專題五與相似三角形有關(guān)的動態(tài)變化類型一相似三角形中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)方法技巧：對給定的圖形(或其中一部分)進行某種位置變換（平移、翻折或旋轉(zhuǎn))、然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系，可根據(jù)變換前后對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等找到相似三角形的判定條件證明三角形相似【母題練方法】1．如圖，將矩形紙片ABCD（AD＞DC）沿著過點D的直線折疊，使點A落在BC邊上，落點為F，折痕交AB邊于點E．（1）求證：△EFB∽△FDC；（2）若AD＝10，CD＝6，求BE的長；【子題練變式】2．如圖，將線段AB平移得到CD，使A與D對應(yīng)，B與C對應(yīng)，連接AD，BC．（1）求證：∠B＝∠ADC；（2）點G在BC的延長線上，點C與C′關(guān)于直線DG對稱，直線DC′交BC的延長線于點E．點F在線段CE上，且∠DFE＝∠EDF．①設(shè)∠B＝α，求∠FDG的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②證明：CGGE3．數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉(zhuǎn)三角尺時，45°角的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD，AB所在直線分別相交于點M，N，連接MN，可得△CMN．【探究一】如圖②，把△CDM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時得到點H在直線AB上．求證：∠CNM＝∠CNH；【探究二】在圖②中，連接BD，分別交CM，CN于點E，F(xiàn)．求證：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45°角兩邊CM，CN分別交于點E，F(xiàn)，連接AC交BD于點O，求EFNM類型二相似中的動點問題方法技巧：此類題目需在點的運動中尋找相似三角形，通過列方程、分類討論求解.【母題練方法】4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒(0＜t＜103)，連接MN．若△BMN與△ABC相似，求t【子題練變式】5．如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；（2）（如圖2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．6．等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P為BC的中點，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點落在P，三角板繞P點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖a，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時，求證：△BPE∽△CFP；（2）操作：將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F，①探究1：△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）②探究2：連接EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由；③設(shè)EF＝m，△EPF的面積為S，試用m的代數(shù)式表示S（直接寫出答案即可）

專題五與相似三角形有關(guān)的動態(tài)變化類型一相似三角形中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)方法技巧：對給定的圖形(或其中一部分)進行某種位置變換（平移、翻折或旋轉(zhuǎn))、然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系，可根據(jù)變換前后對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等找到相似三角形的判定條件證明三角形相似【母題練方法】1．如圖，將矩形紙片ABCD（AD＞DC）沿著過點D的直線折疊，使點A落在BC邊上，落點為F，折痕交AB邊于點E．（1）求證：△EFB∽△FDC；（2）若AD＝10，CD＝6，求BE的長；【思路點拔】（1）由折疊性質(zhì)得∠DEF＝90°，再根據(jù)互余性質(zhì)得出△EFB和△EDC的兩個銳角相等，便可由相似三角形的判定得出結(jié)論；（2）由折疊性質(zhì)得DE，再由勾股定理求得CE，由線段和差求得BE，由勾股定理可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，根據(jù)折疊性質(zhì)知，∠A＝∠DEF＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝∠BEF+∠DEC＝90°，∴∠BFE＝∠DEC，∴△EFB∽△FDC；（2）解：由折疊性質(zhì)知，AD＝DF＝10，AE＝EF，∵CD＝6，∴CF=D∵AD＝BC＝10，∴BF＝BC﹣CE＝10﹣8＝2．∵EF2＝BE2+BF2，∴BE=8【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，注意對應(yīng)相等關(guān)系．【子題練變式】2．如圖，將線段AB平移得到CD，使A與D對應(yīng)，B與C對應(yīng)，連接AD，BC．（1）求證：∠B＝∠ADC；（2）點G在BC的延長線上，點C與C′關(guān)于直線DG對稱，直線DC′交BC的延長線于點E．點F在線段CE上，且∠DFE＝∠EDF．①設(shè)∠B＝α，求∠FDG的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②證明：CGGE【思路點拔】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB∥CD，AB＝CD，從而可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)即可解答；（2）①利用平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠DCF＝α，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠DFE＝∠DCF+∠CDF，從而利用角的和差關(guān)系可得∠CDE＝2∠CDF+∠DCF，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠CDG＝∠C′DG=12∠CDE＝∠CDF+12∠DCF，從而可得∠CDG﹣∠CDF=12∠DCF，進而可得∠FDG②過點G作GH∥CD，交DE于點H，連接GC′，先證明A字模型相似三角形△CDE∽△GHE，從而可得DCDE=GHHE，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得△CDG≌△C′DG，從而可得CG＝C′G，∠DCG＝∠DC′G，進而可得∠DC′G＝∠HGE，然后證明△HC′G∽△【解答】（1）證明：由平移得：AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠ADC；（2）①解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCF＝α，∵∠DFE是△DCF的一個外角，∴∠DFE＝∠DCF+∠CDF，∵∠DFE＝∠EDF，∴∠CDE＝∠CDF+∠EDF＝∠CDF+∠DFE＝∠CDF+∠DCF+∠CDF＝2∠CDF+∠DCF，∵點C與C′關(guān)于直線DG對稱，∴∠CDG＝∠C′DG=12∠CDE=12（2∠CDF+∠DCF）＝∠CDF∴∠CDG﹣∠CDF=12∠∴∠FDG=12∠DCF=∴∠FDG的度數(shù)為12α②過點G作GH∥CD，交DE于點H，連接GC′，∴∠DCG＝∠HGE，∠CDH＝∠GHE，∴△CDE∽△GHE，∴DCDE∵點C與C′關(guān)于直線DG對稱，∴△CDG≌△C′DG，∴CG＝C′G，∠DCG＝∠DC′G，∴∠DC′G＝∠HGE，∵∠GHE＝∠GHC′，∴△HC′G∽△HGE，∴GHHE∴DCDE∴CGGE【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉(zhuǎn)三角尺時，45°角的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD，AB所在直線分別相交于點M，N，連接MN，可得△CMN．