高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第5講有理函數(shù)的積分第4章不定積分01有理函數(shù)的積分02三角有理函數(shù)的積分本講內(nèi)容1.有理函數(shù)的相關(guān)概念3

兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商稱(chēng)為有理函數(shù)，也稱(chēng)為有理

分式.有理分式的一般表達(dá)式為，其中m，n為自然數(shù)；都是實(shí)數(shù)，并且a0≠0，b0≠0.a0，a1，…，an及

b0，b1，…，bn01有理函數(shù)的積分4在有理分式中，當(dāng)n<m時(shí)，稱(chēng)之為真分式，例如真分式（n<m）；當(dāng)n≥

m時(shí),稱(chēng)之為假分式，例如假分式（n≤m）.，01有理函數(shù)的積分5

根據(jù)多項(xiàng)式的除法，任意一個(gè)假分式都可以化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式的和.例如因此，有理函數(shù)的積分可以轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式或真分式的積分，多項(xiàng)式的積分比較簡(jiǎn)單，所以只需要討論真分式的積分.01有理函數(shù)的積分2.真分式的積分6真分式可以被分解為如下最簡(jiǎn)分式的和：，，…，其中，，…，…，，，…，，，…，，…，，…，設(shè)，則待定常數(shù)，利用待定系數(shù)法可以將所有的系數(shù)確定.等為01有理函數(shù)的積分

1例

解7求不定積分.被積函數(shù)

是真分式，可分解為最簡(jiǎn)分其中，為待定系數(shù).在分解時(shí)兩端消去分母得求A1，A2還可以用特殊值法：式之和將x=3代入，得A2=6.設(shè)將x=2代入，得A1=5，

01有理函數(shù)的積分8比較

x的各次冪的系數(shù)得解得A1=5，A2=6.

01有理函數(shù)的積分從而所以.9求.設(shè)，

等式的兩端去分母得：，

2例

解01有理函數(shù)的積分11

.，求得，，.接前01有理函數(shù)的積分所以11

求.

先將被積函數(shù)分解成最簡(jiǎn)分式之和，

，通分得

.可求得，

，

，于是

3例

解

分別取x=0，1，2，.01有理函數(shù)的積分，兩端去分母，

得.可求得，

，

.

于是

求.，先將被積函數(shù)分解成最簡(jiǎn)分式之和

取

4例

解分別取x=0，1，2，1201有理函數(shù)的積分

.求.

5例1301有理函數(shù)的積分

6例

解不定積分.先將被積函數(shù)分解為最簡(jiǎn)分式之和通分得即比較??的各次冪的系數(shù)得特殊值法：14x=2，A1=2，

x=3，A3=3，

x=0，A2=2.01有理函數(shù)的積分接前所以15解得A1=2，

從而A2=2，A3=3，01有理函數(shù)的積分

求..

7例

解16令x-1=t，01有理函數(shù)的積分

求.

.

8例

解1701有理函數(shù)的積分

9例

解18求1設(shè)

，則01有理函數(shù)的積分

10例

解19求2設(shè)

，則01有理函數(shù)的積分01有理函數(shù)的積分02三角有理函數(shù)的積分本講內(nèi)容

所謂三角有理函數(shù)，是指由與常數(shù)經(jīng)過(guò)，有限次的四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)，記作R().

，萬(wàn)能公式：21，.02三角有理函數(shù)的積分利用萬(wàn)能公式可以將三角有理函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù).令，則，22，于是02三角有理函數(shù)的積分求.

令，于是

，則11例

解；23.02三角有理函數(shù)的積分

12例

解24求3設(shè)

，則02三角有理函數(shù)的積分

13例

解25求4設(shè)

，則02三角有理函數(shù)的積分

14例

解26求5設(shè)

，則02三角有理函數(shù)的積分求.

令，

則，

，

，

于是.

15例

解2702三角有理函數(shù)的積分

16例