/山東省泰安肥城市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)學(xué)情診斷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的虛部是A．B．C．D．2.設(shè)全集，，則集合等于A．B．C．D．3.已知雙曲線的實(shí)半軸長為，焦距為，則的離心率為A．B．C．D．4.已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為A．B．C．D．5.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為A．B．C．D．6.如圖，飛機(jī)飛行中的地面速度（GS）是指飛機(jī)相對于地面的實(shí)際速度，由飛機(jī)相對于周圍空氣的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度（TAS）向量加減風(fēng)速（WS）向量得出，其中風(fēng)速順風(fēng)為正，逆風(fēng)為負(fù)，DA為偏流角.已知某飛機(jī)逆風(fēng)飛行，在某時(shí)刻測得風(fēng)速對應(yīng)向量為，地面速度對應(yīng)的向量為，則飛機(jī)在該時(shí)刻的實(shí)際飛行速度（單位：）為（參考數(shù)據(jù)：，，）A．B．C．D．7.已知圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是A．B．C．D．8.已知，則，，的大小關(guān)系不可能為A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。ABCDA1ABCDA1B1C1D1A．//平面B．C．平面D．異面直線與所成的角為10.斜率為的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，直線，的斜率分別為，.設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)，則A.B.C.???四點(diǎn)共圓D.面積的最大值為411.已知的面積為，若，，則A．B．C．D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若直線是曲線的切線，則▲.13.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的公比▲.14.袋子里有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從袋子里隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出的是紅球則放回袋子，若取出的是白球則不放回袋子.記為取了次后白球恰好全部取出的概率，則▲.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）為了解南、北方消費(fèi)者對新能源汽車的認(rèn)可度，隨機(jī)對南、北方共500位消費(fèi)者進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：對新能源汽車的認(rèn)可度合計(jì)認(rèn)可不認(rèn)可南方消費(fèi)者150150300北方消費(fèi)者75125合計(jì)225500（1）求，；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為南、北方消費(fèi)者對新能源汽車的認(rèn)可度有差異？0.0050.0100.0013.8416.63510.828（3）記南、北方消費(fèi)者中對新能源汽車認(rèn)可的概率分別為，給出的估計(jì)值，并根據(jù)求4位消費(fèi)者（2位南方消費(fèi)者和2位北方消費(fèi)者）中認(rèn)可新能源汽車的人數(shù)的分布列與期望.附：16.（15分）已知數(shù)列中，，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）給定正整數(shù)，設(shè)函數(shù)，求.17.（15分）在直三棱柱中，，，.（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，，，均在球的球面上.（i）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（ii）求直線與平面所成角的大小.18.（17分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且求的方程；過且不與軸重合的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，與直線交于點(diǎn)，過且平行于的直線與直線交于點(diǎn).（ⅰ）若，求的面積；（ⅱ）證明：存在定點(diǎn)，使得.19.（17分）（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）已知函數(shù)，.記：，使得對，都有；：，使得對，都有.（ⅰ）證明：是的充要條件；（ⅱ）若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.高三數(shù)學(xué)參考答案及評分意見一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．題號12345678答案BCCADBAD1.答案：B解析：，虛部是1.2.答案：C解析：因?yàn)?，所?3.答案：C解析：因?yàn)?，所?4.答案：A解析：令，得，所以.5.答案：D解析：,故選D.6.答案：B解析：設(shè)飛機(jī)的地面速度向量為，實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度向量和風(fēng)速向量分別為，由已知可得，，，所以，.7.答案：A解析：由題意：圓心坐標(biāo)為，半徑為，要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，所以，，解得.8.