【探究一】如圖②，把△CDM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時得到點H在直線AB上．求證：∠CNM＝∠CNH；【探究二】在圖②中，連接BD，分別交CM，CN于點E，F(xiàn)．求證：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45°角兩邊CM，CN分別交于點E，F(xiàn)，連接AC交BD于點O，求EFNM【思路點拔】在圖②中，連接BD，分別交CM，CN于點E，F(xiàn)．求證：△CEF∽△CNM；【探究一】證明△CNM≌△CNH，即可得證；【探究二】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明∠CEF＝∠FNB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠CEF＝∠FNB，加上公共角∠ECF＝∠NCM，進而可證明；【探究三】，先證明△ECD∽△NCA，得到∠CED＝∠CNA，ECCC=CDAC=12，將△DMC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BGC，則點G在直線AB上，得出△NCG≌△NCM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠MNC＝∠GNC，進而得到∠CNM＝∠CEF【解答】【探究一】證明：∵把△CDM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時得到點H在直線AB上，∴CM＝CH，∠MCH＝90°，∴∠NCH＝∠MCH﹣∠MCN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MCN＝∠HCN，在△CNM和△CNH中，CM=CH∠MCN=∠HCN∴△CNM≌△CNH（SAS），∴∠CNM＝∠CNH；【探究二】證明：如圖所示，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA＝45°，∵∠MCN＝45°，∴∠FBN＝∠FCE＝45°，∵∠EFC＝∠BFN，∴∠CEF＝∠FNB，∵∠CNM＝∠CNH，∴∠CEF＝∠CNM，∵公共角∠ECF＝∠NCM，∴△CEF∽△CNM；【探究三】解：∵AC，BD是正方形的對角線，∴∠CDE＝180°﹣∠BDC＝135°，∠CAN＝180°﹣∠BAC＝135°，∴∠CDE＝∠CAN，∵∠MCN＝∠DCA＝45°，∴∠MCN﹣∠DCN＝∠DCA﹣∠DCN，即∠ECD＝∠NCA，∴△ECD∽△NCA，∴∠CED＝∠CNA，ECNC如圖所示，將△DMC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BGC，則點G在直線AB上，∴MC＝GC，∠MCG＝90°，∴∠NCG＝∠NCM＝45°，∵CN＝CN，∴△NCG≌△NCM（SAS），∴∠MNC＝∠GNC，∵∠CNA＝∠CEF，∴∠CNM＝∠CEF，∵∠ECF＝∠NCM，∴△ECF∽△NCM，∴EFNM即EFNM【點評】本題是相似形的綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵．類型二相似中的動點問題方法技巧：此類題目需在點的運動中尋找相似三角形，通過列方程、分類討論求解.【母題練方法】4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒(0＜t＜103)，連接MN．若△BMN與△ABC相似，求t的值為2011【思路點拔】根據(jù)題意得出BM，CN，易得BN，BA，分類討論當△BMN∽△BAC時，利用相似三角形的性質(zhì)得BMBA=BNBC，解得t；當△BMN∽△BCA時，BMBC=BNBA，解得【解答】解：由題意知，BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴BN＝（8﹣2t）cm，BA=6當△BMN∽△BAC時，BMBA∴8?2t8解得：t=20當△BMN∽△BCA時，BMBC∴3t8解得：t=32故答案為：2011或32【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．【子題練變式】5．如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；（2）（如圖2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【思路點拔】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；（2）過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根據(jù)△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入計算即可．【解答】解：（1）①當△BPQ∽△BAC時，∵BPBA=BQBC，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，∴3t10∴t=20②當△BPQ∽△BCA時，∵BPBC∴8?2t10∴t=32∴t=3223或2011時，△BPQ（2）如圖所示，過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB＝3t，PM=95t，BM=∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴ACCM∴6解得：t=13【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由三角形相似得出對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．6．等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P為BC的中點，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點落在P，三角板繞P點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖a，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時，求證：△BPE∽△CFP；（2）操作：將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F，①探究1：△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）②探究2：連接EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由；③設(shè)EF＝m，△EPF的面積為S，試用m的代數(shù)式表示S（直接寫出答案即可）【思路點拔】（1）找出△BPE與△CFP的對應(yīng)角，其中∠BPE+∠CPF＝150°，∠CPF+∠CFP＝150°，得出∠BPE＝∠CFP，從而解決問題；（2）①小題同前可證，②小題可通過對應(yīng)邊成比例證明，③小題求出△BPE中BE上的高，求出△PEF中EF上的高，得出關(guān)系式．【解答】