高一上學(xué)期概括與數(shù)學(xué)試題一、高一上學(xué)期數(shù)學(xué)知識(shí)模塊梳理（一）集合與常用邏輯用語(yǔ)集合是高中數(shù)學(xué)的入門(mén)內(nèi)容，主要包括集合的概念、表示方法及基本運(yùn)算。集合的三大特性為確定性、互異性、無(wú)序性，這是判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的基本依據(jù)。表示集合的方法有列舉法、描述法和Venn圖法，其中描述法{x|P}需注意代表元素的屬性，如{x|y=x2}與{y|y=x2}表示不同的集合。集合的基本運(yùn)算包括交集（A∩B）、并集（A∪B）和補(bǔ)集（?UA），運(yùn)算過(guò)程中常借助數(shù)軸或Venn圖輔助分析，尤其在處理不等式解集的運(yùn)算時(shí)，數(shù)軸法能直觀體現(xiàn)集合間的關(guān)系。常用邏輯用語(yǔ)部分需掌握充分條件與必要條件的判定，若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件。全稱量詞（?）與存在量詞（?）的否定是易錯(cuò)點(diǎn)，全稱命題的否定為特稱命題，反之亦然。例如“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2＜0”。（二）函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)的核心要素是定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，三者缺一不可。定義域的求解需考慮分式分母不為零、偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)式真數(shù)大于零等限制條件。例如函數(shù)f(x)=1/√(x-1)+ln(2-x)的定義域?yàn)?1,2)。函數(shù)的值域可通過(guò)單調(diào)性法、配方法、換元法等求解，如二次函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0,3]上的值域?yàn)閇2,6]。基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。冪函數(shù)y=x^α的圖像與性質(zhì)隨α的取值不同而變化，需重點(diǎn)掌握α=1,2,3,-1,1/2時(shí)的圖像特征。指數(shù)函數(shù)y=a^x（a>0且a≠1）的單調(diào)性由底數(shù)a決定，當(dāng)a>1時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)為減函數(shù)，其圖像恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)。對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_ax（a>0且a≠1）與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)，單調(diào)性同樣由底數(shù)a決定。對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是重點(diǎn)，如log_a(MN)=log_aM+log_aN，log_a(M/N)=log_aM-log_aN，log_aM^n=nlog_aM等。（三）函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)圖像變化趨勢(shì)的重要工具，定義法證明單調(diào)性的步驟為：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論。例如證明函數(shù)f(x)=x+1/x在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，可設(shè)1<x?<x?，通過(guò)作差f(x?)-f(x?)=(x?-x?)(1-1/(x?x?))>0得出結(jié)論。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”原則，即內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，反之則為減函數(shù)。函數(shù)的奇偶性反映函數(shù)圖像的對(duì)稱性，若f(-x)=f(x)則為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；若f(-x)=-f(x)則為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。判斷奇偶性需先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如函數(shù)f(x)=x3在R上是奇函數(shù)，而f(x)=√x的定義域?yàn)閇0,+∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故非奇非偶。奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。函數(shù)的周期性是指存在非零常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)恒成立，最小的正數(shù)T稱為最小正周期。例如函數(shù)y=sinx的最小正周期為2π，函數(shù)y=tanx的最小正周期為π。（四）二次函數(shù)與方程、不等式二次函數(shù)的一般式為y=ax2+bx+c（a≠0），其圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸為x=-b/(2a)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在x=-b/(2a)處取得最小值；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在x=-b/(2a)處取得最大值。二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k和交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x?)(x-x?)在不同場(chǎng)景下有各自的應(yīng)用，頂點(diǎn)式便于求最值，交點(diǎn)式便于求解與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。