(shù)學(xué)理論—數(shù)學(xué)應(yīng)用—回顧反思”的順序結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生通過實驗、觀察、歸納、抽象、概括，數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題。函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)是高一上學(xué)期的重點之一。教材堅持從圖象中來到圖象中去的原則，以圖象作為切入點進行概念課教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性、最值、奇偶性等概念的形成有清晰的認識。通過揭示函數(shù)概念、公式和圖形的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力和空間想象能力。同時，教材滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ)。（二）教學(xué)方法的革新與實踐在教學(xué)方法上，高一上學(xué)期數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)出多樣化的特點?！皩?dǎo)學(xué)案教學(xué)方法”的實施，完善了導(dǎo)學(xué)案內(nèi)容，形成了具有特色的教學(xué)模式。這種方法培養(yǎng)了學(xué)生自我學(xué)習(xí)的能力和習(xí)慣，使學(xué)生做到簡單知識自己能學(xué)會，較難知識在老師點撥下能學(xué)會，難度大的知識在老師的講解下能輕松學(xué)會?！懊恐軠y試”過關(guān)制是另一項重要的教學(xué)創(chuàng)新。周測內(nèi)容與一周學(xué)習(xí)目標及講授內(nèi)容緊密相連，未盡力而又沒有過關(guān)的學(xué)生將按事先說明的措施給予處罰。這種制度讓學(xué)生重視課堂學(xué)習(xí)和作業(yè)完成，做到每周學(xué)習(xí)過程精細化。同時，根據(jù)學(xué)生學(xué)力狀況進行分層次的培優(yōu)補差，滿足了不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。此外，教學(xué)中還注重運用現(xiàn)代教育技術(shù)，努力學(xué)習(xí)多媒體課件的制作。通過生動活潑的呈現(xiàn)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和美感，引發(fā)學(xué)習(xí)激情。選取與內(nèi)容密切相關(guān)的、典型的、豐富的和學(xué)生熟悉的素材，創(chuàng)設(shè)能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念和結(jié)論、數(shù)學(xué)思想和方法以及數(shù)學(xué)應(yīng)用的學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的親切感。（三）能力培養(yǎng)的全面與深入高一上學(xué)期數(shù)學(xué)教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的各項數(shù)學(xué)能力。在邏輯思維能力方面，通過定義、命題的總體結(jié)構(gòu)教學(xué)，揭示其本質(zhì)特點和相互關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的背景事實及具體數(shù)據(jù)的記憶。在教學(xué)中強調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等數(shù)學(xué)思想方法，盡可能養(yǎng)成學(xué)生的邏輯思維習(xí)慣。運算能力的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)全過程。通過加強對概念、公式、法則的明確性和靈活性的教學(xué)，提高學(xué)生運算過程的明晰性、合理性和簡捷性。通過一題多解、一題多變培養(yǎng)學(xué)生正確、快速與合理、靈活的運算能力，促使知識間的滲透和遷移。利用數(shù)形結(jié)合的方法，另辟蹊徑，進一步提高學(xué)生的運算能力?？臻g想象能力的培養(yǎng)主要通過函數(shù)圖象、集合關(guān)系圖等內(nèi)容的教學(xué)來實現(xiàn)。引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、抽象、類比得到集合與集合間的關(guān)系等數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和思維能力。同時，通過數(shù)學(xué)建模等活動，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，使學(xué)生逐步學(xué)會觀察、分析、綜合、比較、抽象、概括、探究和創(chuàng)新。二、高一上學(xué)期數(shù)學(xué)典型試題分析（一）集合與常用邏輯用語集合是高一上學(xué)期數(shù)學(xué)的開篇內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。典型試題如下：例題1：已知集合A={x|x2-3x+2=0}，集合B={x|ax-2=0}，若B?A，求實數(shù)a的值。分析：本題主要考查集合間的包含關(guān)系以及分類討論思想。首先，求解集合A中的方程x2-3x+2=0，可得A={1,2}。因為B?A，所以需要考慮集合B為空集和非空集兩種情況。當(dāng)a=0時，方程ax-2=0無解，即B為空集，空集是任何集合的子集，滿足條件。當(dāng)a≠0時，B={2/a}，則2/a必須是集合A中的元素，即2/a=1或2/a=2，解得a=2或a=1。綜上，實數(shù)a的值為0、1或2。例題2：判斷命題“?x≥2024，x2≥2024x”的否定，并判斷其真假。分析：本題考查全稱量詞命題的否定。原命題是全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，即“?x≥2024，x2<2024x”。當(dāng)x=2024時，x2=2024x，當(dāng)x>2024時，x2-2024x=x(x-2024)>0，所以原命題為真，其否定為假。（二）函數(shù)的概念與基本性質(zhì)函數(shù)是高一上學(xué)期數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，相關(guān)試題形式多樣，難度層次分明。