5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)圖象定義域值域[-1,1][-1,1]最值周期性奇偶性奇偶單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減對稱性對稱軸方程：對稱中心，對稱軸方程：對稱中心，二、周期函數(shù)的定義函數(shù)，定義域?yàn)镮，當(dāng)時(shí)，都有，其中T是一個(gè)非零的常數(shù)，則是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期.1、定義是對I中的每一個(gè)值來說的，只有個(gè)別的值滿足或只差個(gè)別的值不滿足都不能說T是的一個(gè)周期.2、對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期.3、周期函數(shù)的周期公式（1）一般地，函數(shù)的最小正周期（2）若函數(shù)的周期是，則函數(shù)的周期為,三、三角函數(shù)的值域求法一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等．三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，一般方法也適用，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種：（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函數(shù)，令t＝ωx＋φ，根據(jù)題中x的取值范圍，求出t的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y＝sint的最值(值域)．（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx，將函數(shù)y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化為關(guān)于t的二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值)．（3）對于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函數(shù)的最值還要注意對a的討論．題型一正余弦函數(shù)的周期性【例1】求下列函數(shù)的周期：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）正弦函數(shù)的周期是，所以所求函數(shù)的周期是；（2）余函數(shù)的周期是，所以所求函數(shù)的周期是；（3）余函數(shù)的周期是，所以所求函數(shù)的周期是．【變式1-1】的最小正周期是（

）A．B．C．2D．3【答案】A【解析】因?yàn)?，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以的最小正周期為，所以的最小正周期?故選：A.【變式1-2】下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是（）A．B．C．D．

