高一上學(xué)期工藝革命與數(shù)學(xué)再思考試題一、選擇題（每題5分，共30分）文藝復(fù)興時(shí)期，達(dá)·芬奇在《大西洋古抄本》中記載了一種“等速螺旋線”裝置，用于提升重物時(shí)減少摩擦力。若螺旋線的極坐標(biāo)方程為(\rho=a\theta)（(a>0)，(\theta\geq0)），當(dāng)(\theta)從0增加到(2\pi)時(shí)，該螺旋線與極軸所圍成的面積為（）A.(\frac{4}{3}\pi^3a^2)B.(2\pi^2a^2)C.(\frac{2}{3}\pi^3a^2)D.(\pi^3a^2)18世紀(jì)英國紡織業(yè)革命中，哈格里夫斯發(fā)明的珍妮紡紗機(jī)通過多錠設(shè)計(jì)提高效率。若一臺(tái)原始紡紗機(jī)1小時(shí)可紡紗1磅，改進(jìn)后的珍妮機(jī)錠子數(shù)量是原來的6倍，且每錠紡紗速度提升50%，則改進(jìn)后12小時(shí)的紡紗量與改進(jìn)前相比，增長的倍數(shù)為（）A.8B.9C.11D.17蒸汽機(jī)活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)可近似為簡諧運(yùn)動(dòng)，其位移(x(t)=A\sin(\omegat+\varphi))（單位：米）。已知活塞最大速度為3m/s，周期為0.5秒，則振幅(A)的值為（）A.(\frac{3}{4\pi})B.(\frac{3}{2\pi})C.(\frac{3}{\pi})D.(\frac{6}{\pi})19世紀(jì)鐵路建設(shè)中，工程師需計(jì)算曲線軌道的外軌超高。若某段圓弧軌道的半徑為500米，列車設(shè)計(jì)時(shí)速為72km/h，重力加速度(g=10m/s^2)，則外軌相對(duì)于內(nèi)軌的超高值(h)（忽略軌道寬度影響，(\tan\theta\approx\sin\theta\approx\theta)）為（）A.0.08米B.0.16米C.0.24米D.0.32米在標(biāo)準(zhǔn)化生產(chǎn)中，零件尺寸誤差服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))。已知某零件標(biāo)準(zhǔn)尺寸為50mm，允許誤差范圍為([49.8,50.2])，若(\mu=50)，(\sigma=0.1)，則該零件尺寸合格的概率約為（）（參考數(shù)據(jù)：(P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0.9545)）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.9999現(xiàn)代3D打印技術(shù)中，某模型的表面由函數(shù)(z=x^2+y^2)（(0\leqx\leq2)，(0\leqy\leq2)）與平面(z=0)圍成。若打印材料的密度為(\rho=1.2g/cm^3)，則該模型的質(zhì)量（單位：g）為（）A.640B.1280C.1920D.2560二、填空題（每題6分，共24分）1765年瓦特改進(jìn)蒸汽機(jī)后，其效率從紐科門機(jī)的1%提升至3%。若某煤礦抽水場景中，需將1000噸水從100米深井中抽出，改進(jìn)前與改進(jìn)后消耗的煤量之比為________（假設(shè)煤的熱值不變，能量轉(zhuǎn)化效率=有用功/總能量）。1908年福特T型車采用流水線生產(chǎn)，使單輛汽車裝配時(shí)間從12.5小時(shí)縮短至93分鐘。若按每天工作8小時(shí)計(jì)算，改進(jìn)前100輛汽車的裝配時(shí)間，在改進(jìn)后可生產(chǎn)汽車________輛（結(jié)果保留整數(shù)）。某工廠的機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的噪音分貝(D)與聲強(qiáng)(I)（單位：(W/m^2)）滿足公式(D=10\lg(\frac{I}{I_0}))，其中(I_0=10^{-12}W/m^2)。當(dāng)兩臺(tái)相同機(jī)器同時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，噪音分貝比單臺(tái)機(jī)器增加了________dB（精確到0.1）。數(shù)控車床加工一個(gè)“雙曲拋物面”零件，其方程為(z=x^2-y^2)。若在點(diǎn)((1,1,0))處的切削方向沿梯度方向，則該方向的單位向量為________。三、解答題（共46分）（12分）18世紀(jì)水力紡紗機(jī)利用水流沖擊葉輪做功。某水輪機(jī)的葉輪直徑為2米，水流速度為5m/s，每秒沖擊葉輪的水流量為100kg。