專題4.6平面向量的數量積及其應用【新高考專用】題型一題型一平面向量的數量積1．（2024·河南周口·模擬預測）已知△ABC中，AC=22，∠C=π4，AD為BC上的高，垂足為D，點E為AB上一點，且AE=2EB，則ADA．?43 B．43 C．?【解題思路】利用向量的線性關系及數量積的運算律得CE?【解答過程】如圖所示，由題意可知，AC=22，∠ADC=π2，∠ACD=因為AE=2EB，所以CE=則CE=1故選：A.2．（2024·山西太原·一模）在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，設點D為AC的中點，E在BC上，且AE?BD=0A．16 B．12 C．8 D．?4【解題思路】以B為原點，建立如圖坐標系，結合向量的坐標運算即可.【解答過程】因為在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，以則A4,0，B0,0，C0,6，D2,3，設E0,b，則由題意可知AE?BD=0.即?4,b?2,3所以E0,83，∴故選：A.3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知?ABCD在平面直角坐標系中，AB=4,2?11．【解題思路】根據四邊形ABCD是平行四邊形，利用向量加減法的三角形法則及坐標運算即可求解.【解答過程】

因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AC=BD=所以AC?故答案為：?11.4．（2024·四川南充·模擬預測）已知點O是△ABC的重心，OA=2，OB=3，OC=3，則OA?OB+OA【解題思路】根據三角形重心的性質可得OA+【解答過程】由于點O是△ABC的重心，故OA+故OA+即OA2故OA=?1故答案為：?11.題型二題型二平面向量的夾角問題5．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知向量a=0,1,b=x,1且b?2A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】根據題意得b?2a?【解答過程】因為a=0,1,又b?2a⊥則x2?1=0，解得x=±1，則所以cosa又a,b∈故選：B.6．（2024·河北石家莊·模擬預測）已知平面向量a,b滿足a?(a?b)=2，且aA．π6 B．2π3 C．π【解題思路】根據數量積的運算及夾角公式得解.【解答過程】因為a=1，b所以a?(a?所以cosa所以a,故選：B.7．（2024·甘肅蘭州·一模）等邊三角形ABC中，點D是AC的中點，點E是BC上靠近點C的三等分點，cosAE,BD=【解題思路】建立平面直角坐標系，利用平面向量的數量積公式求解.【解答過程】以BC邊所在的直線為x軸，過點B且與BC垂直的直線為y軸，設等邊三角形的邊長為a，則B0,0，E23a,0，即AE=16∴cosAE故答案為：?21

