2025年統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策方法優(yōu)化與改進試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分）1.某統(tǒng)計模型在預測時表現(xiàn)出嚴重的過擬合現(xiàn)象，以下哪種方法通常不被認為是直接針對此問題進行優(yōu)化的技術(shù)？A.嶺回歸（RidgeRegression）B.Lasso回歸（LassoRegression）C.增加訓練樣本量D.樸素貝葉斯分類器（NaiveBayesClassifier）2.在多目標優(yōu)化問題中，若兩個目標之間存在沖突，難以同時達到最優(yōu)，以下哪種策略通常用于平衡這些目標？A.約束法（Constrainingoneobjective）B.加權(quán)求和法（WeightedSumMethod）C.目標規(guī)劃法（GoalProgramming）D.直接選擇其中一個目標放棄另一個3.動態(tài)規(guī)劃的核心思想是？A.將問題分解為子問題并存儲其解B.不斷迭代嘗試所有可能解C.基于梯度信息尋找最優(yōu)路徑D.使用啟發(fā)式規(guī)則快速逼近最優(yōu)解4.對于一個風險決策問題，若決策者更看重收益的確定性，傾向于選擇期望值最大的方案，這種決策態(tài)度最接近于？A.樂觀主義（Maximax）B.悲觀主義（Maximin）C.等可能主義（Laplace）D.期望效用最大化5.在改進決策樹算法時，增加剪枝規(guī)則的嚴格性主要目的是？A.提高模型的預測精度B.減少模型的復雜度，避免過擬合C.加快模型的訓練速度D.增加模型的解釋能力二、簡答題（每題8分，共32分）6.簡述嶺回歸（RidgeRegression）的基本思想及其如何解決線性回歸中的多重共線性問題。7.解釋什么是啟發(fā)式算法（HeuristicAlgorithm），并舉例說明其在解決優(yōu)化問題（不同于精確算法）中的應用。8.在貝葉斯決策理論中，決策規(guī)則“最小化期望損失”是如何定義的？請寫出其數(shù)學表達式。9.描述一種改進時間序列預測方法的具體思路，并說明這種改進針對了時間序列預測中的哪些常見挑戰(zhàn)。三、計算分析題（共33分）10.（15分）考慮一個簡單的線性規(guī)劃問題：MaximizeZ=3x1+5x2Subjectto:x1+x2≤42x1+x2≤6x1,x2≥0假設通過分析發(fā)現(xiàn)，決策變量x1對目標函數(shù)的貢獻相對x2較小。請嘗試運用加權(quán)求和法（WeightedSumMethod）的思想，構(gòu)建一個改進的目標函數(shù)，以期在滿足約束條件的同時，使“相對重要性”得到體現(xiàn)。請寫出新的目標函數(shù)，并簡要說明理由。11.（18分）某公司需要決定是否投資兩個項目A和B。投資決策依賴于市場狀況（好、中、差），各市場狀況發(fā)生的概率以及各項目在不同狀況下的收益（單位：百萬元）如下表所示（表中負值表示損失）：|市場狀況|項目A收益|項目B收益||:-------|:--------|:--------||好|15|20||中|5|-5||差|-10|-2|該公司決策者風險規(guī)避，采用期望值法進行決策，但考慮到市場預測存在不確定性，希望有一個備選方案。請：(1)計算項目A和項目B的期望收益，并基于此做出初步?jīng)Q策。(2)計算該決策的期望損失（或后悔值），并解釋其含義。(3)假設公司管理層決定采用樂觀系數(shù)α=0.7的折衷主義決策規(guī)則，請分別計算項目A和B的折衷收益，并做出決策。(4)簡要說明折衷主義決策規(guī)則與期望值法、悲觀主義決策規(guī)則的主要區(qū)別。試卷答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.D2.B3.A4.B5.B二、簡答題（每題8分，共32分）6.嶺回歸通過在目標函數(shù)（最小化殘差平方和）中添加一個懲罰項（λ*x1'^2，其中x1'是系數(shù)向量），對回歸系數(shù)的大小進行收縮，使其趨向于零。