2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策實(shí)際案例分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一某連鎖超市希望了解其顧客的購買行為，以提高銷售額和顧客滿意度。管理部門收集了近一個(gè)月內(nèi)隨機(jī)抽取的200位顧客的樣本數(shù)據(jù)，包括顧客性別（男/女）、年齡段（18-25歲，26-35歲，36-45歲，46-55歲，56歲及以上）、購物金額（元）、購物時(shí)長（分鐘）以及是否為會(huì)員（是/否）。部分整理后的描述性信息如下：*總樣本量：200*男性顧客占比：45%*女性顧客占比：55%*平均購物金額：328元，標(biāo)準(zhǔn)差：120元*平均購物時(shí)長：45分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差：15分鐘*會(huì)員顧客占比：60%*26-35歲年齡段顧客占比：40%*超過75%的顧客購物金額在200元至500元之間。*超過80%的顧客購物時(shí)長在30分鐘至60分鐘之間。管理部門首先關(guān)注不同性別顧客的平均購物金額是否存在顯著差異。他們抽取了一個(gè)包含60位男性的樣本，平均購物金額為350元，標(biāo)準(zhǔn)差為110元；同時(shí)抽取了一個(gè)包含40位女性的樣本，平均購物金額為310元，標(biāo)準(zhǔn)差為130元。其次，管理部門希望了解顧客年齡段與購物金額之間是否存在關(guān)聯(lián)。他們分析了樣本數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)18-25歲年齡段顧客的平均購物金額最低，為280元；而56歲及以上年齡段顧客的平均購物金額最高，為380元。管理部門打算進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，以確定樣本數(shù)據(jù)是否支持“不同年齡段的顧客平均購物金額存在顯著差異”這一觀點(diǎn)。最后，管理部門考慮通過提升會(huì)員權(quán)益來增加顧客的購物金額和購物頻率。他們分析了會(huì)員與非會(huì)員顧客的平均購物金額和購物時(shí)長。樣本數(shù)據(jù)顯示，會(huì)員顧客的平均購物金額為360元，非會(huì)員顧客的平均購物金額為290元；會(huì)員顧客的平均購物時(shí)長為50分鐘，非會(huì)員顧客的平均購物時(shí)長為40分鐘。管理部門希望利用統(tǒng)計(jì)方法分析這些數(shù)據(jù)，判斷會(huì)員身份是否對(duì)購物金額和購物時(shí)長有顯著影響，并基于分析結(jié)果提出有針對(duì)性的會(huì)員管理建議。要求：1.根據(jù)上述描述性信息，概括該超市顧客在性別、年齡段、購物金額、購物時(shí)長方面的主要特征。至少運(yùn)用兩種不同的描述性統(tǒng)計(jì)量來支持你的概括。2.假設(shè)管理部門希望以95%的置信水平評(píng)估男性與女性顧客平均購物金額的差異范圍。請(qǐng)計(jì)算該置信區(qū)間，并解釋其含義。3.針對(duì)管理部門關(guān)于“不同年齡段的顧客平均購物金額存在顯著差異”的觀點(diǎn)，假設(shè)他們進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的p值為0.03。請(qǐng)解釋該p值的含義，并根據(jù)其結(jié)果說明管理部門是否有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)支持其觀點(diǎn)。請(qǐng)同時(shí)說明進(jìn)行該檢驗(yàn)所需的至少一個(gè)關(guān)鍵假設(shè)條件。4.假設(shè)管理部門分析了會(huì)員與非會(huì)員顧客的購物金額數(shù)據(jù)，并進(jìn)行了獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)），得到的p值為0.005。請(qǐng)解釋該p值的含義，并幫助管理部門基于此結(jié)果判斷會(huì)員身份是否對(duì)購物金額有顯著影響。如果需要，請(qǐng)?zhí)岢鲞M(jìn)行該檢驗(yàn)的一個(gè)關(guān)鍵假設(shè)條件。5.結(jié)合上述分析結(jié)果，為該超市管理部門提出至少兩條具體的、有數(shù)據(jù)支撐的管理建議，以提升顧客價(jià)值和超市經(jīng)營效益。試題二某制造企業(yè)生產(chǎn)一種關(guān)鍵部件，部件的重量是影響其性能的重要指標(biāo)。理論上，該部件的標(biāo)準(zhǔn)重量應(yīng)控制在100克。質(zhì)量管理部門定期對(duì)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品進(jìn)行抽檢，以監(jiān)控生產(chǎn)過程是否穩(wěn)定。本周抽取了50個(gè)部件進(jìn)行檢測，記錄了每個(gè)部件的實(shí)際重量。經(jīng)過初步分析，發(fā)現(xiàn)這些重量數(shù)據(jù)大致呈正態(tài)分布，樣本平均重量為99.8克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.5克。