中學(xué)幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的重要分支，它研究空間的形式、大小、位置關(guān)系及其變換。中學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí)，不僅是邏輯思維能力培養(yǎng)的關(guān)鍵途徑，也是后續(xù)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。本文旨在對(duì)中學(xué)階段核心的幾何知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)梳理與歸納，力求專業(yè)嚴(yán)謹(jǐn)，突出實(shí)用性，助力同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。一、平面幾何基礎(chǔ)平面幾何以平面圖形為研究對(duì)象，是整個(gè)幾何學(xué)的入門(mén)與基石。（一）基本概念與公理1.點(diǎn)、線、面：幾何學(xué)的基本構(gòu)成元素。點(diǎn)無(wú)大小，線無(wú)粗細(xì)，面無(wú)厚薄。點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。2.直線、射線、線段：*直線：可以向兩端無(wú)限延伸，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線（公理：兩點(diǎn)確定一條直線）。*射線：由線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)所形成的圖形，有一個(gè)端點(diǎn)。*線段：直線上兩點(diǎn)間的部分，有兩個(gè)端點(diǎn)。兩點(diǎn)之間，線段最短（公理）。3.角：*定義：由公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，或一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形。*度量：通常用度作為單位，一周角等于平角的兩倍，平角等于直角的兩倍。*分類：銳角（小于直角）、直角（等于平角的一半）、鈍角（大于直角且小于平角）、平角、周角。*相關(guān)角：對(duì)頂角（相等）、鄰補(bǔ)角（互補(bǔ)）、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（用于平行線判定）。4.基本公理：除上述提及的兩點(diǎn)確定一條直線、兩點(diǎn)之間線段最短外，還包括：*經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行（平行公理）。*如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。*等量加等量，其和相等；等量減等量，其差相等。*等量代換。（二）三角形三角形是平面幾何中最基本的封閉圖形之一，性質(zhì)豐富，應(yīng)用廣泛。1.三角形的定義與分類：*定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形。*按邊分類：不等邊三角形、等腰三角形（含等邊三角形）。*按角分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。2.三角形的基本性質(zhì)：*內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于一個(gè)平角。*外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。*三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。3.三角形中的重要線段：*中線：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段。三角形三條中線交于一點(diǎn)，稱為重心，重心將中線分成兩段，長(zhǎng)度比為二比一。*高線（高）：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段。三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)，稱為垂心。*角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段。三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，稱為內(nèi)心，內(nèi)心到三角形三邊距離相等（內(nèi)切圓圓心）。*垂直平分線（中垂線）：垂直于三角形一邊且平分這條邊的直線。三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，稱為外心，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等（外接圓圓心）。4.全等三角形：*定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。*判定定理：*SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*AAS（角角邊）：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。*性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。對(duì)應(yīng)中線、高線、角平分線等也相等。5.等腰三角形與等邊三角形：*等腰三角形：*定義：有兩邊相等的三角形。*性質(zhì)：兩腰相等；兩底角相等（等邊對(duì)等角）；頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（三線合一）。*判定：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）。*等邊三角形：*定義：三邊都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。*性質(zhì)：三個(gè)角都相等，且均為六十度；三條邊都相等；每條邊上的中線、高線和角平分線都相互重合。*判定：三邊相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是六十度的等腰三角形是等邊三角形。6.直角三角形：*定義：有一個(gè)角是直角（九十度）的三角形。*性質(zhì)：兩銳角互余；斜邊上的中線等于斜邊的一半；三十度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。*勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。其逆定理也成立，即若一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形。（三）四邊形四邊形是由不在同一直線上的四條線段首尾順次連接而成的封閉圖形。1.一般四邊形：*內(nèi)角和：三百六十度。*外角和：三百六十度。2.平行四邊形：*定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。*性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等；對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線互相平分；是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。*判定定理：*兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。*兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。*一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。*兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。*對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。3.矩形（長(zhǎng)方形）：*定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。*性質(zhì)：具有平行四邊形的所有性質(zhì)；四個(gè)角都是直角；對(duì)角線相等；既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。*判定定理：*有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。*對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。*有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。4.菱形：*定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。*性質(zhì)：具有平行四邊形的所有性質(zhì)；四條邊都相等；對(duì)角線互相垂直且平分每組對(duì)角；既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。*判定定理：*有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。*對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。*四條邊都相等的四邊形是菱形。5.正方形：*定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。它是特殊的矩形，也是特殊的菱形。*性質(zhì)：兼具矩形和菱形的所有性質(zhì)。