第九章統(tǒng)計(jì)9.1隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣「學(xué)習(xí)目標(biāo)」1.在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的實(shí)施過(guò)程中,掌握抽簽法和隨機(jī)數(shù)法的步驟,培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).2.通過(guò)用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù),培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)梳理自主探究「知識(shí)探究」1.全面調(diào)查和抽樣調(diào)查普查調(diào)查方式普查抽樣調(diào)查定義對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法,稱為全面調(diào)查,又稱

根據(jù)一定目的,從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查,并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法,稱為

抽樣調(diào)查相關(guān)概念①在一個(gè)調(diào)查中,我們把調(diào)查對(duì)象的全體稱為

;②組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象稱為

①我們把從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為

;②樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本容量,簡(jiǎn)稱

.調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測(cè)數(shù)據(jù),簡(jiǎn)稱樣本數(shù)據(jù)總體個(gè)體樣本樣本量2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一般地,設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體,從中

抽取n(1≤n<N)個(gè)個(gè)體作為樣本如果抽取是放回的,且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都

,我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣如果抽取是不放回的,且每次抽取時(shí)總體內(nèi)

被抽到的概率都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本逐個(gè)相等未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體3.抽簽法與隨機(jī)數(shù)法抽樣方法抽簽法隨機(jī)數(shù)法定義先給總體中的個(gè)體編號(hào).然后把所有編號(hào)寫在外觀、質(zhì)地等無(wú)差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號(hào)簽,并將這些小紙片放在一個(gè)

的盒里,充分?jǐn)嚢?最后從盒中不放回地逐個(gè)抽取號(hào)簽,使與號(hào)簽上的編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本,直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù)先給總體中的個(gè)體編號(hào),例如按1～N進(jìn)行編號(hào).用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生1～N范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù),把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào),使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本.重復(fù)上述過(guò)程,并剔除重復(fù)的編號(hào),直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù)不透明優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)單易行.當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不多時(shí),使總體處于“攪拌均勻”的狀態(tài)比較容易,這時(shí),每個(gè)個(gè)體都有均等的機(jī)會(huì)被抽中,從而能夠保證樣本的代表性簡(jiǎn)單易行.它很好地解決了當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)抽簽法制簽難的問(wèn)題缺點(diǎn)僅適用于個(gè)體數(shù)較少的總體.當(dāng)總體容量非常大時(shí),費(fèi)時(shí)費(fèi)力又不方便,況且,如果號(hào)簽攪拌不均勻,可能導(dǎo)致抽樣不公平當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)很多,需要的樣本量也較大時(shí),用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便4.樣本均值(平均數(shù))名稱定義總體均值一般地,總體中有N個(gè)個(gè)體,它們的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,則稱

為總體均值,又稱總體平均數(shù)總體均值加權(quán)平均數(shù)的形式如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式

=

樣本均值如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本,它們的變量值分別為y1,y2,…,yn,則稱

=

為樣本均值,又稱樣本平均數(shù)師生互動(dòng)合作探究探究點(diǎn)一普查和抽樣調(diào)查[例1]下列調(diào)查方式合適的是(

)A.檢驗(yàn)100件產(chǎn)品的質(zhì)量,采用普查的方式B.為了了解全國(guó)中學(xué)生的睡眠狀況,采用普查的方式C.為了了解人們保護(hù)水資源的意識(shí),采用抽樣調(diào)查的方式D.對(duì)載人航天器神舟十七號(hào)零部件的檢查,采用抽樣調(diào)查的方式√解析:檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量,有些具有破壞性,故采用抽樣調(diào)查的方式,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;了解全國(guó)中學(xué)生的睡眠狀況,工作量大,采用抽樣調(diào)查的方式,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;為了了解人們保護(hù)水資源的意識(shí),工作量大,采用抽樣調(diào)查的方式,故C選項(xiàng)正確;對(duì)載人航天器神舟十七號(hào)零部件的檢查十分重要,故進(jìn)行普查,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.方法總結(jié)(1)普查是對(duì)總體中每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行考察.(2)抽樣調(diào)查只對(duì)抽取樣本進(jìn)行考察.[針對(duì)訓(xùn)練](多選題)下列調(diào)查的樣本合理的是(