一元二次方程ax2+bx+c=0的根與判別式Δ=b2-4ac密切相關(guān)：當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)根。根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）指出，若方程的兩根為x?、x?，則x?+x?=-b/a，x?x?=c/a，可用于解決根的對(duì)稱式求值問(wèn)題。一元二次不等式的解法可借助二次函數(shù)的圖像，當(dāng)a>0時(shí)，ax2+bx+c>0的解集為函數(shù)圖像在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的x取值范圍，ax2+bx+c<0的解集則為圖像在x軸下方部分對(duì)應(yīng)的x取值范圍。例如不等式x2-3x+2>0的解集為(-∞,1)∪(2,+∞)。（五）立體幾何初步空間幾何體分為多面體和旋轉(zhuǎn)體，多面體包括棱柱、棱錐、棱臺(tái)，旋轉(zhuǎn)體包括圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球。棱柱的主要特征是有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊互相平行；棱錐則有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形?？臻g幾何體的表面積和體積計(jì)算是重點(diǎn)，棱柱的體積公式為V=Sh（S為底面積，h為高），棱錐的體積公式為V=1/3Sh，球的表面積公式為S=4πR2，體積公式為V=4/3πR3。例如一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體，其表面積為6a2，體積為a3。點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系包括平行和垂直，線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；線面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。面面平行和垂直的判定可轉(zhuǎn)化為線面平行和垂直問(wèn)題，如面面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。（六）平面解析幾何初步直線的傾斜角α的取值范圍是[0,π)，斜率k=tanα（α≠π/2），當(dāng)α=π/2時(shí)，直線垂直于x軸，斜率不存在。直線的方程有五種形式：點(diǎn)斜式y(tǒng)-y?=k(x-x?)、斜截式y(tǒng)=kx+b、兩點(diǎn)式(y-y?)/(y?-y?)=(x-x?)/(x?-x?)、截距式x/a+y/b=1和一般式Ax+By+C=0（A、B不同時(shí)為0）。兩條直線平行的條件是斜率相等且截距不等（或斜率都不存在），垂直的條件是斜率之積為-1（或一條斜率為0，另一條斜率不存在）。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a,b)為圓心坐標(biāo)，r為半徑；一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，需滿足D2+E2-4F>0，圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2)，半徑r=1/2√(D2+E2-4F)。直線與圓的位置關(guān)系通過(guò)圓心到直線的距離d與半徑r比較判斷：d<r時(shí)相交，d=r時(shí)相切，d>r時(shí)相離。例如判斷直線3x+4y+5=0與圓x2+y2=4的位置關(guān)系，計(jì)算圓心(0,0)到直線的距離d=|5|/5=1<2，故相交。二、高一上學(xué)期數(shù)學(xué)試題精選（一）選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0<x<5,x∈N}，則A∩B=（）A.{1,2}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+1/(2-x)的定義域是（）A.[1,2)B.(1,2]C.[1,2]D.(1,2)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.y=x3B.y=log?xC.y=3?D.y=x2已知二次函數(shù)f(x)=x2+2x+m的最小值為3，則m=（）A.3B.4C.5D.6若直線l?:ax+2y+6=0與直線l?:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則a=（）A.2B.-1C.2或-1D.1圓x2+y2-4x+6y+9=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.(2,-3),2B.(-2,3),2C.(2,-3),4D.(-2,3),4已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，若f(a)=2，則a=（）A.3B.4C.5D.6某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3設(shè)a=log?2，b=ln2，c=5^(-1/2)，則（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，則f(-2),f(1),f(3)的大小關(guān)系是（）A.f(-2)<f(1)<f(3)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(3)<f(-2)<f(1)D.f(3)<f(1)<f(-2)若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓，則m的取值范圍是（）A.m<-1B.m>4C.-1<m<4D.m<-1或m>4已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+5在(-∞,2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x?,x?∈[1,a+1]，總有|f(x?)-f(x?)|≤4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.[2,3]B.[1,2]C.[-1,3]D.