8．（2024·上海·模擬預測）已知向量a，b，c滿足a=b=1，c=45【解題思路】根據已知條件依次求出a·b=0、a·c=?1、b·【解答過程】由題a+b=?c，故?1+1+2a·ba+c=?b，故?1+2+2a·cb+c=?a，故?1+2+2b·c所以a?且a?c=所以cosa故答案為：45題型三題型三平面向量的模長9．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知向量a，b滿足a=1，b=3，且a與b的夾角為5π6A．12 B．13 C．1 【解題思路】根據2a【解答過程】根據題意，a?則2a故選：B.10．（2024·浙江嘉興·模擬預測）等邊△ABC的邊長為3，若AD=2DC，BF=FD，則A．192 B．172 C．152【解題思路】取BC中點O，建立直角坐標系，得到AF=【解答過程】如圖，取BC中點O，建立直角坐標系，則A0,由AD=2DC，若D(x,y)，則所以(x,y?332由BF=FD，若F(m,n)，則所以(m+32,n)=(所以AF=?1故選：A.11．（2024·浙江溫州·二模）平面向量a,b滿足a=2,1，a∥b，a【解題思路】根據題意，設向量b=x,y，由向量共線以及數量積的結果列出方程，即可得到【解答過程】設向量b=x,y，由a∥又a?b=?解得x=?2105，y=?所以b=故答案為：2.12．（2024·湖南長沙·三模）平面向量a,b,c滿足：a⊥c，a,b=π3，b【解題思路】結合數量積的定義和性質求出a?c、a?b和【解答過程】因為a⊥c，所以因為a=c=3，b=2，所以a?b?因為a+a+所以a+故答案為：33題型四題型四平面向量的垂直問題13．（2024·重慶·模擬預測）已知|a|=1,|b|=2，且a與b不共線，若向量a+kb與A．?12 B．12 C．±【解題思路】依題意可得a+k【解答過程】因為向量a+kb與所以a+kb?即12?k故選：C.14．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）已知向量a=m,?1,b=4,mA．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】根據題意，結合向量垂直的坐標表示，列出方程，即可求解.【解答過程】由向量a=m,?1,因為a⊥a+b，可得故選：C.15．（2024·山西晉中·模擬預測）已知向量a=1,3，b=3,4，若a?λb【解題思路】由向量垂直可得其數量積為0，再借助向量數量積公式計算即可得.【解答過程】a?λ由a?λb⊥b，則有故答案為：3516．（2024·四川·模擬預測）已知向量a=1,2，b=?2,3，c→=t,1，若a+【解題思路】首先求出a+c、c?【解答過程】因為a=1,2，b=所以a+c=因為a+c⊥c?解得t=1或t=?4.故答案為：1或?4.題型五題型五平面向量的投影17．（2024·四川成都·模擬預測）已知平面向量a=?1,3，b=?3,1A．?3,0 B．?32,32 【解題思路】利用投影向量的定義,求解即可.【解答過程】依題意，a?b=所以a在b上的投影向量為a?故選：B.18．（2024·云南曲靖·二模）已知O是△ABC的外心，AB+AC=2AO，OA=AB，則向量A．?14BC B．?24BC【解題思路】依題意可知O是BC的中點，從而得到∠BAC=90°，∠ACB=30°，解法一：過點A作AD⊥BC，垂足為D，即可得到CD=34BC，結合投影向量的定義即可得解；解法二：設BC【解答過程】由AB+AC=2AO，所以O是BC的中點，又則∠BAC=90°，再由OA=則△ABO為正三角形，∠ACB=30角度一：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，則BD=12BO=所以向量AC在向量BC上的投影向量等于DC=角度二：設BC=2，則AB=1，所以所以向量AC在向量BC上的投影向量等于AC?故選：C.19．（2024·廣東肇慶·一模）已知單位向量a，b滿足a+b=a?b，則向量【解題思路】由a+b=【解答過程】因為單位向量a，b滿足a+可得：a+b則a?則向量a+b在向量b上的投影向量的模為故答案為：1.20．（2024·河北張家口·三模）已知向量a=(2,1),b=(2,0),c=a+λ?12【解題思路】根據向量垂直的坐標表示求出c，然后由投影向量公式可得.【解答過程】因為a=(2,1),b=(2,0)又a⊥c，所以22+2λ+1=0因為c?bb2=?14故答案為：?1題型六題型六坐標法解決向量數量積問題21．（2024·四川綿陽·模擬預測）某公園設計的一個圓形健身區(qū)域如圖所示，其中心部分為一個等邊三角形廣場，分別以等邊三角形的三條邊作為正方形的一條邊構造三個正方形區(qū)域用于放置健身器材，其中每個正方形有兩個頂點恰好在圓上．若AB=2a，則BD?CE=A．?4(2+3)a2 B．?2(2+3)【解題思路】建立平面直角坐標系，利用坐標法計算數量積.【解答過程】如圖，以B為坐標原點建立平面直角坐標系，則B0,0，E0,?2a，又∠BCD=60°+90°=150°，所以∠DCx=30°，則D2a+所以BD=2a+3所以BD?故選：C.22．（2024·四川綿陽·模擬預測）如下圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊B3C3上有10個不同的點P1，P2，…，P10，記A．18 B．180 C．?18 D．?180【解題思路】建立坐標系，求出直線B3【解答過程】以A為坐標原點，AC1所在直線為則B1(1,3)，B2(3,3)，設Pi(xi,yi)，則Mi所以M1故選：B.23．（2024·山東德州·模擬預測）在△ABC中，AB=AC=1,AD=DB,CD?CA=1AB【解題思路】建立平面直角坐標系，利用數量積的坐標運算求解.【解答過程】由題設，可建立如圖所示平面直角坐標系：則A0,22，B?2設Mx,y，則MA=?x,22則MB+所以MA?當x=0，y=24時，取得最小值故答案為：?124．（2024·全國·一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一．在2022年虎年新春來臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_到裝點環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構成的剪紙窗花（如左圖）．已知正方形ABCD的邊長為4，中心為O，四個半圓的圓心均在正方形ABCD各邊的中點（如右圖）．若點P在四個半圓的圓弧上運動，則AC?OP的取值范圍是?8?8【解題思路】根據題意建立平面直角坐標系，利用坐標系表示向量，寫出OP?AC的解析式，再求【解答過程】以O原點，OC為x軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示.因為正方形ABCD的邊長為4，所以AC=BD=42則A?22,0、C設AD的中點為E，則E?2,2，因為P是半圓E上的動點，設點P?則OP=?2+2cos所以，OP?由對稱性可知，當點P在第三象限的半圓弧上運動時（包含點A、B），OP?當點P在第一象限的半圓弧上運動時（包含點C、D），CD的中點為2,2，半圓的半徑為可設點P2+2cosθ,2OP=2+2同理可知，當點P在第四象限內的半圓弧上運動時（包含點B、C），OP?綜上可知，OP?AC的取值范圍是故答案為：?8?82題型七題型七

