第三章立體的投影立體由圍成它的各個表面擬定其范疇及形狀。立體基本體組合體平面立體：棱柱、棱錐等曲面立體：圓柱、圓錐、球體和環(huán)體等本章重要學(xué)習(xí)基本立體的投影及基本體被截切、相貫后形成的截切體、相貫體的投影。為后來組合體的投影學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).3.1平面立體常見平面基本體：圍成平面立體的表面都是平面，求平面立體的投影，就是把這些表面的投影畫出來，也就是把構(gòu)成立體的各個表面的交線（棱線）及各個頂點（棱線的交點）表達出來。由于各個表面存在方位關(guān)系，則棱線與頂點存在相對某個投影面可見與不可見，因此，作出立體的投影后，需要鑒別棱線與頂點的可見性，可見的棱線用實線表達，不可見的用虛線表達。3.1.1棱柱棱柱的投影及表面取點。以一種正六棱柱為例。

a

a

a

(b

)

b

b

a)六棱柱的三面投影；b)六棱柱表面取點3.1.2棱錐棱錐的投影及表面取點。以一種三棱錐為例。()

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abc

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a）三棱錐的三面投影；b）三棱錐表面取點。3.2曲面立體常見的曲面基本體有：圓柱圓錐球圓環(huán)3.2.1圓柱（1）圓柱體的構(gòu)成A1AOO1圓柱面上與軸線平行的任始終線稱為圓柱面的素線。由圓柱面和兩底面構(gòu)成。圓柱面是由直線AA1繞與它平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。直線AA1稱為母線。（2）圓柱體的三面投影（3）輪廓線的投影與曲面可見性的鑒別

m

A1COO1ABDC1B1（D1）a

a1

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(d)(d1)b

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(b)(b1)a(a1)(c1)c(b1)b(d1)d

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m（4）圓柱面上取點3.2.2圓錐O1OSA（1）圓錐的構(gòu)成：由圓錐面和底平面構(gòu)成。圓錐面是由直線SA繞與它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。S稱為錐頂，直線SA稱為母線。圓錐面上過錐頂?shù)娜问冀K線稱為圓錐面的素線。圓錐面的形成：（２）圓錐體的三面投影在圖示位置，俯視圖為一圓。另兩個視圖為等邊三角形，三角形的底邊為圓錐底面的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。

s

●

s

●s（３）輪廓線素線的投影與曲面的可見性的判斷（４）圓錐表面取點Ａ輔助直線法

k

k

k

B輔助圓法

(n

)●n(n

)●3.2.3圓球三個視圖分別為三個和圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三個方向輪廓線的投影。圓母線以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。⑵圓球的三視圖⑶輪廓線的投影與曲面可見性的判斷⑷圓球面上取點

k

輔助圓法

k

k

⑴圓球的形成圓的半徑？3.3平面與立體相交截切：用一種平面與立體相交，截去立體的一部分。截平面——用以截切物體的平面。截交線——截平面與物體表面的交線。截斷面——截交線圍成的平面圖形。討論的問題：截交線的分析和作圖。截交線的普通性質(zhì)：1）截交線既在截平面上，又在立體表面上，因此，截交線是截平面與立體表面的共有線，截交線上的點是截平面與立體表面的共有點。2）由于立體表面是封閉的，因此，截交線所圍成的截端面普通為封閉的平面圖形。3）截交線的形狀決定于立體表面的形狀和截平面與立體的相對位置。3.3.1平面與平面立體相交截交線是一種由直線構(gòu)成的封閉的平面多邊形，其形狀取決于平面體的形狀及截平面對平面體的截切位置。截交線的每條邊是截平面與棱面的交線。求截交線的實質(zhì)是求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：求平面截平面立體形成截交線的畫圖⒈求截交線的兩種辦法：★求各棱線與截平面的交點→棱線法?！锴蟾骼饷媾c截平面的交線→棱面法。核心是對的地畫出截交線的投影。⒉求截交線的環(huán)節(jié)：☆截平面與體的相對位置☆截平面與投影面的相對位置擬定截交線的投影特性擬定截交線的形狀★空間及投影分析★畫出截交線的投影分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。例1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3

2

1

(4

)1

●2

●4

●3

●1●2●4●★空間分析交線的形狀？3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影★檢查特別注意檢查截交線投影的類似性截平面與體的幾個棱面相交？截交線在俯、左視圖上的形狀？我們采用的是哪種解題方法？棱線法！例2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。121

(2

)Ⅰ、Ⅱ兩點分別同時位于三個面上。三面共點：2

●1

●

注意：要逐個截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。例3:求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。P

截交線的形狀？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ1

5

4

3

2

8

7

6

截交線的投影特性？2

≡3

≡6

≡7

1

≡8

4

≡5

求截交線15476328分析棱線的投影檢查截交線的投影3.3.1平面與曲面立體相交平面截回轉(zhuǎn)體的基本形式：

根據(jù)前面的介紹，常見基本曲面立體的曲面都是通過母線圍繞軸線回轉(zhuǎn)而形成，因此，又把常見基本曲面立體叫做回轉(zhuǎn)體。截交線的性質(zhì)：截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置。截交線都是封閉的平面圖形。求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的普通環(huán)節(jié)：⒈空間及投影分析☆分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置，方便擬定截交線的形狀?！罘治鼋仄矫媾c投影面的相對位置，明確截交