例題3：已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3，其中a是常數(shù)，若f(x)的圖象的對稱軸是x=-1，求a的值。分析：本題考查二次函數(shù)的對稱軸。對于二次函數(shù)f(x)=x2+2ax+3，其對稱軸為x=-a。已知對稱軸是x=-1，所以-a=-1，解得a=1。例題4：已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。分析：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。首先，將函數(shù)f(x)=x2-4x+3化為頂點式f(x)=(x-2)2-1，可知函數(shù)的對稱軸為x=2，開口向上。在區(qū)間[1,3]上，當(dāng)x=2時，函數(shù)取得最小值f(2)=-1；當(dāng)x=1或x=3時，函數(shù)取得最大值f(1)=f(3)=0。例題5：判斷函數(shù)f(x)=lnx+1/x的單調(diào)性。分析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。首先，函數(shù)的定義域為(0,+∞)。對f(x)求導(dǎo)可得f'(x)=1/x-1/x2=(x-1)/x2。當(dāng)x∈(0,1)時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。（三）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)的重要組成部分，相關(guān)試題注重考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)。例題6：若函數(shù)y=3x+2的圖象上所有點的橫坐標都加2，求得到的函數(shù)圖象的解析式。分析：本題考查函數(shù)圖象的平移變換。函數(shù)圖象的橫坐標加2，即自變量x變?yōu)閤+2，所以得到的函數(shù)解析式為y=3(x+2)+2=3x+8。例題7：已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，若f(a)=2，求a的值。分析：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義。由f(a)=log?(a+1)=2，可得a+1=22=4，解得a=3。（四）三角函數(shù)三角函數(shù)是高一上學(xué)期數(shù)學(xué)的難點內(nèi)容，需要學(xué)生掌握相關(guān)的概念、公式和圖象性質(zhì)。例題8：在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，求∠C的度數(shù)。分析：本題考查三角形內(nèi)角和定理。三角形內(nèi)角和為180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。例題9：已知sinα=3/5，α為銳角，求cosα和tanα的值。分析：本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系。因為α為銳角，所以cosα>0。根據(jù)sin2α+cos2α=1，可得cosα=√(1-sin2α)=√(1-(3/5)2)=4/5。tanα=sinα/cosα=(3/5)/(4/5)=3/4。（五）數(shù)列數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高一上學(xué)期主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本概念和性質(zhì)。例題10：已知等差數(shù)列{an}的首項a1=3，公差d=2，求第10項an。分析：本題考查等差數(shù)列的通項公式。等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，可得a10=3+(10-1)×2=21。例題11：已知等比數(shù)列{bn}的首項b1=2，公比q=3，求第5項bn。分析：本題考查等比數(shù)列的通項公式。等比數(shù)列的通項公式為bn=b1×q^(n-1)，代入b1=2，q=3，n=5，可得b5=2×3^(5-1)=2×81=162。（六）不等式不等式是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，高一上學(xué)期主要學(xué)習(xí)一元二次不等式、絕對值不等式等內(nèi)容。例題12：若不等式x2-5x+6<0的解集為{x|2<x<3}，求不等式x2-5x+6>0的解集。分析：本題考查一元二次不等式的解法。一元二次函數(shù)y=x2-5x+6的圖象開口向上，與x軸交于點(2,0)和(3,0)。所以不等式x2-5x+6>0的解集為x<2或x>3。例題13：解不等式|2x+1|≤3。分析：本題考查絕對值不等式的解法。將不等式|2x+1|≤3轉(zhuǎn)化為-3≤2x+1≤3，解得-4≤2x≤2，即-2≤x≤1。所以不等式的解集為{x|-2≤x≤1}。（七）綜合應(yīng)用題綜合應(yīng)用題考查學(xué)生對多個知識點的綜合運用能力，以及分析問題和解決問題的能力。例題14：已知正數(shù)a,b滿足a+4b=4，求ab的最大值。分析：本題考查基本不等式的應(yīng)用。根據(jù)基本不等式，對于正數(shù)a,b，有a+4b≥2√(a×4b)=4√(ab)。已知a+4b=4，所以4≥4√(ab)，即√(ab)≤1，ab≤1。當(dāng)且僅當(dāng)a=4b時，等號成立，結(jié)合a+4b=4，可得a=2，b=0.5，此時ab取得最大值1。例題15：某矩形紙片ABCD(AB>AD)的周長為8cm，將△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點P。證明：PA=PC；若改變AB的長度（矩形的周長保持不變），則△ADP的面積是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，說明理由。分析：本題是一道幾何與函數(shù)相結(jié)合的綜合應(yīng)用題。（1）證明PA=PC：折疊后∠BAC=∠PAC，因為ABCD是矩形，所以AB∥CD，∠BAC=∠ACD，所以∠PAC=∠ACD，故PA=PC。（2）設(shè)AD=x，AB=y，則2(x+y)=8，即x+y=4，y=4-x。設(shè)PD=m，則PC=PA=y-m=4-x-m。在Rt△ADP中，根據(jù)勾股定理可得x2+m2=(4-x-m)2，化簡得m=(4-2x)/(2-x)?！鰽DP的面積S=1/2×x×m=1/2×x×(4-2x)/(2-x)=x(2-x)/(2-x)=x。因為AB>AD，