向量在物理中的應用25．（23-24高一下·安徽·期中）平面上三個力F1,F2,F3作用于一點且處于平衡狀態(tài).|F1?=1A．1N B．3N C．5N 【解題思路】根據已知條件，推得F3【解答過程】平面上三個力F1,F|F1|=1N，|F故|F故選：A.26．（23-24高一下·河北·期中）在水流速度10km/h的自西向東的河中，如果要使船以10A．北偏西30°，20B．北偏西60°，10C．北偏東30°，10D．北偏東60°，20【解題思路】根據題意，作出圖形，借助于直角三角形求出OC的模和∠BOC即得.【解答過程】

如圖，船從點O出發(fā)，沿OC方向行駛才能使船垂直到達對岸，依題意，OA⊥OB，則|OC|=|因為∠BOC為銳角，故∠BOC=30°，故船以20km/h的速度，以北偏西30°故選:A.27．（2024·全國·模擬預測）如圖，某物體作用于同一點O的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3使物體處于平衡狀態(tài)，已知F1=1N，F(xiàn)2=2N，F(xiàn)【解題思路】根據三力平衡得到F1→+【解答過程】由題意知三力平衡得F1→+兩邊同平方得F1→2即12+2×1×2×?故答案為：3N28．（2024·內蒙古赤峰·三模）如圖所示，把一個物體放在傾斜角為30°的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力G，垂直斜面向上的彈力F1，沿著斜面向上的摩擦力F2.已知：|F1|=803【解題思路】物體處于平衡狀態(tài)，則重力G沿斜面上的分量與F2【解答過程】由題設，|F故答案為：80N.題型八題型八