企業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，如果抽檢樣本的平均重量與標(biāo)準(zhǔn)重量（100克）的差異超過了某個(gè)閾值（例如，絕對(duì)差異超過0.3克），則認(rèn)為生產(chǎn)過程可能存在問題，需要立即進(jìn)行調(diào)整?；诒局艿臉颖緮?shù)據(jù)，質(zhì)量管理部門需要判斷當(dāng)前生產(chǎn)過程是否需要調(diào)整。同時(shí)，質(zhì)量管理部門還關(guān)注單個(gè)部件重量的波動(dòng)情況。他們希望了解當(dāng)前生產(chǎn)過程中，單個(gè)部件重量偏離標(biāo)準(zhǔn)重量（100克）的程度是否顯著偏離了以往穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差（通常認(rèn)為穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差不超過0.4克）。為此，他們利用了抽樣分布的知識(shí)，并計(jì)劃進(jìn)行一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)。要求：1.假設(shè)質(zhì)量管理部門設(shè)定的判斷生產(chǎn)過程是否需要調(diào)整的閾值為絕對(duì)差異超過0.3克。請(qǐng)計(jì)算樣本平均重量（99.8克）與標(biāo)準(zhǔn)重量（100克）的差異，并判斷根據(jù)此閾值，本周的生產(chǎn)過程是否需要調(diào)整？請(qǐng)解釋你的判斷依據(jù)。2.為了檢驗(yàn)單個(gè)部件重量偏離標(biāo)準(zhǔn)重量的程度是否顯著偏離了以往穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差（0.4克），質(zhì)量管理部門計(jì)劃進(jìn)行一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)。請(qǐng)寫出該假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)（H?）和備擇假設(shè)（H?）。3.假設(shè)質(zhì)量管理部門計(jì)算出上述假設(shè)檢驗(yàn)的p值為0.15。請(qǐng)解釋該p值的含義，并根據(jù)其結(jié)果說明質(zhì)量管理部門是否有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)認(rèn)為當(dāng)前生產(chǎn)過程中單個(gè)部件重量的波動(dòng)程度（標(biāo)準(zhǔn)差）顯著偏離了穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差（0.4克）。4.在進(jìn)行第3問的假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，需要用到中心極限定理。請(qǐng)簡述中心極限定理在本題中應(yīng)用的關(guān)鍵條件和意義。5.綜合考慮本周抽檢的樣本平均重量和單個(gè)部件重量的波動(dòng)情況，請(qǐng)為質(zhì)量管理部門提出一個(gè)關(guān)于生產(chǎn)過程是否需要調(diào)整的結(jié)論性意見，并說明理由。---試卷答案試題一1.該超市顧客主要特征概括：*性別：女性顧客略多于男性顧客（55%vs45%）。*年齡段：26-35歲年齡段顧客最多（40%），18-25歲年齡段顧客最少。*購物金額：大部分顧客（75%）購物金額在200元至500元之間，平均購物金額為328元，標(biāo)準(zhǔn)差為120元，表明金額分布有一定離散度。男性和56歲及以上年齡段顧客的平均購物金額（分別350元和380元）高于整體平均水平，而18-25歲年齡段顧客的平均購物金額（280元）低于整體平均水平。*購物時(shí)長：大部分顧客（80%）購物時(shí)長在30分鐘至60分鐘之間，平均購物時(shí)長為45分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為15分鐘，表明時(shí)長分布相對(duì)集中。*會(huì)員：超過半數(shù)顧客（60%）是會(huì)員。（解析思路：根據(jù)題目提供的百分比、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差等描述性統(tǒng)計(jì)量，對(duì)顧客的性別、年齡、購物金額、購物時(shí)長分布特征進(jìn)行總結(jié)。使用“略多”、“最多”、“最少”、“高于”、“低于”、“相對(duì)集中”、“有一定離散度”等詞語描述比例、集中趨勢和變異程度。）2.95%置信區(qū)間計(jì)算與解釋：*計(jì)算公式：$(\bar{X}_1-\bar{X}_2)\pmZ_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$*已知：$\bar{X}_1=350$,$s_1=110$,$n_1=60$；$\bar{X}_2=310$,$s_2=130$,$n_2=40$。*查Z表，$Z_{\alpha/2}$(95%置信水平)=1.96。