（1）若水流垂直沖擊葉輪后速度減為0，求水輪機(jī)的輸入功率；（2）已知水輪機(jī)效率為60%，帶動(dòng)的發(fā)電機(jī)效率為80%，若要驅(qū)動(dòng)一臺(tái)功率為2kW的紡紗機(jī)，求所需水流速度至少為多少（保留一位小數(shù)）？（12分）在第二次工業(yè)革命中，愛迪生發(fā)明的白熾燈燈絲需在高溫下保持穩(wěn)定。某鎢絲的電阻隨溫度變化規(guī)律為(R(t)=R_0(1+\alphat))，其中(R_0=10\Omega)（20℃時(shí)電阻），(\alpha=4.5\times10^{-3}℃^{-1})，燈絲正常發(fā)光時(shí)溫度為2420℃。（1）求燈絲正常工作時(shí)的電阻；（2）若電源電壓為220V，將燈絲從20℃加熱至正常溫度的過程視為勻加速升溫，耗時(shí)5秒，求此過程中電流做的總功（忽略溫度對(duì)電流的瞬時(shí)影響）。（10分）某工廠生產(chǎn)一種精密零件，其長度(X)服從正態(tài)分布(N(50,0.04))（單位：mm）。質(zhì)檢時(shí)，從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100個(gè)，記長度在([49.6,50.4])之外的零件數(shù)為(Y)。（1）求單個(gè)零件合格的概率（參考數(shù)據(jù)：(\Phi(2)=0.9772)）；（2）求(Y)的數(shù)學(xué)期望(E(Y))和方差(D(Y))。（12分）現(xiàn)代工業(yè)機(jī)器人的手臂運(yùn)動(dòng)軌跡可通過參數(shù)方程描述。某機(jī)器人末端執(zhí)行器的軌跡參數(shù)方程為：(x(t)=2t-\sint)(y(t)=1-\cost)(z(t)=t^2)（(t\geq0)，單位：米，秒）（1）求(t=\pi)秒時(shí)，執(zhí)行器的速度大??；（2）求在(t\in[0,\pi])時(shí)間內(nèi)，執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡的長度。四、附加題（10分）19世紀(jì)數(shù)學(xué)家傅里葉在研究熱傳導(dǎo)時(shí)創(chuàng)立了傅里葉級(jí)數(shù)理論，該理論在信號(hào)處理、機(jī)械振動(dòng)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。已知周期為(2\pi)的函數(shù)(f(x))在([-\pi,\pi])上的表達(dá)式為(f(x)=x^2)，其傅里葉級(jí)數(shù)展開式為：(f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx))（1）利用上述展開式，求級(jí)數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2})的值；（2）若某機(jī)械振動(dòng)的位移函數(shù)為(s(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cos(nt))，求該振動(dòng)的平均功率（周期內(nèi)平均功率(P=\frac{1}{T}\int_0^T(s'(t))^2dt)，(T=2\pi)）。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（以下僅為簡要提示，詳細(xì)解析見后續(xù)說明）C2.A3.A4.B5.B6.D38.839.3.010.((\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0))（1）1250W；（2）3.7m/s12.（1）110Ω；（2）24200J（1）0.9544；（2）(E(Y)=4.56)，(D(Y)=4.36)14.（1）(\sqrt{(\pi)^2+4\pi^2}=\pi\sqrt{5})m/s；（2）(2\pi+\frac{\pi^2}{2})米（1）(\frac{\pi^2}{6})；（2）(\frac{\pi^4}{18})命題說明跨學(xué)科融合：試題以工藝革命關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)為背景，覆蓋數(shù)學(xué)（微積分、概率統(tǒng)計(jì)、向量）、物理（力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)）、工程學(xué)等多領(lǐng)域知識(shí)，體現(xiàn)“科技史驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用”。思維層次：基礎(chǔ)題（如選擇1-3）側(cè)重公式應(yīng)用，中檔題（如填空9、解答11）需建模轉(zhuǎn)化，難題（如附加題15）涉及高等數(shù)學(xué)思想滲透，符合新課標(biāo)“數(shù)學(xué)抽象-邏輯推理-數(shù)學(xué)建模-直觀想