向量數量積與解三角形綜合29．（23-24高一下·陜西咸陽·期中）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a2+c2?b2A．3 B．?3 C．2 D．【解題思路】由余弦定理求出cosB【解答過程】因為a2由余弦定理得cosB=a所以BA?故選：C.30．（2024·福建泉州·模擬預測）已知平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=4，B=2π3，若以C為圓心的圓與對角線BD相切，P是圓C上的一點，則BDA．8?23 B．4+23 C．12?43【解題思路】根據題意做出圖形，結合平面向量數量積的運算法則整理計算即可求得最終結果【解答過程】如圖所示，過C作BD的平行線交圓C于點P，過P作PH⊥BD，垂足為H，在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=4，B=2可得A=π3，AD=BC=4，則由余弦定理可得由AB2+BD2則DH=CP=CD=2，因為BD→則BD→·BP即BD→·CP故選：C.31．（2024·西藏拉薩·二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD,AB=AD=23,BC=CD=22，則AB?【解題思路】根據余弦定理求得AC的長，再根據向量積運算即可求解.【解答過程】由題意知，△ABC全等△ACD,且AB⊥AD，可知∠CAB=45根據余弦定理可知A代入可解得AC=6+根據正弦定理得sin∠CABBC=如圖可知∠ACB=60°，所以根據大邊對大角，所以AC=6?2所以AB?故答案為：6+2332．（2024·湖北襄陽·模擬預測）在△ABC中，AB=AC，點D在線段BC上，AB⊥AD，BD=3，CD=1，點M是△ABC外接圓上任意一點，則AB?AM最大值為3+3【解題思路】根據題中條件，結合勾股定理、余弦定理，可得AD=3，AB=AC=6，由正弦定理，可得△ABC外接圓半徑，根據向量的線性運算法則，結合數量積公式，可得【解答過程】由題意可得：AB2=AD所以9?AD解得AD=3，則AB=AC=設△ABC的外心為O，外接圓的半徑為R，由正弦定理得：2R=ACsin∠ABC可得cos∠BAO=由平面向量的線性運算知，AM=所以AB?由圖可知：AB?當OM//AB且同向時，所以AB?AM最大值為故答案為：3+33一、單選題1．（2024·浙江寧波·一模）向量a，b滿足a=b=1，a⊥bA．3 B．7 C．10 D．13【解題思路】利用a2【解答過程】因為a⊥b?因為a?3b2=a故選：C.2．（2024·山東青島·二模）已知向量a=(?1,2),b=(?3,1)，則a在bA．?32,12 B．?1【解題思路】根據投影向量的公式求解.【解答過程】根據題意，a在b上的投影向量為：a?故選：A.3．（2024·四川成都·模擬預測）設向量a，b滿足a?b⊥a+2b，且A．?16 B．?38 C．【解題思路】根據(a?b)⊥a+2b【解答過程】∵向量a,b滿足∴a→?∴a∴cos故選：A.4．（23-24高三上·廣東汕頭·期末）設a表示向東走了10km，b表示向南走了5km，則a+2b所表示的意義為（A．向東南走了102km B．向西南走了10C．向東南走了56km D．向西南走了5【解題思路】由向量加法的幾何意義以及勾股定理即可求解.【解答過程】a+2a+2b所表示的意義為向東南走了故選：A.5．（2024·廣東·模擬預測）已知向量a=x+3,4,b=x,?1，若A．4 B．?4或1 C．?1 D．4或?1【解題思路】將a+b=【解答過程】將a+b=由a=x+3,4,即x2+3x?4=0，解得故選：B.6．（2024·廣東佛山·一模）已知單位向量a，b滿足a+b=1A．a,b=C．向量a+b在向量a上的投影向量為32【解題思路】根據數量積的運算律求出a?b，即可求出a,b，從而判斷A，再根據【解答過程】單位向量a，b滿足a+則a+b2所以cosa,b=aa?因為a+所以向量a+b在向量a上的投影向量為因為b?a+故選：D.7．（2024·湖南·模擬預測）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=π3,AB=AD=2，若M,N分別是邊AD，BC上的動點，滿足AM=λAD,BN=1?λ

A．1 B．3 C．13 D．【解題思路】建立平面直角坐標系，寫出相應點的坐標，設M(x，y)，由題意中等式得到Mλ?2,3λ，N(0【解答過程】建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可得A?2,0設M(x，y)，由AM=λAD，即x+2,y=λ故Mλ?2,3λ，同理可得N(0據此可得AN=則AN?BM=2由于λ∈0,1，故λ=故選：D.

8．（2024·內蒙古赤峰·二模）如圖，邊長為4的等邊△ABC，動點P在以BC為直徑的半圓上.若AP=λAB+μAC,A．152 B．121 C．【解題思路】建立平面直角坐標系，可得半圓弧BC的方程為：x2+y2=4(y≤0)，然后設P(m,n)【解答過程】根據題意，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，如圖所示：則A0,23,B?2,0,C設P(m,n)，則AP=m,n?23由AP=λm=?2λ+2μn?23=?2由m2+n2=4(n≤0)可得λ+=?1由π≤θ≤2π，得則?1≤sin得12得λ+12故選：D.二、多選題9．（2024·陜西咸陽·模擬預測）下列關于平面向量的說法正確的是（