*計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：$\sqrt{\frac{110^2}{60}+\frac{130^2}{40}}=\sqrt{201.67+426.25}=\sqrt{627.92}\approx25.05$。*計(jì)算置信區(qū)間：$(350-310)\pm1.96\times25.05=40\pm49.10$。*結(jié)果：(-9.10,89.10)元。*解釋：我們有95%的置信水平認(rèn)為，該超市總體男性與女性顧客平均購物金額的差異范圍在-9.10元至89.10元之間。（解析思路：這是典型的雙樣本均值差別的區(qū)間估計(jì)問題。首先明確計(jì)算公式。代入題目給定的樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本量。查找對(duì)應(yīng)置信水平的Z值。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤。最后計(jì)算置信區(qū)間的上下限，并清晰解釋該區(qū)間的含義，即包含總體均值差可能的范圍的概率為95%。）3.假設(shè)檢驗(yàn)解釋與關(guān)鍵假設(shè)：*p值含義：如果“不同年齡段的顧客平均購物金額不存在顯著差異”這個(gè)總體情況（原假設(shè)）是真實(shí)的，那么我們觀察到像樣本數(shù)據(jù)中這樣極端（或更極端）的差異，即不同年齡段平均金額差異達(dá)到實(shí)際觀測到的程度或更大的概率是0.03。*判斷：由于p值（0.03）小于常用的顯著性水平（如0.05），管理部門有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)拒絕原假設(shè)，支持“不同年齡段的顧客平均購物金額存在顯著差異”的觀點(diǎn)。*關(guān)鍵假設(shè)：進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（如單因素方差分析）通常需要假設(shè)數(shù)據(jù)來自的總體服從正態(tài)分布，或者樣本量足夠大（通常n>30）可以應(yīng)用中心極限定理使得樣本均值分布近似正態(tài)。（解析思路：首先解釋p值的定義，即假設(shè)原假設(shè)為真時(shí)，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。然后根據(jù)p值與顯著性水平（α）的比較結(jié)果做出統(tǒng)計(jì)推斷（拒絕或保留原假設(shè)）。最后，說明進(jìn)行此類檢驗(yàn)（特別是方差分析）所需滿足的關(guān)鍵統(tǒng)計(jì)假設(shè)條件，如正態(tài)性假設(shè)或樣本量足夠大。）】4.獨(dú)立性檢驗(yàn)解釋與關(guān)鍵假設(shè)：*p值含義：如果“會(huì)員身份與購物金額之間沒有關(guān)聯(lián)”（即兩者獨(dú)立）這個(gè)總體情況是真實(shí)的，那么我們觀察到像樣本數(shù)據(jù)中這樣極端（或更極端）的會(huì)員/非會(huì)員購物金額分布差異，即卡方統(tǒng)計(jì)量達(dá)到實(shí)際觀測到的程度或更大的概率是0.005。*判斷：由于p值（0.005）遠(yuǎn)小于常用的顯著性水平（如0.05），管理部門有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)拒絕“會(huì)員身份與購物金額之間沒有關(guān)聯(lián)”的原假設(shè)，判斷會(huì)員身份對(duì)購物金額有顯著影響（即會(huì)員購物金額顯著高于非會(huì)員）。*關(guān)鍵假設(shè)：進(jìn)行卡方檢驗(yàn)（特別是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量間的獨(dú)立性）需要滿足：1)數(shù)據(jù)是分類數(shù)據(jù)；2)樣本是隨機(jī)抽取的；3)各個(gè)單元格的期望頻數(shù)不宜太?。ㄍǔＲ笏衅谕l數(shù)大于1，且至少5%的單元格期望頻數(shù)大于5）。（解析思路：同樣先解釋p值的含義。然后根據(jù)p值與α的比較結(jié)果做出統(tǒng)計(jì)推斷。最后，說明進(jìn)行卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)所需滿足的關(guān)鍵假設(shè)條件，包括數(shù)據(jù)類型、抽樣方法和期望頻數(shù)要求。）】5.管理建議：*建議一：鑒于會(huì)員顧客的平均購物金額（360元）顯著高于非會(huì)員（290元），應(yīng)考慮實(shí)施更加差異化的會(huì)員激勵(lì)計(jì)劃。例如，為高價(jià)值會(huì)員提供專屬折扣、優(yōu)先購買權(quán)、積分加速或個(gè)性化商品推薦，以進(jìn)一步提升會(huì)員的消費(fèi)金額和忠誠度。*建議二：雖然女性顧客占比（55%）略高于男性，但男性和56歲及以上年齡段顧客的平均購物金額更高?？梢葬槍?duì)這些群體設(shè)計(jì)特定的營銷活動(dòng)或產(chǎn)品組合。例如，針對(duì)高年齡段顧客推出更符合其需求和審美的產(chǎn)品線或服務(wù)；針對(duì)男性顧客可能更關(guān)注性價(jià)比或功能性，設(shè)計(jì)相應(yīng)的促銷策略。同時(shí)，也可以分析不同年齡段顧客的購物偏好，優(yōu)化商品布局和陳列。