§3.1.2單調(diào)性與最大（小）值（一）新人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第三章第三章函數(shù)概念與性質(zhì)數(shù)學(xué)模型函數(shù)函數(shù)變化規(guī)律把握客觀(guān)世界變化中的規(guī)律性變化中的不變性性質(zhì)①

y=2x+1②

y=-x+2③

y=x2區(qū)

間圖象特征文字語(yǔ)言(-∞

,

0)(0

,

+∞)從左到右圖象下降從左到右圖象上升y隨

x的增大而減小y隨

x的增大而增大

y=x2單調(diào)遞減單調(diào)遞增【問(wèn)題】

是否所有函數(shù)都可以通過(guò)觀(guān)察圖象來(lái)判斷單調(diào)性？y=0.001x+1y=-0.001x+1判斷函數(shù)

f

(x)=x7-

x5-

x3+x

的單調(diào)性.

運(yùn)用圖象法判斷單調(diào)性有局限性函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語(yǔ)言

怎樣用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)“在(0

,

+∞)內(nèi)，y隨x的增大而增大”？x1x2f(x1)f(x2)

【問(wèn)題】只取(0

,

+∞)內(nèi)兩個(gè)確定的點(diǎn)，滿(mǎn)足“當(dāng)

x1＜x2時(shí)，有

f(x1)＜f(x2)”，能保證函數(shù)在(0

,

+∞)內(nèi)單調(diào)遞增嗎？x1x2f(x1)f(x2)xOy所有

x1＜x2，有

f(x1)＜f(x2)全稱(chēng)量詞“?”對(duì)于一般的函數(shù)

f(x)，設(shè)它的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，你能歸納出

f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增的定義嗎？【歸納定義】

函數(shù)的單調(diào)性

例1、如圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，并分別指出它們的單調(diào)性。在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是單調(diào)遞增。函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],

其中f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是單調(diào)遞減，單調(diào)區(qū)間的強(qiáng)調(diào)1、一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“∪”而應(yīng)該用“和”或“，”來(lái)連接。2、對(duì)于區(qū)間端點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒(méi)有增減的變化，所以不存在單調(diào)性問(wèn)題.因此在寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí)，可以包括區(qū)間端點(diǎn)，也可以不包括區(qū)間端點(diǎn)，但當(dāng)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處無(wú)定義時(shí)，單調(diào)區(qū)間就不能包括這些點(diǎn)。

研究函數(shù)單調(diào)性的方法圖像法、定義法用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:1.取數(shù):任取x1，x2∈D，且x1<x2；2.作差:f(x1)－f(x2)；3.變形:通常是因式分解、通分等；4.定號(hào):判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)；5.結(jié)論:指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性.探究三

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3】

(1)若函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區(qū)間(-∞,3]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

解析:(1)函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)=-(a+1)=-a-1,依題意有-a-1≥3,解得a≤-4.答案:(1)(-∞,-4]將本例中的(1)條件改為:函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區(qū)間(-∞,3]上不是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍又如何?解:由(1)知其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-a-1,則-a-1<3,解得a>-4.探究三

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3】(2)已知函數(shù)y=f(x)是區(qū)間(-∞,+∞)上的增函數(shù),且f(2x-3)>f(5x-6),則實(shí)數(shù)x的取值范圍為

.

解析

：(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是區(qū)間(-∞,+∞)上的增函數(shù),f(2x-3)>f(5x-6),所以2x-3>5x-6,解得x<1.答案:(2)(-∞,1)1、