中學(xué)幾何知識點歸納總結(jié)幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的重要分支，它以空間形式為研究對象，培養(yǎng)我們的邏輯推理能力、空間想象能力和直觀感知能力。中學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí)，是從平面幾何到立體幾何的過渡，內(nèi)容豐富且邏輯嚴(yán)密。本文旨在對中學(xué)階段核心的幾何知識點進行梳理與歸納，希望能為同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識網(wǎng)絡(luò)提供幫助。一、平面幾何初步平面幾何是研究平面圖形性質(zhì)的學(xué)科，是整個幾何學(xué)的基礎(chǔ)。（一）幾何圖形的基本概念1.點、線、面、體：*點：點是構(gòu)成幾何圖形的基本元素，沒有大小，通常用大寫字母表示。*線：線是點的集合，有直線和曲線之分。直線沒有端點，可以向兩端無限延伸；射線有一個端點，向一端無限延伸；線段有兩個端點，有確定的長度。*面：面是線的集合，有平面和曲面之分。平面是向四周無限延展的平的面。*體：體是面的集合，由平面或曲面圍成。2.幾何圖形：點、線、面、體經(jīng)過不同的組合和運動所構(gòu)成的圖形，如三角形、四邊形、圓等。（二）相交線與平行線1.相交線：*對頂角：兩條直線相交形成的四個角中，相對的兩個角互為對頂角。對頂角相等。*鄰補角：兩條直線相交形成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角互為鄰補角。鄰補角之和為180度。*垂線：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。*垂線段最短：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。*點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。2.平行線：*定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。*平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。*平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。*平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。*平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。*平行線間的距離：從一條平行線上的任意一點向另一條平行線作垂線，垂線段的長度叫做這兩條平行線間的距離。平行線間的距離處處相等。二、三角形三角形是平面幾何中最基本也最重要的封閉圖形之一。（一）三角形的基本概念*定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。*構(gòu)成元素：頂點、邊、內(nèi)角、外角。*三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。*三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180度。*三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。（二）三角形的重要線段*中線：連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線。三角形的三條中線交于一點，這點叫做三角形的重心。重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍。*高線（高）：從三角形一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線。三角形的三條高所在的直線交于一點，這點叫做三角形的垂心。*角平分線：三角形一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。三角形的三條角平分線交于一點，這點叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。*中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。（三）全等三角形*定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。*全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。（對應(yīng)邊上的中線、高線、對應(yīng)角的平分線也分別相等）*全等三角形的判定：*SSS（邊邊邊）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*AAS（角角邊）：兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。（四）特殊三角形1.等腰三角形：*定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角。*性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（三線合一）。*判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）。2.等邊三角形（正三角形）：*定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。*性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60度。等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)，并且每條邊上都有三線合一。*判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。3.直角三角形：*定義：有一個角是直角（90度）的三角形叫做直角三角形。*性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余；在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。*判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。（五）三角形的相似*定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。*相似三角形的判定：*平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。*兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。*兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似。*三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。*斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似。*相似三角形的性質(zhì)：*相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。*相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。*相似三角形周長的比等于相似比。*相似三角形面積的比等于相似比的平方。*位似圖形：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比。三、四邊形（一）四邊形的基本概念*定義：由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做四邊形。*四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360度。*四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360度。（二）平行四邊形*定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。*性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分；平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點。*判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（三）特殊的平行四邊形1.矩形：*定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。*性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等；矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。*判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形。2.菱形：*定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。*性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。*判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。3.正方形：*定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。*性質(zhì)：正方形同時具有矩形和菱形的所有性質(zhì)。即：四條邊都相等，四個角都是直角；對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。*判定：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形。（四）梯形*定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底），不平行的兩邊叫做梯形的腰，兩底之間的距離叫做梯形的高。*等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。*性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等；等腰梯形是軸對稱圖形，過兩底中點的直線是它的對稱軸。*判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；對角線相等的梯形是等腰梯形。*直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。四、圓圓是平面幾何中最完美的曲線圖形。（一）圓的基本概念*定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所經(jīng)過的封閉曲線叫做圓。這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。*弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。直徑是圓中最長的弦。*?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。*圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。*圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。*等圓與等?。耗軌蛑睾系膬蓚€圓叫做等圓。在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。（二）圓的基本性質(zhì)*圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；圓也是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。*垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。*推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。*圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。（反之亦成立）*圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。*推論：同弧或等弧所對的圓周角相等；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90度的圓周角所對的弦是直徑。*圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。（三）點與圓、直線與圓的位置關(guān)系1.點與圓的位置關(guān)系：*點在圓外：點到圓心的距離大于半徑。*點在圓上：點到圓心的距離等于半徑。*點在圓內(nèi)：點到圓心的距離小于半徑。*確定圓的條件：不在同一直線上的三個點確定一個圓。*三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。外心到三角形三個頂點的距離相等。2.直線與圓的位置關(guān)系：*相離：直線和圓沒有公共點。此時圓心到直線的距離d大于半徑r。*相切：直線和圓有唯一公共點（這時的直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點）。此時圓心到直線的距離d等于半徑r。*相交：直線和圓有兩個公共點（這時的直線叫做圓的割線）。此時圓心到直線的距離d小于半徑r。*切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑。*切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。*切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。*三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。（四）與圓有關(guān)的計算*圓的周長：C=2πr（r為半徑）*圓的面積：S=πr2*弧長公式：l=nπr/180（n為圓心角度數(shù)，r為半徑）*扇形面積公式：S扇形=nπr2/360=(1/2)lr（l為扇形的弧長）五、立體幾何初步立體幾何研究的是空間圖形的性質(zhì)、畫法、計算及其應(yīng)用。（一）空間幾何體的基本概念*多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共頂點叫做多面體的頂點。*旋轉(zhuǎn)體：由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸。（二）常見的空間幾何體1.棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個