（解析思路：基于第4問的結(jié)論（會(huì)員身份對(duì)購物金額有顯著影響）和建議性數(shù)據(jù)（不同性別/年齡段的平均金額差異），提出具體的管理建議。建議應(yīng)具有針對(duì)性，直接回應(yīng)數(shù)據(jù)分析中發(fā)現(xiàn)的問題或機(jī)會(huì)。第一條建議聚焦于利用會(huì)員數(shù)據(jù)提升會(huì)員價(jià)值。第二條建議結(jié)合性別和年齡段與金額的關(guān)系，提出細(xì)分市場策略。）】試題二1.差異計(jì)算與調(diào)整判斷：*計(jì)算差異：$|\bar{X}-\mu_0|=|99.8-100|=0.2$克。*判斷：由于計(jì)算出的差異（0.2克）小于設(shè)定的閾值（0.3克），因此根據(jù)此閾值，本周的生產(chǎn)過程不需要調(diào)整。（解析思路：根據(jù)題目描述的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)（絕對(duì)差異超過0.3克視為需要調(diào)整），首先計(jì)算樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)重量之間的絕對(duì)差異。然后將該差異與閾值進(jìn)行比較。如果差異小于閾值，則不滿足需要調(diào)整的條件，結(jié)論是不需要調(diào)整。）】2.假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)：*原假設(shè)（H?）：當(dāng)前生產(chǎn)過程中單個(gè)部件重量的標(biāo)準(zhǔn)差等于穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差，即$\sigma=0.4$克。*備擇假設(shè)（H?）：當(dāng)前生產(chǎn)過程中單個(gè)部件重量的標(biāo)準(zhǔn)差顯著偏離（不等于）穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差，即$\sigma\neq0.4$克。（解析思路：這是一個(gè)關(guān)于總體標(biāo)準(zhǔn)差（$\sigma$）的假設(shè)檢驗(yàn)問題。原假設(shè)（H?）通常表示狀態(tài)沒有變化或沒有差異，即$\sigma=\sigma_0$。備擇假設(shè)（H?）表示存在變化或差異，這里用“不等于”表示偏離，即$\sigma\neq\sigma_0$。注意區(qū)分“顯著偏離”通常對(duì)應(yīng)雙側(cè)檢驗(yàn)。）】3.p值解釋與判斷：*p值含義：如果“當(dāng)前生產(chǎn)過程中單個(gè)部件重量的標(biāo)準(zhǔn)差等于穩(wěn)定時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差”（原假設(shè)）是真實(shí)的，那么我們觀察到像樣本數(shù)據(jù)中這樣極端（或更極端）的標(biāo)準(zhǔn)差（即樣本標(biāo)準(zhǔn)差0.5克），或者更小的標(biāo)準(zhǔn)差，其概率是0.15。*判斷：由于p值（0.15）大于常用的顯著性水平（如0.05），質(zhì)量管理部門沒有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)拒絕原假設(shè)，不能認(rèn)為當(dāng)前生產(chǎn)過程中單個(gè)部件重量的波動(dòng)程度（標(biāo)準(zhǔn)差）顯著偏離了穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差（0.4克）。（解析思路：解釋p值的定義，即假設(shè)原假設(shè)為真時(shí)，觀察到當(dāng)前樣本標(biāo)準(zhǔn)差或更極端（更小或更大）的標(biāo)準(zhǔn)差的概率。然后根據(jù)p值與α的比較結(jié)果做出統(tǒng)計(jì)推斷。由于p>α，不能拒絕原假設(shè)。）】4.中心極限定理應(yīng)用：*關(guān)鍵條件：中心極限定理在本題中應(yīng)用的關(guān)鍵條件是：樣本量足夠大（n=50）。當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，即使總體分布不是正態(tài)分布，樣本均值的分布也近似服從正態(tài)分布。在本題的假設(shè)檢驗(yàn)中，我們關(guān)心的是樣本標(biāo)準(zhǔn)差，但通常關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)差的精確假設(shè)檢驗(yàn)較為復(fù)雜，實(shí)踐中常常通過檢驗(yàn)其平方（方差）來進(jìn)行，而樣本方差的分布（在H?成立時(shí)）也依賴于樣本量的大小，對(duì)于較大的樣本量（n>30），樣本方差的分布會(huì)相對(duì)穩(wěn)定，使得基于樣本方差的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（如卡方統(tǒng)計(jì)量）的計(jì)算和應(yīng)用成為可能。或者，可以理解為雖然檢驗(yàn)的是標(biāo)準(zhǔn)差，但基于樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（如卡方值）的性質(zhì)在較大樣本