函數(shù)專題：函數(shù)的周期性與對(duì)稱性一、周期函數(shù)的定義1、周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．2、最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期．3、函數(shù)的周期性的常用結(jié)論（是不為0的常數(shù)）（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則（）；二、函數(shù)的對(duì)稱性1、函數(shù)對(duì)稱性的常用結(jié)論（1）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；（2）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；（3）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；（4）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；2、函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的對(duì)稱性的關(guān)系（1）若函數(shù)滿足，則其函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)可以得出，函數(shù)為偶函數(shù)，即偶函數(shù)為特殊的線對(duì)稱函數(shù)；（2）若函數(shù)滿足，則其函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)，時(shí)可以得出，函數(shù)為奇函數(shù)，即奇函數(shù)為特殊的點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)；三、函數(shù)對(duì)稱性與周期性的關(guān)系1、若函數(shù)關(guān)于直線與直線對(duì)稱，那么函數(shù)的周期是；2、若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)的周期是；3、若函數(shù)關(guān)于直線，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)的周期是.四、函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性的關(guān)系1、=1\*GB3①函數(shù)是偶函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.2、=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.3、=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.4、=1\*GB3①函數(shù)是偶函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.其中，上面每組三個(gè)結(jié)論中的任意兩個(gè)能夠推出第三個(gè)。五、類周期函數(shù)1、類周期函數(shù)的定義若滿足：或，則橫坐標(biāo)每增加個(gè)單位，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．類周期函數(shù)圖象倍增函數(shù)圖象2、倍增函數(shù)若函數(shù)滿足或，則橫坐標(biāo)每擴(kuò)大倍，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．注意當(dāng)時(shí)，構(gòu)成一系列平行的分段函數(shù)，．題型一判斷證明函數(shù)的周期性【例1】定義在上的函數(shù)滿足，則下列函數(shù)中是周期函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，定義在上的函數(shù)滿足，所以，所以是周期為的周期函數(shù).故選：B.【變式1-1】定義在上的函數(shù)滿足，則下列是周期函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，定義在上的函數(shù)滿足，所以，所以是周期為的周期函數(shù).故選：D【變式1-2】已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且滿足，則下面給出的等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】是R上的偶函數(shù)，又，即，所以2是的一個(gè)周期，同時(shí)4，6也是的周期所以選項(xiàng)ACD正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：B.【變式1-3】已知函數(shù)，求證：為周期函數(shù).【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：由題得.所以是周期的周期函數(shù).題型二利用函數(shù)的周期求函數(shù)值【例2】已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，且周期為2，當(dāng)時(shí)，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題可知所以又當(dāng)時(shí)，，所以即.故選：C.【變式2-1】設(shè)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其中．若，則________．【答案】【解析】∵是周期為2的函數(shù)∴，又∵，即，則∴故答案為：．【變式2-2】已知函數(shù)，則__________．【答案】2【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)的周期為，所以，故答案為：2【變式2-3】已知為上的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．-4B．-3C．4D．3【答案】A【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)滿足，所以，即所以函數(shù)的周期為，所以.故選：A.【變式2-4】若定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴，又∵，，，，∴函數(shù)的周期為4，∴.故選：D.【變式2-5】若定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)滿足，，對(duì)任意的恒成立，則（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】，則，所以，即，為周期函數(shù)，最小正周期為4，則，令得：，即，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，故，即，因?yàn)?，所?故選：D【變式2-6】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A．0B．2C．3D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，－，所以即當(dāng)時(shí)，，所以，，所以f(－2015)＋f(2017).故選：A【變式2-7】已知是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，若，則______.【答案】2【解析】由題得，所以函數(shù)的最小正周期為.因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，，所以?所以.故答案為：2【變式2-8】已知是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意R，都有，且，則的值為（）A．0B．C．2D．6【答案】C【解析】令，則，所以，則，故，所以是周期為的周期函數(shù)，所以.故選：C【變式2-9】的定義域?yàn)?，且，，則（）A．3B．2C．0D．1【答案】C【解析】令，則，即，所以，，所以，所以，所以的周期為6，令，則，得，因?yàn)椋?，，，，，所以，所以故選：C【變式2-10】已知是定義在上的函數(shù)，且，若，則____________【答案】【解析】，，是以8為周期的函數(shù)，故故答案為：．題型三利用奇偶性與對(duì)稱性求函數(shù)周期【例3】已知是定義在R上的函數(shù)，為偶函數(shù)且為奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．函數(shù)的周期為2B．函數(shù)的周期為3C．D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以，所以，所以，即函數(shù)的周期為，故AB不正確；又，即，所以，所以，故C正確；的值不確定，故D不正確.故選：C.【變式3-1】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（）A．B．C．0D．2【答案】A【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對(duì)稱軸為，則有，又由函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則，則有，則，則有，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則故選：A．【變式3-2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．的周期為2D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即.用x代換上式中的2x，即可得到，所以關(guān)于直線對(duì)稱.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.對(duì)于，令x取x+1，可得：.對(duì)于，令x取x+2，可得：.所以，令x取-x，可得：，所以，令x取x+2，可得：，即的最小正周期為4.所以C、D錯(cuò)誤；對(duì)于B：對(duì)于，令x取x-3，可得：.因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，所以，即.故B正確.對(duì)于A：由，可得為對(duì)稱軸，所以不能確定是否成立.故A錯(cuò)誤.故選：B【變式3-3】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則函數(shù)的周期為（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】左移個(gè)單位得到，與的奇偶性相同，由于為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，即，左移個(gè)單位得到，由于為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，所以.所以的周期為.故選：D【變式3-4】已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且為偶函數(shù)．若，則______．【答案】1【解析】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且為偶函數(shù)，則有，即，∴，則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，又，∴.故答案為：1.題型四綜合利用函數(shù)性質(zhì)比較大小【例4】定義在上的函數(shù)滿足：成立且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，，則，可得函數(shù)周期，，由于在上單調(diào)遞增，即故選：D【變式4-1】已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是R上的奇函數(shù)，由可得，所以的周期為2，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以.故選：A.【變式4-2】定義在上的奇函數(shù)滿足且在上是增函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即函數(shù)的周期是8，則，，，為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則在上是增函數(shù)，，即.故選：B.【變式4-3】已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知，故函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，則，，，因?yàn)槠婧瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上也為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，即.故選：D.題型五利用周期性求函數(shù)解析式【例5】已知是定義在上周期為的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，______.【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,是定義在上周期為的函數(shù)所以，，故答案為：【變式5-1】設(shè)是定義在R上以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的解析式___________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為2，設(shè)是時(shí)函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在時(shí)函數(shù)的圖象上，而函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則點(diǎn)在時(shí)的圖象上，所以，即在上的解析式.故答案為：.【變式5-2】設(shè)是定義在上周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的解析式為__________.【答案】，.【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，則有，當(dāng)時(shí)，，則，又為周期為4的偶函數(shù)，所以，，則有，；故答案為：，.【變式5-3】設(shè)是定義在上以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在[4，6]上的解析式是__________【答案】【解析】因?yàn)槭嵌x在上以2為周期的奇函數(shù)且時(shí)，，設(shè)，則，所以，設(shè)，則，,故.綜上可得，函數(shù)在上的解析式是，故答案為：題型六類周期函數(shù)問(wèn)題【例6】定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，又，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)，從而，選C.【變式6-1】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)闀r(shí)，，由可知，即將的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，圖象上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得到時(shí)圖象，又由可知，當(dāng)時(shí)，將的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，圖象上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，如圖所示：當(dāng)時(shí)，，令，得或，若時(shí)，成立，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為,故