專(zhuān)題32一類(lèi)與斜率和、差、商、積問(wèn)題的探究【方法技巧與總結(jié)】1、已知是橢圓上的定點(diǎn)，直線（不過(guò)點(diǎn)）與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則直線斜率為定值．2、已知是雙曲線上的定點(diǎn)，直線（不過(guò)點(diǎn)）與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，直線斜率為定值．3、已知是拋物線上的定點(diǎn)，直線（不過(guò)點(diǎn)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線斜率為定值．4、為橢圓上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)．（1）若，則直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若，則直線過(guò)定點(diǎn)．5、設(shè)是直角坐標(biāo)平面內(nèi)不同于原點(diǎn)的一定點(diǎn)，過(guò)作兩條直線，交橢圓于、、、，直線，的斜率分別為，，弦，的中點(diǎn)記為，．（1）若，則直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若，則直線過(guò)定點(diǎn)．6、過(guò)拋物線上任一點(diǎn)引兩條弦，，直線，斜率存在，分別記為，即，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【題型歸納目錄】題型一：斜率和問(wèn)題題型二：斜率差問(wèn)題題型三：斜率積問(wèn)題題型四：斜率商問(wèn)題【典例例題】題型一：斜率和問(wèn)題例1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大1．(1)求動(dòng)點(diǎn)所在的曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值；例2．（2022·四川省南充高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左，右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．例3．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，是它與定點(diǎn)的距離的兩倍.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，（直線不與軸垂直）.其中，直線交曲線于，兩點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，若直線，，的斜率，，構(gòu)成等差數(shù)列，求的值.變式1．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線的方程；(2)、是拋物線上異于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線和直線的斜率分別為、，若，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．變式2．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，軸，且過(guò)兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線交橢圓于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長(zhǎng)為定值，并求出定值.變式3．（2022·遼寧·模擬預(yù)測(cè)（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作兩條不同的直線，分別交橢圓于另一點(diǎn)和（異于），若直線、的斜率之和為，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).變式4．（2022·廣西·桂平市第五中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限.若，，求直線的方程；若，點(diǎn)為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，求證：直線，，的斜率成等差數(shù)列.變式5．（2022·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為，，且左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.變式6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)（異于）.當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)）時(shí)，恰好為的中點(diǎn).(1)求的離心率；(2)若，直線與交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：是定值.變式7．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線和點(diǎn).(1)斜率為且過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求最小時(shí)的值.(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若曲線上存在定點(diǎn)，使為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值.變式8．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)分別作直線，交橢圓于A，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線，的斜率分別為，，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．題型二：斜率差問(wèn)題例4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓C：的離心率，．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．例5．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)M在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)點(diǎn)Q為圓上一點(diǎn)，由Q向C引切線，切點(diǎn)分別為S、T,記分別為切線QS，QT的斜率，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.例6．（2022·四川綿陽(yáng)·高三期末（文））設(shè)、為拋物線上的兩點(diǎn)，與的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線的斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)，、為拋物線（除原點(diǎn)外）上的不同兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為，，且滿足，記拋物線在、處的切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)、的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，求點(diǎn)的坐標(biāo).變式9．（2022·江西·南昌二中高三階段練習(xí)（文））如圖,已知拋物線C頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在Y軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn).（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若點(diǎn)P,Q在拋物線C上,且拋物線C在點(diǎn)P,Q處的切線交于點(diǎn)S,記直線MP,MQ的斜率分別為k1，k2,且滿足,當(dāng)P,Q在C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PQS的面積是否為定值？若是，求出△PQS的面積；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式10．（2022·江蘇南通·高三期末）如圖，已知橢圓C：的離心率為，右準(zhǔn)線方程為，A，B分別是橢圓C的左，右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k＞0)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記△AFM，△BFN的面積分別為S1，S2，若，求k的值；（3）設(shè)線段MN的中點(diǎn)為D，直線OD與右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)E，記直線AM，BN，F(xiàn)E的斜率分別為k1，k2，，求k2·(k1－)的值．題型三：斜率積問(wèn)題例7．（2022·河南安陽(yáng)·高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點(diǎn)都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.例8．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線與的斜率均存在，分別記為，若，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.例9．（2022·江蘇南京·高三階段練習(xí)）已知雙曲線：的焦距為4，且過(guò)點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)分別作斜率為的兩直線與，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，設(shè)分別為與的中點(diǎn)，若，試求與的面積之比.變式11．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為其左頂點(diǎn)，且的斜率為.(1)求的方程；(2)為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，，為垂足，求的最大值.變式12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，設(shè)橢圓M：的左頂點(diǎn)為A，中心為O，若橢圓M過(guò)點(diǎn)，且AP⊥OP．(1)求橢圓M的方程；(2)若△APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上，試求△APQ面積的最大值；(3)過(guò)點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交橢圓M于D，E兩點(diǎn)，且k1k2＝1，求證：直線DE過(guò)定點(diǎn)．變式13．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，離心率為為橢圓的任意內(nèi)接三角形，點(diǎn)為的外心.(1)求的方程；(2)記直線的斜率分別為，且斜率均存在.求證：.變式14．（2022·山西長(zhǎng)治·高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓：（）上，且點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說(shuō)明理由．變式15．（2022·湖南永州·一模）點(diǎn)在雙曲線上，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），分別表示直線的斜率，滿足，求證：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).變式16．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，分別是的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn).點(diǎn)在上，滿足.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不重合）交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.變式17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，.（1）求橢圓的方程；（2）是上異于的兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，證明：兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).變式18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接，分別交直線于，兩點(diǎn)，若直線、的斜率分別為、，試問(wèn)：是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型四：斜率商問(wèn)題例10．（2022·湖南衡陽(yáng)·三模（文））如圖，已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得弦的長(zhǎng)為4.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）已知，過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，直線，分別與軌跡交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，試問(wèn)是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.例11．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則有旋轉(zhuǎn)變換公式．已知曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到曲線．(1)求曲線的方程；(2)，為曲線右支上任意兩點(diǎn)，且直線過(guò)曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)分別與曲線交于兩點(diǎn)．設(shè)直線和的斜率都存在，分別為與，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？例12．（2022·四川瀘州·二模（理））已知橢圓C：的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且，橢圓C過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率不為0的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，若直線BM的斜率是直線AN斜率的兩倍，探究直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式19．（2022·陜西·漢中市龍崗學(xué)校高三階段練習(xí)（理））已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于點(diǎn)、，直線與直線交于點(diǎn)．記、、的斜率分別為、、，是否存在實(shí)數(shù)，使得？變式20．（2022·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高三階段練習(xí)）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，焦距為，點(diǎn)M為橢圓上位于x軸上方的一點(diǎn)，，且的面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).變式21．（2022·北京市第四十四中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線的方程；(2)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足軸，軸，試求直線的斜率與直線的斜率的比值.變式22．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在一張紙上有一個(gè)圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使圓上某一點(diǎn)好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為．(1)求證：為定值，并求出點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)，為曲線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．變式23．（2022·江蘇省泰興中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線．，為C上兩點(diǎn)，且，分別在第一、四象限．直線與x正半軸交于，與y負(fù)半軸交于．(1)若，求橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)記的重心為G，直線，的斜率分別為，，且．若，證明：λ為定值．變式24．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）在一張紙上有一個(gè)圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使