這種懲罰可以緩解多重共線性問題，即當自變量之間高度相關(guān)時，普通最小二乘法（OLS）估計量會變得不穩(wěn)定且方差增大。通過控制系數(shù)的大小，嶺回歸可以獲得更穩(wěn)定、更泛化的模型，盡管會犧牲一些無偏性，但在預測精度上往往優(yōu)于普通最小二乘法。7.啟發(fā)式算法是設計用來在可接受的時間內(nèi)找到問題近似最優(yōu)解或最優(yōu)解的一種算法，它通常不保證找到全局最優(yōu)解，但能以較低的計算成本提供足夠好的解。其基本思想是基于經(jīng)驗或直覺規(guī)則來指導搜索過程。例如，在旅行商問題（TSP）中，貪心算法（GreedyAlgorithm）就是一種啟發(fā)式算法，每次選擇距離當前位置最近且未訪問過的城市作為下一個訪問點，雖然能快速得到一個可行解，但不一定是總路徑最短。8.貝葉斯決策理論中的“最小化期望損失”決策規(guī)則，是指選擇能夠使決策者面臨的期望損失（ExpectedLoss或ExpectedCost）最小的行動方案。其數(shù)學表達式為：選擇行動a_i使得J(a_i)=minJ(a_i)，其中J(a_i)=Σ[L(d_k,a_i)*P(d_k|a_i)]，L(d_k,a_i)是當狀態(tài)為d_k而采取行動a_i時的損失（或代價），P(d_k|a_i)是在采取行動a_i后狀態(tài)為d_k的條件概率。9.一種改進時間序列預測方法的思路是引入外部信息（ExogenousVariables）作為預測模型的輸入。許多傳統(tǒng)時間序列模型（如ARIMA）僅依賴于歷史序列自身的信息。然而，實際時間序列往往受到其他相關(guān)因素的影響。例如，預測銷售額時，促銷活動、節(jié)假日、競爭對手價格變動等外部因素都可能顯著影響銷售額。通過將這些相關(guān)的外部變量納入模型（如ARIMAX模型），可以使預測模型更全面、更準確，從而改進預測效果，尤其能更好地捕捉由于外部沖擊引起的波動。三、計算分析題（共33分）10.新的目標函數(shù)可以設為：MaximizeZ'=w1*(3x1+5x2)+w2*(x1+x2)其中，w1和w2是權(quán)重，且w1>w2>0。例如，可以設w1=2,w2=1，則新的目標函數(shù)為MaximizeZ'=2*(3x1+5x2)+1*(x1+x2)=7x1+11x2。理由：通過增大x1在總目標中的“比重”，使得在滿足相同約束條件下，x1的增加對目標函數(shù)值的貢獻更大，從而體現(xiàn)了x1的相對重要性。加權(quán)求和法提供了一種將多個目標或不同重要性的單一目標融合起來的方式。11.(1)期望收益計算：E(A)=0.3*15+0.5*5+0.2*(-10)=4.5+2.5-2=5百萬元E(B)=0.3*20+0.5*(-5)+0.2*(-2)=6-2.5-0.4=3.1百萬元基于期望值，項目A的期望收益更高，初步?jīng)Q策應選擇項目A。(2)期望損失（用后悔值法計算損失矩陣L(d_k,a_i)=max[R(d_k,a_i)]-R(d_k,a_i)）：收益矩陣R：|市場狀況|項目A|項目B||:-------|:----|:----||好|15|20||中|5|-5||差|-10|-2|損失矩陣L：|市場狀況|項目A|項目B||:-------|:----|:----||好|0|5||中|0|10||差|12|8|期望損失計算：EL(A)=0.3*0+0.5*0+0.2*12=2.4百萬元EL(B)=0.3*5+0.5*10+0.2*8=1.5+5+1.6=8.1百萬元該決策（選擇A）的期望損失為2.4百萬元。期望損失代表了在長期重復決策中，因未選擇最優(yōu)行動而造成的平均額外損失。(3)折衷收益計算：對于項目A：好狀態(tài)收益為max(15,5)=15；中狀態(tài)收益為max(5,-5)=5；差狀態(tài)收益為max(-10,-2)=-2。折衷收益=α*15+(1-α)*(-2)=0.7*15+0.3*(-2)=10.5-0.6=9.9百萬元。對于項目B：好狀態(tài)收益為max(20,-5)=20；中狀態(tài)收益為max(5,-5)=5；差狀態(tài)收益為max(-10,-2)=-2。折衷收益=α*20+(1-α)*(-2)=0.7*20+0.3*(-2)=14-0.6=13.4百萬元。