四條邊相等，四個(gè)角都是直角；對(duì)角線相等、互相垂直且平分每組對(duì)角；既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸。*判定：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形。6.梯形：*定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。平行的兩邊叫做梯形的底，不平行的兩邊叫做梯形的腰。*等腰梯形：兩腰相等的梯形。*性質(zhì)：同一底上的兩個(gè)角相等；對(duì)角線相等；是軸對(duì)稱圖形。*判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。*直角梯形：有一個(gè)角是直角的梯形。（四）圓圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，是一種封閉的曲線圖形。1.基本概念：*圓心：定點(diǎn)稱為圓心。*半徑：定長(zhǎng)稱為半徑。*直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦，直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，長(zhǎng)度是半徑的兩倍。*弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段。*?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分，分為優(yōu)弧、劣弧和半圓。*圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角。*圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角。*弦心距：圓心到弦的距離。2.圓的基本性質(zhì)：*同圓或等圓的半徑相等，直徑相等。*圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸；圓也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心。*垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。其推論也成立，如平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。*圓心角、弧、弦、弦心距關(guān)系定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。*圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。*推論：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；九十度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。3.點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系：*點(diǎn)與圓：設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d。點(diǎn)在圓外?d>r；點(diǎn)在圓上?d=r；點(diǎn)在圓內(nèi)?d<r。*直線與圓：設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d。*相離?直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)?d>r。*相切?直線與圓有唯一公共點(diǎn)（切點(diǎn)）?d=r。此時(shí)直線叫做圓的切線，切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。*相交?直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)（交點(diǎn)）?d<r。此時(shí)直線叫做圓的割線，兩個(gè)交點(diǎn)間的線段叫做弦。*切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。4.圓與圓的位置關(guān)系（簡(jiǎn)要介紹）：*外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。其判定依據(jù)是兩圓的圓心距與兩圓半徑之和或之差的大小關(guān)系。（五）尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖是指用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖，是平面幾何的重要技能。*基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知角的平分線；作已知線段的垂直平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線。*利用基本作圖解決簡(jiǎn)單的作圖問(wèn)題，如已知三邊作三角形，已知兩邊及其夾角作三角形等。（六）圖形的軸對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)1.軸對(duì)稱：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分。2.平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置。平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一直線上）且相等。3.旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。旋轉(zhuǎn)后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。（七）相似形1.比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。2.相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。3.相似三角形：*定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。*判定定理：*平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。*兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。*兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。*三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。*性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；周長(zhǎng)的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方。二、立體幾何初步立體幾何研究空間圖形的性質(zhì)、畫(huà)法、計(jì)算及其應(yīng)用。中學(xué)階段主要學(xué)習(xí)一些基本的空間圖形及其直觀認(rèn)識(shí)。（一）空間幾何體1.棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。按底面多邊形的邊數(shù)可分為三棱柱、四棱柱等。2.棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。按底面多邊形的邊數(shù)可分為三棱錐、四棱錐等。3.圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱。4.圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。5.球：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球。球面上任意一點(diǎn)到球心的距離都相等，這個(gè)距離叫做球的半徑。（二）空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.平面的基本性質(zhì)（公理）：*如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。*過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。*如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。2.空間中直線與直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面。3.空間中直線與平面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線與平面平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）、直線與平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括垂直相交）。4.空間中平面與平面的位置關(guān)系：平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）、相交（有一條公共直線，包括垂直相交）。（三）簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（公式略）了解棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球的表面積和體積的計(jì)算公式，能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。三