)A.在校內(nèi)發(fā)出1000張印有全校各班級(jí)的選票,要求被調(diào)查學(xué)生在其中一個(gè)班級(jí)旁畫“√”,以了解最受歡迎的教師是誰(shuí)B.從一萬(wàn)多名工人中,經(jīng)過(guò)選舉,確定100名代表,然后投票表決,了解工人們對(duì)工廠機(jī)構(gòu)改革的意見C.到老年公寓進(jìn)行調(diào)查,了解全市老年人的健康狀況D.為了了解全班同學(xué)每天的睡眠時(shí)間,在每個(gè)小組中各隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查√√解析:A中樣本不具有代表性、有效性,在班級(jí)旁畫“√”與了解最受歡迎的教師沒有關(guān)系;C中樣本缺乏代表性;而B,D是合理的樣本.故選BD.[例2]在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中,某一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性(

)A.與第幾次抽樣有關(guān),第一次抽到的可能性大一些B.與第幾次抽樣無(wú)關(guān),每次抽到的可能性都相等C.與第幾次抽樣有關(guān),最后一次抽到的可能性要大些D.與第幾次抽樣無(wú)關(guān),每次都是等可能地抽取,但各次抽取的可能性不一定√解析:在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中,每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都相等,與第幾次抽樣無(wú)關(guān),故A,C,D不正確,B正確.故選B.探究點(diǎn)二簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣角度一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念方法總結(jié)可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取樣本的依據(jù)(1)總體中的個(gè)體之間無(wú)明顯差異.(2)總體中個(gè)體數(shù)N有限.(3)抽取的樣本個(gè)體數(shù)n小于總體中的個(gè)體數(shù)N.[針對(duì)訓(xùn)練](多選題)下列抽取樣本的方式是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是(

)A.從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本B.盒子里共有80個(gè)零件,從中逐個(gè)不放回地選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C.從裝有100個(gè)零件的箱子中,選出10個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),抽樣過(guò)程中,從中任意選出1個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后,再把它放回箱子里D.某班有56名同學(xué),指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽√√解析:對(duì)于A,根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義,從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,所以A不符合題意;對(duì)于B,根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義,80個(gè)零件,從中逐個(gè)不放回地選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),滿足簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的條件,所以B符合題意;對(duì)于C,是放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,所以C符合題意;對(duì)于D,根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義,從56名同學(xué)中,指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽,不滿足簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義,所以D不符合題意.故選BC.[例3]某大學(xué)為了支援西部教育事業(yè),現(xiàn)從報(bào)名的18名志愿者中選取6人組成志愿小組,請(qǐng)用抽簽法確定志愿小組的成員,寫出抽樣步驟.解:第一步,將18名志愿者編號(hào),號(hào)碼分別是1,2,…,18.第二步,將號(hào)碼分別寫在同樣的小紙片上,揉成團(tuán),制成號(hào)簽.第三步,將制好的號(hào)簽放入一個(gè)不透明的袋子中,充分?jǐn)噭?第四步,從袋子中依次不放回地抽取6個(gè)號(hào)簽,并記錄上面的編號(hào).第五步,選出與所得號(hào)碼對(duì)應(yīng)的志愿者,這些志愿者即為志愿小組的成員.角度二抽簽法方法總結(jié)(1)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?關(guān)鍵看兩點(diǎn):一是制簽是否方便;二是個(gè)體之間差異不明顯.(2)應(yīng)用抽簽法時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):①編號(hào)時(shí),如果已有編號(hào)可不必重新編號(hào);②號(hào)簽要求大小、形狀完全相同;③號(hào)簽要均勻攪拌.[針對(duì)訓(xùn)練]一名學(xué)生在一次競(jìng)賽中要回答的8道題是這樣產(chǎn)生的:從15道物理題中隨機(jī)抽3道;從20道化學(xué)題中隨機(jī)抽3道;從12道生物學(xué)題中隨機(jī)抽2道.使用合適的方法確定這名學(xué)生所要回答的三門學(xué)科的題的序號(hào)(物理題的編號(hào)為1～15,化學(xué)題的編號(hào)為16～35,生物學(xué)題的編號(hào)為36～47).解:第一步,將試題的編號(hào)1～47分別寫在47張形狀、大小相同的紙條上,將紙條揉成團(tuán)制成號(hào)簽,并將物理、化學(xué)、生物學(xué)題的號(hào)簽分別放在3個(gè)不透明的袋子中,充分?jǐn)噭?第二步,從裝有物理題號(hào)簽的袋子中逐個(gè)抽取3個(gè)號(hào)簽,從裝有化學(xué)題號(hào)簽的袋子中逐個(gè)抽取3個(gè)號(hào)簽,從裝有生物學(xué)題號(hào)簽的袋子中逐個(gè)抽取2個(gè)號(hào)簽,并記錄所得號(hào)簽上的編號(hào),這便是所要回答的問(wèn)題的編號(hào).探究點(diǎn)三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征[例4](1)隨機(jī)抽取某商場(chǎng)4月份5天的營(yíng)業(yè)額(單位:萬(wàn)元)分別為3.4,2.9,3.0,3.1,2.6,則這個(gè)商場(chǎng)4月份的營(yíng)業(yè)額大約是(