【答案】C【解析】對于A選項(xiàng)，由于的周期為，故A選項(xiàng)不正確；對于Ｂ選項(xiàng)，由于的周期為，故B選項(xiàng)不正確；對于C選項(xiàng)，由于的最小正周期為，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，故C選項(xiàng)正確；；對于D選項(xiàng)，由于的最小正周期為，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，故D選項(xiàng)不正確．故選：C．【變式1-3】函數(shù)是（）A．最小正周期為的奇函數(shù)B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù)D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】A【解析】∵函數(shù)，∴函數(shù)為最小正周期為的奇函數(shù).故選：A.【變式1-4】若函數(shù)兩零點(diǎn)間的最小距離為，則（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)兩零點(diǎn)間的最小距離為，所以，所以，所以，解得：.故選：A【變式1-5】已知，則____________.【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以，，，因此，.故答案為：.題型二正余弦函數(shù)的奇偶性【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）函數(shù)為奇函數(shù)；（2）函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（3）函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽,故，故函數(shù)為奇函數(shù)（2）函數(shù)定義域?yàn)?不關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)（3）由，得函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，此時(shí)，則有，且故函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【變式2-1】下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對A，由，不是奇函數(shù)；對B，由，不是奇函數(shù)；對C，由，不是奇函數(shù)；對D，由，又的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以D正確．故選：D【變式2-2】已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的取值可以為（）A．B．C．D．0【答案】A【解析】因函數(shù)為偶函數(shù)，則，顯然時(shí)，，即A滿足，B，C，D都不滿足.故選：A【變式2-3】若函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若函數(shù)是奇函數(shù)，則，得故選：C【變式2-4】函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最大負(fù)值為______．【答案】【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，，，令，可得的最大負(fù)值為，故答案為：．【變式2-5】已知函數(shù)（，，為實(shí)數(shù)），且，則（）A．B．1C．D．4045【答案】C【解析】設(shè)，，則，是奇函數(shù)，，所以，．故選：C．題型三正余弦函數(shù)的對稱性【例3】函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱軸方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于函數(shù)，令，解得，故函數(shù)的對稱軸方程為，令，可知函數(shù)的一條對稱軸為.故選：C【變式3-1】下列關(guān)于函數(shù)的圖象，說法正確的是（）A．關(guān)于點(diǎn)對稱B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于直線對稱D．關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】C【解析】A：，即關(guān)于對稱，故錯(cuò)誤；B：，即關(guān)于對稱，故錯(cuò)誤；C：，即關(guān)于對稱，故正確；D：，故錯(cuò)誤.故選：C.【變式3-2】已知函數(shù)，．若方程的兩個(gè)解為，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可得，，則，令，即函數(shù)，關(guān)于直線對稱，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，故選：B【變式3-3】如果直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸，則的最小正值為___________.【答案】【解析】由已知，解得當(dāng)，取最小正值，且為故答案為：.【變式3-4】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，則，即,故的最小值為.故選：B【變式3-5】已知對任意都有，則等于________．【答案】【解析】因?qū)θ我舛加校瑒t直線是圖象的一條對稱軸，所以.故答案為：題型四正余弦函數(shù)的單調(diào)性【例4】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，令，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；故選：B【變式4-1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，，解得，．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故選：C．【變式4-2】的單調(diào)增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，令，解得，即，即，故選：C.【變式4-3】函數(shù)在上的增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題知，又，所以，令，解得，所以函數(shù)在上的增區(qū)間是．故選：C．【變式4-4】(多選)函數(shù)f(x)＝在[－π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】在[－π，π]上，依據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可知：t＝|cosx|的單調(diào)遞增區(qū)間是及，而f(x)依|cosx|取值的遞增而遞減，故及為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．故選:AB.【變式4-5】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________．【答案】，【解析】由題設(shè)有即，所以，故，故函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)，令，故，故函數(shù)的減區(qū)間為，所以的增區(qū)間為.故答案為：題型五根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【例5】設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得：，又，所以，即.故選：D.【變式5-1】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，解得，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合選項(xiàng)可知，只有B選項(xiàng)符合.故選：B.【變式5-2】已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，即，又，所以，解得，又，所以，所以，要使函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，解得，即；故選：B【變式5-3】設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由，，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得：，又，所以，即.故選：D.【變式5-4】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為________.【答案】【解析】由題意可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，由，得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，，只能??；當(dāng)時(shí)，，即，所以的取值范圍是．故答案為:.【變式5-5】已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的最小值為___________.【答案】3【解析】函數(shù)在上不單調(diào)，當(dāng)函數(shù)為單調(diào)遞增時(shí)，即，整理得：，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增時(shí)，，即：，整理得：當(dāng)時(shí)，；①當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)；，整理得：，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減時(shí)，，即，整理得：當(dāng)時(shí)，，②由于函數(shù)在上不單調(diào)，且，所以的取值為①②所表示的不等式的補(bǔ)集，，所以的最小值為3．故答案為：3．題型六比較三角函數(shù)值的大小【例6】利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。海?），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）在區(qū)間上遞增，所以.（2）在區(qū)間上遞增，所以.（3），，在區(qū)間上遞增，所以.（4）在區(qū)間上遞減，所以.【變式6-1】按從小到大排列的順序?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】，因?yàn)?，在上為增函?shù)，所以，所以，故選：B【變式6-2】若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，解得，故在上遞增，由函數(shù)的周期性與對稱性易得函數(shù)在上遞減，關(guān)于對稱，，，，在減區(qū)間，3在增區(qū)間，并且比離對稱軸更近些，所以，所以．故選：A【變式6-3】已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題設(shè)，即的周期為，又，，，所以，，，又，而在上遞減，所以.故選：D【變式6-4】（多選）在中，下列說法正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)：由,若,則，由正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得；若,由于,∴,∴,即.綜上可知A正確；對于選項(xiàng)B：，滿足,但，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)：∵角A，角都在之間，而余弦函數(shù)在之間是單調(diào)遞減函數(shù)，∴若，則，故C正確；對于選項(xiàng)：由,若,則，由余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得；若,由于,∴,∴,∴，∴，綜上可知D正確；故選：ACD.題型七正余弦函數(shù)的最值問題【例7】函數(shù)，的最大值和最小值分別為（）A．1，-1B．，C．1，D．1，【答案】D【解析】由題設(shè)，，故，所以最大值和最小值分別為1，.故選：D【變式7-1】函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A．-1B．C．D．0【答案】C【解析】的圖像如圖所示，因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，取得最大值，即故答案為：【變式7-2】函數(shù)取最大值時(shí)的值為（）A．B．C．D．0【答案】B【解析】因?yàn)?，由得，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)，故選：B【變式7-3】已知關(guān)于的方程在內(nèi)有解，那么實(shí)數(shù)的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】C【解析】方程在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，令，，則，所以，解得.故選：C.【變式7-4】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則的值可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得.若在開區(qū)間內(nèi)存在最小值，則，解得，故選:B.【變式7-5】若函數(shù)在處取得最小值3，那么的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，不合題意，若，由已知得，解得，與矛盾，舍去；若，由已知得，解得，，解得，又，所以，故選：C.題型八正余弦函數(shù)綜合應(yīng)用【例8】已知函數(shù)，，（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)的最大值、最小值及對應(yīng)的x值的集合；（3）若對任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）.（2）時(shí)，；時(shí)，.（3）【解析】（1），解不等式得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），即時(shí)，

，，即時(shí)，；（3）時(shí)，，，時(shí)，，，要使得，只需，.【變式8-1】已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期；（2）有零點(diǎn)，求的范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于，故其最小正周期為；（2）因?yàn)橛辛泓c(diǎn)，故有解，即有解，因?yàn)椋?/p>