答案：D解析：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，，，所以，，由此可得，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，同理可得，選項(xiàng)C正確.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。題號91011答案ACABDACD9.答案：AC解析：因?yàn)?/，所以//平面，選項(xiàng)A正確；而平面，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；異面直線與所成的角為45°，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.10.答案：ABD解析：對于A，設(shè)，則，由得，直線AB的斜率，故直線AB的方程為，令，解得，故，所以，選項(xiàng)A正確；對于B，，選項(xiàng)B正確；對于C，取，則，故，，，則確定的圓方程為，因?yàn)?，???四點(diǎn)不共圓，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，過作的平行線，該方程為，與聯(lián)立，解得：，故的面積，因?yàn)椋蕦⒋肷鲜讲⒒喌?，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，故面積的最大值為4，選項(xiàng)D正確；故選：ABD.11.答案：ACD解析：由，及、得，結(jié)合，化簡得，即，由此可得，所以A正確.又由題設(shè)得，即，再由正、余弦定理得，化簡得.結(jié)合選項(xiàng)A可以判斷是等腰直角三角形，，.所以結(jié)合條件得.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.13.或14.12.答案：解析：設(shè)切點(diǎn)是，則，，所以切線方程是，即，所以，解得，.13.答案：或解析：由可知，所以，兩式相除，整理得，解得，所以或.14.答案：解析：設(shè)事件為第一個(gè)白球在次取出，且第二個(gè)白球在第次取出，其中，則.所以，故.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）解：（1）由列聯(lián)表得……………………1分……………………2分（2）…………4分由于所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為南、北消費(fèi)者對新能源汽車的認(rèn)可度有差異.……………………6分（3）南、北方消費(fèi)者中對新能源汽車認(rèn)可的頻率分別為因此的估計(jì)值分別為……………………8分4位消費(fèi)者（2位南方消費(fèi)者和2位北方消費(fèi)者）中認(rèn)可新能源汽車的人數(shù)則故的分布列為：01234……………………12分故……13分16.（15分）解：（1）證明：由已知可得：即………3分所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.……5分（2）由（1）得：所以………7分故，可得，所以，……10分所以………………13分所以.………………15分17.（15分）解：（1）由已知，平面，平面，故.……………2分又，，平面，平面，故平面.……………………4分因?yàn)槠矫?，所以平面平?…………5分ABCPA1B1C1xyz（2）（i）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，.設(shè)，ABCPA1B1C1xyz解得故點(diǎn)在平面內(nèi).……………………10分（ii）由（i）可得，，，，.設(shè)是平面的法向量，則即可取.……………………12分則，……………………14分故直線與平面所成角的大小為.……………15分18.（17分）解：（1）設(shè)，則…………1分設(shè)的短半軸為，則.又由得.……………3分所以的方程為……………………4分（2）（?。┮?yàn)楣簿€，且的橫坐標(biāo)分別為故若，則的橫坐標(biāo)為，所以.不妨設(shè)在第一象限，由得即.設(shè)，則由幾何關(guān)系可知故,直線的斜率設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則又，所以……………………7分又因?yàn)?/，，故所以，故……………………9分（ⅱ）由（?。┎孪肫椒纸且?yàn)椋手本€的方程可設(shè)為，不妨設(shè)，與的方程聯(lián)立有，整理有.…………10分設(shè)，，則故…………………11分當(dāng)斜率不存在時(shí)，由（?。┛芍?2分當(dāng)時(shí)，斜率存在，且故此時(shí)也有即……………………14分因?yàn)?/，故.又，故設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，取，則，易知∽，故，故∽，故所以存在定點(diǎn)，使得.……17分19.（17分）解：（1）令，，則，………2分所以在上單調(diào)遞減，所以，即.…………5分（2）（i）必要性：若成立，即存在，使得對任意，都有，則對任意，，即成立.……7分充分性：若成立，即存在，使得對任意，都有.當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，，由，知是奇函數(shù).所以.于是對任意，都有，即成立.…………………10分（ii）由（i）知，只需考慮成立，即存在，使得對任意，都有，等價(jià)于.…………11分令，，則需，在上恒成立.不妨取，即，在上恒成立.由，得，，則①當(dāng)時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，則，在上單調(diào)遞增；若，即，則，在上單調(diào)遞增，同②符合題意；若，即，由，知存在，使得.當(dāng)時(shí)，，在