線的投影特性，如積聚性、類似性等。找出截交線的已知投影，予見未知投影。⒉畫出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，其作圖環(huán)節(jié)為：☆將各點光滑地連接起來，并判斷截交線的可見性?！钕日姨厥恻c，補充中間點。㈠平面與圓柱體相交

截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置垂直圓橢圓平行兩平行直線傾斜PVPPVPPVP例：求圓柱被正垂面截切后的截交線及圓柱被平面截切后的側(cè)面投影。截交線的已知投影？●●●●●●●●●●●●★找特殊點★補充中間點★光滑連接各點★分析輪廓素線的投影截交線的側(cè)面投影是什么形狀？截交線的空間形狀？完畢作圖例：求圓柱被兩個平面截切后的投影虛實分界點完畢作圖兩個平面截切圓柱筒●●●●完畢作圖㈡平面與圓錐相交

根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。過錐頂兩相交直線PV圓PVθθ=90°PV橢圓αθθ＞α拋物線PVθαθ=α雙曲線PVαθ=0°＜α例:圓錐被正垂面截切，求截交線，并完畢三視圖。截交線的空間形狀？截交線的投影特性？★找特殊點如何找橢圓另一根軸的端點？★補充中間點★光滑連接各點★分析輪廓線的投影完畢后的作圖(三)平面與圓球相交平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，其截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。兩個側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。由于球面的特殊性及平面截球面的截交線在空間中體現(xiàn)是圓的特性，除截交線在球面投影的輪廓線上的特殊點能夠直接求出外，我們普通都是通過輔助圓法來求截交線上點的投影。典型的例子見P42的圖3.13。截交線小節(jié)一、平面體的截交線普通狀況下是由直線構(gòu)成的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與棱面的交線。求截交線的辦法：棱線法棱面法二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截平面與被截立體軸線的相對位置。

截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。

當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，要先找特殊點，再補充中間點，最后光滑連接各點。注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。⑵分析截平面與被截立體對投影面的相對位置，以擬定截交線的投影特性。⒉求截交線三、解題辦法與環(huán)節(jié)⒈空間及投影分析⑴分析截平面與被截立體的相對位置，以擬定截交線的形狀。⒊當(dāng)單體被多個截平面截切時，要逐個截平面進行截交線的分析與作圖。當(dāng)只有

局部被截切時，先按整體被截切求出截

交線，然后再取局部。⒋求復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線，應(yīng)首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體構(gòu)成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。END3.4立體與立體相交兩立體相交叫作相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫做相貫線。本節(jié)重要研究相貫線的畫法。兩立體相貫的形式：平面立體與平面立體平面立體與曲面立體曲面立體與曲面立體★相貫線的性質(zhì)：①相貫線既是相交兩立體表面的共有線，同時也是相交兩立體表面的分界限，因此，相貫線由兩立體表面上一系列的共有點構(gòu)成。②由于立體含有一定的范疇，因此，相貫線普通都是封閉的?！锉竟?jié)重要討論曲面立體與曲面立體相貫的狀況兩曲面立體相交：兩曲面立體相交，其相貫線普通為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線，由一系列的共有點構(gòu)成。求其相貫線的實質(zhì)就是求兩曲面立體表面上一系列的共有點，然后依次光滑連線。作圖辦法：運用投影的積聚性直接找點。用輔助平面法。先找特殊點：最高、最低、最左、最右等極限位置上的點及曲面輪廓線上的點。作圖過程：補充中間點。擬定交線的彎曲趨勢擬定交線的范疇光滑連線，并鑒別其可見性。1.運用積聚性求相貫線●●●●●●●●●

空間及投影分析：小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。求相貫線的投影：運用積聚性，采用表面取點法?！钫姨厥恻c☆補充中間點☆光滑連接兩圓柱外表面相交完畢作圖：當(dāng)圓柱直徑變化時，相貫線投影的變化趨勢：交線向大圓柱一側(cè)彎交線的投影為兩條直線，在空間中實際為兩條平面曲線（橢圓）內(nèi)外圓柱面相交：●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交線◆兩外表面及內(nèi)外表面相貫★內(nèi)形交線◆兩內(nèi)表面相貫完畢作圖：無輪是兩外表面相貫，還是一內(nèi)表面和一外表面相貫，或者兩內(nèi)表面相貫，求相貫線的辦法和思路是同樣的。小結(jié)：2.運用輔助平面求相貫線有些兩曲面立體相貫，由于不能通過相貫線的已知投影運用積聚性求相貫線的未知投影，此時就運用選擇輔助平面分別與相貫的兩曲面立體截交形成交線，尋找兩交線的交點，此交點就是相貫線上的點，即運用三面共點的原理