)A.90萬(wàn)元 B.450萬(wàn)元C.3萬(wàn)元 D.15萬(wàn)元√(2)為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量,可以使用以下方法:先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝,例如200只,給每只天鵝做上記號(hào),不影響其存活,然后放回保護(hù)區(qū),經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間,讓其和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合;再?gòu)谋Ｗo(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝,例如150只,查看其中有記號(hào)的天鵝,設(shè)有20只.根據(jù)上述數(shù)據(jù),估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為(

)A.4000 B.3000 C.1500 D.750√方法總結(jié)當(dāng)總體規(guī)模很大時(shí),一般用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù),用樣本中某類個(gè)體的比例估計(jì)該類個(gè)體在總體中所占的比例.[針對(duì)訓(xùn)練](1)中國(guó)農(nóng)歷的二十四節(jié)氣凝結(jié)著中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶.某小學(xué)二年級(jí)隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)《二十四節(jié)氣歌》,只能說(shuō)出兩句的有32人,能說(shuō)出三句或三句以上的有45人,據(jù)此估計(jì)該校二年級(jí)的400名學(xué)生中對(duì)《二十四節(jié)氣歌》只能說(shuō)出一句或一句也說(shuō)不出的人數(shù)為(

)A.23 B.92 C.128 D.180√(2)小玲家的魚塘里養(yǎng)了2500條鰱魚,按經(jīng)驗(yàn),鰱魚的成活率約為80%.現(xiàn)準(zhǔn)備打撈出售,為了估計(jì)魚塘中鰱魚的總質(zhì)量,從魚塘中捕撈了3次進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到的數(shù)據(jù)如下表:項(xiàng)目魚的條數(shù)平均每條魚的質(zhì)量/kg第一次捕撈201.6第二次捕撈102.2第三次捕撈101.8那么,魚塘中鰱魚的總質(zhì)量約是

kg.

3600「當(dāng)堂檢測(cè)」1.下列調(diào)查:①每隔10年進(jìn)行人口普查;②報(bào)社等進(jìn)行輿論調(diào)查;③燈泡使用壽命的調(diào)查;④對(duì)入學(xué)報(bào)名者的學(xué)歷檢查;⑤從20臺(tái)電視機(jī)中抽出3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查.其中屬于抽樣調(diào)查的是(

)A.①②③ B.②③⑤

C.②③④ D.①③⑤√解析:①④屬于普查,不屬于抽樣調(diào)查.故選B.2.下列抽樣試驗(yàn)中,適合用抽簽法的是(

)A.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B.從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱15件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱15件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)√解析:選項(xiàng)A中,總體中的個(gè)體數(shù)較大,樣本容量也較大,不適合用抽簽法;選項(xiàng)B中,總體中的個(gè)體數(shù)較小,樣本容量也較小,且同廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品可視為攪拌均勻了,可用抽簽法;選項(xiàng)C中,甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大,不能滿足攪拌均勻的條件,不能用抽簽法