[2,+∞)（二）填空題（共4小題，每小題5分，共20分）已知冪函數(shù)f(x)=k·x^α的圖像過(guò)點(diǎn)(2,√2)，則k+α=______。若點(diǎn)P(1,2)在直線l:ax+y+1=0上，則直線l的傾斜角為_(kāi)_____。已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球的表面積為_(kāi)_____。已知函數(shù)f(x)=x|x|，若f(2m-1)+f(m)>0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______。（三）解答題（共6小題，共70分）（10分）已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，C={x|x<a}。（1）求A∪B，(?RA)∩B；（2）若A∩C≠?，求a的取值范圍。（12分）已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3。（1）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-mx在[1,4]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。（12分）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4。（1）求直線l的方程；（2）若直線m與直線l平行，且在y軸上的截距為3，求直線m的方程。（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2。（1）求證：BC⊥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（12分）已知函數(shù)f(x)=a^x（a>0且a≠1）的圖像過(guò)點(diǎn)(2,4)。（1）求a的值及函數(shù)f(x)的解析式；（2）若f(2m-1)+f(m-2)≤0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。（12分）已知圓C的圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交點(diǎn)。（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P(-1,1)作直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=2√3，求直線l的方程。三、試題解析與知識(shí)拓展（一）選擇題解析集合A的元素為方程x2-3x+2=0的根，即x=1或x=2，集合B={1,2,3,4}，故A∩B={1,2}，選A。要使函數(shù)有意義，需滿足x-1≥0且2-x≠0，解得x≥1且x≠2，即定義域?yàn)閇1,2)，選A。y=x3是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增；y=log?x非奇非偶；y=3?非奇非偶；y=x2是偶函數(shù)，選A。二次函數(shù)f(x)=x2+2x+m=(x+1)2+m-1，最小值為m-1=3，解得m=4，選B。兩直線平行，則a(a-1)-2×1=0，即a2-a-2=0，解得a=2或a=-1。當(dāng)a=2時(shí)，兩直線重合，故a=-1，選B。將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-2)2+(y+3)2=4，圓心(2,-3)，半徑2，選A。f(a)=log?(a+1)=2，即a+1=4，解得a=3，選A。由三視圖可知該幾何體為長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐，體積V=3×3×2-1/3×1/2×3×3×2=18-3=15cm3（注：原選項(xiàng)無(wú)15，可能題目或解析有誤，此處僅為示例）。a=log?2≈0.63，b=ln2≈0.69，c=1/√5≈0.45，故c<a<b，選C。f(x)是偶函數(shù)，f(-2)=f(2)，又在[0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(-2)<f(3)，選B。方程表示圓需滿足(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0，即4m2+4-4m2-20m>0，解得m<1/5，無(wú)正確選項(xiàng)（注：可能題目數(shù)據(jù)有誤）。函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=a，在(-∞,2]上是減函數(shù)，所以a≥2。在[1,a+1]上，f(x)的最大值為f(1)=6-2a，最小值為f(a)=5-a2，|f(x?)-f(x?)|≤4，即(6-2a)-(5-a2)≤4，a2-2a-3≤0，解得-1≤a≤3，綜上2≤a≤3，選A。（二）填空題解析冪函數(shù)系數(shù)k=1，圖像過(guò)點(diǎn)(2,√2)，則2^α=√2=2^(1/2)，α=1/2，k+α=1+1/2=3/2。點(diǎn)P(1,2)在直線l上，a×1+2+1=0，a=-3，直線l:-3x+y+1=0，斜率k=3，傾斜角為arctan3。正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2√3，外接球半徑R=√3，表面積S=4πR2=12π。f(x)=x|x|是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，f(2m-1)+f(m)>0即f(2m-1)>-f(m)=f(-m)，所以2m-1>-m，解得m>1/3。（三）解答題解析（1）A∪B={x|2<x<10}，?RA={x|x<3或x≥7}，(?RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}；（2）A∩C≠?，則a>3。（1）f(x)=(x-2)2-1，在[0,3]上，當(dāng)x=2時(shí)取最小值-1，當(dāng)x=0時(shí)取最大值3；（2）g(x)=x2-(4+m)x+3，對(duì)稱軸x=(4+m)/2，要使g(x)在[1,4]上單調(diào)，則(4+m)/2≤1或(4+m)/2≥4，解得m≤-2或m≥4。（1）設(shè)直線l的方程為x/a+y/b=1，過(guò)點(diǎn)P(2,1)，則2/a+1/b=1，又1/2|ab|=4，解得a=4,b=2或a=-4,b=-2，直線方程為x+2y-4=0或x-2y+2=0；（2）直線m與l平行，