）A．已知點A，B，C是直線l上三個不同的點，O為直線l外一點，且OC=xOAB．已知向量a=1,2,bC．已知點G為△ABC三條邊的中線的交點，則GAD．已知AB=23,2,【解題思路】根據平面向量共線的性質，結合平面向量夾角坐標公式、三角形重心的性質、投影向量的定義逐一判斷即可.【解答過程】A：因為點A,B,C是直線l上三個不同的點，O為直線l外一點，且OC=x所以有x+0.4=1?x=0.6，A正確；B：a+λb=1+λ,2+λ，當a與此時a與a+λb的夾角為零，而C：設BC邊上的中線為AD，于是GA+因為點G為△ABC三條邊的中線的交點，所以點G是三角形的重心，因此有GA=2GD，于是有GA+D：因為AB=(2所以AB在AC上的投影向量的坐標為：AB?故選：ACD.10．（2024·新疆·三模）已知點O0,0，A2,1，B1,2，PA．若α=π2，則AB⊥BP C．若AB?OP=?15，sin【解題思路】對于A，當α=π2時，計算AB?BP=0即可；對于B，由AB//OP，即存在實數λ，使得AB=λOP【解答過程】由題意可知，AB=(?1,1)對于A，當α=π2時，P(0,1)，所以即AB?BP=1?1=0對于B，因為AB//所以存在實數λ，使得AB=λOP，即解得tanα=?1，故α=3π對于C，因為AB?所以(?cosα+sin對于D，因為AP=(所以|=6?25sin所以當sin(α+φ)=?1時，|故選：ACD.11．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點P是△DEF內部（包括邊界）的動點，則（

）A．DEB．ACC．若P為EF的中點，則CP在EC上的投影向量為?D．FE+FP【解題思路】對于A：根據正六邊形的性質結合向量的線性運算求解；對于C：根據CE⊥EF結合投影向量的定義分析判斷；對于BD：建系，根據向量的坐標運算求解.【解答過程】對于選項A：因為DE=對于選項C：由題意可知：CE⊥EF，若P為EF的中點，所以CP在EC上的投影向量為?EC對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標系，則A?可得AC=32設Px,y，可知?1≤x≤則FE=12則FE+可知當x=12,y=32，即點P與點D故選：AD.三、填空題12．（2024·四川德陽·模擬預測）已知向量a，b的模分別為2，1，且a?b=3，則a【解題思路】由已知可得2a·b【解答過程】由a?b=3，得a?所以22?2a所以a+故答案為：7.13．（2024·四川內江·一模）在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，BC=6，∠ABC=60°，點E在邊AD上，DE=2AE，BE與AC相交于點M，則∠EMC的余弦值為217【解題思路】以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，利用平面向量數量積的坐標運算可得出cos∠EMC=【解答過程】以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，BC=6，∠ABC=60°，點E在邊AD上，DE=2AE，則B0,0、A1,3、C6,0、E3,所以，cos∠EMC=故答案為：21714．（2024·天津·二模）已知菱形ABCD邊長為1，且AB?AD=?12,E為線段AD的中點，若F在線段CE上，且BF=λBA+56BC，則λ=13，點G為線段AC上的動點，過點G作BC的平行線交邊AB于點M，過點M【解題思路】建立適當平面直角坐標系，由題意可得各點坐標，從而可得所需向量的坐標表示，結合向量共線的坐標表示可得λ，借助向量的數量積公式計算即可得MG+【解答過程】如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，則有A0,0、B

由AB?AD=?則D?12,3則BA=?1,0，BC=即BF=?λ?5則CF=?λ+1又F在線段CE上，故有?λ+1解得λ=13，即BF=設AG=μAC，則G12μ,32由MN⊥BC，∠DAB=120°，則∠ABC=60°，則∠NMB=30°，則MN=32BM=則MG=?12μ,則MG====5則當μ=310時，MG+故答案為：13；31四、解答題15．（2024·四川德陽·一模）平面向量e1，e2(1)若b在a上的投影向量恰為a的相反向量，求實數t的值；(2)若a,b為鈍角，求實數【解題思路】（1）根據投影向量的定義及數量積的運算律求解即可；（2）結合利用向量夾角的余弦與數量積的定義，及向量共線的表示求解即可.【解答過程】（1）由題意得a?則a?b|因為e1=e所以a?|a所以2t=?1+t2（2）由（1）知，a?因為a,b為鈍角，所以a?若a,b共線，設a則1=λtt=λ，解得λ=t=1或λ=t=?1要使a,b為鈍角，則t<0且即實數t的取值范圍為?∞16．（2024·天津河北·模擬預測）已知向量a=3,4，b=(1)若a⊥b，求(2)若c∥a?2b，求向量【解題思路】（1）根據向量垂直的坐標表示求x，再代入模的公式，即可求解；（2）首先根據兩向量平行求x，再代入向量夾角的余弦公式，即可求解.【解答過程】（1）由a⊥b，得3