九年級(jí)平行四邊形專題復(fù)習(xí)講義引言平行四邊形是平面幾何中最基本也最重要的圖形之一，它不僅自身性質(zhì)豐富，更是研究矩形、菱形、正方形等特殊四邊形的基礎(chǔ)。本講義旨在系統(tǒng)梳理平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定方法及其綜合應(yīng)用，幫助同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升解題能力。一、平行四邊形的定義與性質(zhì)1.1定義平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（注：定義既是判定也是性質(zhì)。即：若一個(gè)四邊形是平行四邊形，則它的兩組對(duì)邊分別平行；反之，若一個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，則它是平行四邊形。）1.2性質(zhì)基于平行四邊形的定義，可以推導(dǎo)出其一系列重要性質(zhì)：*性質(zhì)1（邊）：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等。*幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。*性質(zhì)2（角）：平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等，鄰角互補(bǔ)。*幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°等。*性質(zhì)3（對(duì)角線）：平行四邊形的對(duì)角線互相平分。*幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD（O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)）。*性質(zhì)4（對(duì)稱性）：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。*性質(zhì)5（面積）：平行四邊形的面積等于底乘以高（S=底×高）。溫馨提示：在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)，務(wù)必先明確前提條件——“四邊形是平行四邊形”。二、平行四邊形的判定方法判定一個(gè)四邊形是否為平行四邊形，除了定義外，還有以下幾種常用方法：2.1從“邊”入手*判定1：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（定義法，無需再證）*判定2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。*幾何語言：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形。*判定3：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（“平行且相等”用符號(hào)“∥=”表示）*幾何語言：∵AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC），∴四邊形ABCD是平行四邊形。2.2從“角”入手*判定4：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。*幾何語言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形。2.3從“對(duì)角線”入手*判定5：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。*幾何語言：∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形。重要辨析：“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形（例如等腰梯形）?！耙唤M對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等”的四邊形也不一定是平行四邊形（可構(gòu)造反例）。在選用判定方法時(shí)，要注意條件的準(zhǔn)確性和充分性。三、平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用3.1直接應(yīng)用于計(jì)算與證明*求線段長(zhǎng)度或角度：利用平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角線互相平分、對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)等性質(zhì)。*證明線段相等或平行、角相等：綜合運(yùn)用性質(zhì)與判定。例題1：在平行四邊形ABCD中，已知∠A比∠B小20°，求∠C的度數(shù)。分析：利用平行四邊形鄰角互補(bǔ)及對(duì)角相等的性質(zhì)。解答：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠A=∠C?！唷螦+∠B=180°。設(shè)∠A=x，則∠B=x+20°?！鄕+(x+20°)=180°，解得x=80°?！唷螩=∠A=80°。例題2：已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，且AE=CF。求證：DE=BF。分析：可證△ADE≌△CBF，或先證四邊形DEBF是平行四邊形。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD?！逜E=CF，∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF。又∵BE∥DF（AB∥CD），∴四邊形DEBF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）?！郉E=BF（平行四邊形對(duì)邊相等）。3.2綜合應(yīng)用與輔助線添加在較復(fù)雜的幾何問題中，常需添加輔助線構(gòu)造平行四邊形，或?qū)⑵叫兴倪呅螁栴}轉(zhuǎn)化為三角形問題（如連結(jié)對(duì)角線）。常見輔助線：*連結(jié)對(duì)角線，將平行四邊形分成兩個(gè)全等三角形。*過頂點(diǎn)作高，利用面積公式或構(gòu)造直角三角形。*延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形。例題3：已知：如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。（經(jīng)典“中點(diǎn)四邊形”問題）分析：連接對(duì)角線AC或BD，利用三角形中位線定理。證明：連接AC。∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線?！郋F∥AC，EF=1/2AC。同理，HG∥AC，HG=1/2AC?！郋F∥HG，EF=HG?！嗨倪呅蜤FGH是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。四、特殊的平行四邊形（簡(jiǎn)要回顧與聯(lián)系）平行四邊形是特殊的四邊形，而矩形、菱形、正方形又是特殊的平行四邊形。它們之間的關(guān)系及特殊性質(zhì)是后續(xù)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，但在此需明確它們與平行四邊形的從屬關(guān)系：*矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形。（特殊在“角”）*菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形。（特殊在“邊”）*正方形：既是矩形又是菱形的平行四邊形。（最特殊）它們都具有平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)又各自具有獨(dú)特的性質(zhì)和判定方法。復(fù)習(xí)時(shí)，要注意區(qū)分它們的異同點(diǎn)，形成知識(shí)體系。五、專題總結(jié)與復(fù)習(xí)建議1.夯實(shí)基礎(chǔ)：深刻理解平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定的本質(zhì)，準(zhǔn)確記憶并能熟練表述。2.辨析異同：清晰區(qū)分性質(zhì)與判定的條件和結(jié)論，注意判定方法的嚴(yán)謹(jǐn)性，避免混淆。3.靈活運(yùn)用：根據(jù)題目條件，選擇最簡(jiǎn)便的判定方法；結(jié)合性質(zhì)解決計(jì)算和證明問題。4.規(guī)范書寫：幾何證明的書寫要條理清晰，依據(jù)充分，步步有據(jù)。例如，使用判定定理時(shí)，要完整寫出所有條件。5.多思多練：通過典型例題和適量練習(xí)，總結(jié)解題規(guī)律，提升分析問題和解決問題的能力，尤其注意輔助線的添加技巧。6.聯(lián)系拓展：將平行四邊形與三角形、特殊平行四邊形等知識(shí)融會(huì)貫通，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。練習(xí)題（供課后鞏固）1.填空題：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若AC=10，BD=14，則OA=______，OB=______。若△AOB的周長(zhǎng)為18，則AB=______。2.選擇題：下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A.AB∥CD，AD∥BCB.AB=CD，AD=BCC.AB∥CD，AD=BCD.∠A=∠C，∠B=∠D3.解答題：已知：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。4.探究題：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P是A