2025-2026學年九年級上冊數(shù)學單元檢測卷第二十五章概率初步·基礎通關建議用時：120分鐘，滿分：120分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下圖表示各事件發(fā)生的概率，其中隨機事件的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了事件的分類，解題的關鍵是掌握隨機事件的定義．利用隨機事件的定義進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)隨機事件的定義得，事件和事件是隨機事件，故選：B．2．下列隨機試驗中，結果具有“等可能性”的是（

）A．擲一枚質(zhì)地均勻的骰子 B．籃球運動員定點投籃C．擲一個礦泉水瓶蓋 D．從裝有若干小球的透明袋子摸球【答案】A【詳解】解：A，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，任一點數(shù)的概率都是六分之一，故該選項正確；B，籃球運動員定點投籃，投中與否的概率并不相等，故該選項錯誤；C，擲一個礦泉水瓶蓋，因瓶蓋質(zhì)地不均勻，正反面出現(xiàn)的概率并不相等，故該選項錯誤；D，從裝有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一顏色小球的概率不一定相等，故該選項錯誤；故選A．【點睛】本題考查等可能事件的判斷，掌握等可能事件的定義是解題的關鍵．3．下列說法正確的是（

）A．“三條線段組成一個三角形”是必然事件B．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是不可能事件C．買一張電影票，座位號是奇數(shù)號是必然事件D．“從一副撲克牌中，任意抽出一張牌是黑桃3”是隨機事件【答案】D【分析】本題考查必然事件和隨機事件，解題關鍵是理解必然事件是一定會發(fā)生的，隨機事件是可能發(fā)生也可能不發(fā)生．據(jù)此相關性質(zhì)內(nèi)容進行逐項分析，即可作答．【詳解】解：A、“三條線段組成一個三角形”是隨機事件，不符合題意．B、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，不符合題意；C、買一張電影票，座位號是奇數(shù)號是隨機事件，不符合題意．D、“從一副撲克牌中，任意抽出一張牌是黑桃3”是隨機事件，符合題意．故選：D．4．投擲一枚形狀規(guī)則、質(zhì)地均勻的骰子，有下列事件：①擲得的點數(shù)是6；②擲得的點數(shù)不大于4；③擲得的點數(shù)是奇數(shù)．這些事件發(fā)生的可能性由大到小排列是（

）A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②①【答案】C【分析】此題考查了事件的可能性，比較各事件包含的可能結果數(shù)，數(shù)量越多可能性越大．【詳解】投擲一枚均勻骰子共有6種等可能結果．①點數(shù)為6：僅1種結果，概率為；②點數(shù)不大于4：包括1、2、3、4，共4種結果，概率為；③點數(shù)為奇數(shù)：包括1、3、5，共3種結果，概率為．可能性由大到小為．故選：C．5．五一期間，小明和小聰準備去大學里參觀游玩，兩人決定分別從北京大學、復旦大學和浙江大學這三所大學里隨機選擇一所大學參觀游玩，小明和小聰選擇同一所大學的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查用列表法或樹狀圖法求概率，熟練掌握列表法或樹狀圖法以及概率公式是解題的關鍵．先畫樹狀圖得出所有等可能的結果數(shù)以及小明和小聰選擇同一所大學的結果數(shù)，再利用概率公式即可得出答案．【詳解】解：設“北京大學、復旦大學和浙江大學”這三所大學分別為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中小明和小聰選擇同一所大學的結果有3種，小明和小聰選擇同一所大學的概率為，故選：A．6．一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在，估計盒子中小球的個數(shù)n是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了利用頻率估計概率，解題關鍵是掌握利用頻率估計概率．根據(jù)利用頻率估計概率得到摸到黃球的概率為，再根據(jù)概率公式計算n的值．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得：，所以這個不透明的盒子里大約有個除顏色外其他完全相同的小球．故選：C．7．小明有兩根長度分別為和的木棒，他想釘一個三角形的木框．現(xiàn)在有5根木棒供他選擇，其長度分別為，，，，．小明隨手拿了一根，恰好能夠組成一個三角形的概率為（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】本題考查概率公式，三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．先利用小明有兩根長度分別為和的木棒確定第三邊的長度取值范圍，再判斷可供選擇的木棒中有幾種滿足，再利用概率公式計算即可．【詳解】解：∵小明有兩根長度分別為和的木棒，他想釘一個三角形的木框，∴三角形木框的第三邊長的取值范圍是，即，∴，，，，共5種等可能情況，其中滿足的有2種，∴恰好能夠組成一個三角形的概率為，故選：A．8．如圖所示是一個正方形飛鏢靶的示意圖，如果向該飛鏢靶任意拋一枚飛鏢，飛鏢插在陰影區(qū)域的概率為，飛鏢插在空白區(qū)域的概率為，則和的大小關系為（

）A． B． C． D．無法判斷【答案】B【分析】本題考查了幾何概率，設正方形的邊長為，分別表示出，，再結合幾何概率的定義計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖：由圖可得：，4個半圓的面積是，設正方形的邊長為，則，∴，∴，，∵，∴，故選：B．9．從?4，?1，2，3四個數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，分別記為，則關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查樹狀圖法求概率，根的判別式，先畫出樹狀圖，求出的值的個數(shù)，再求出方程有兩個不等的實數(shù)根的情況，利用概率公式進行計算即可．【詳解】解：由題意，畫出樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，當時，關于x的方程有兩個不等的實數(shù)根，∴符合題意的情況有8種，∴；故選：D．10．為豐富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，貴陽市某社區(qū)舉辦了一場“投”你所好，迎春節(jié)趣味老年投球比賽，小明的爺爺是參賽選手，小明對爺爺投球擊中目標的情況進行了統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，下列說法不正確的是（

）A．隨著投球次數(shù)的增加，爺爺投球的擊中率會逐漸穩(wěn)定在某一個數(shù)附近B．爺爺投球的擊中頻率穩(wěn)定在0.8，擊中概率的估計值為0.8C．若爺爺投球20次，則爺爺投球一定能擊中16次D．若爺爺投球5次，那么不一定能擊中目標4次【答案】C【分析】本題結合圖表，考查了利用頻率估計概率．由圖可知，擊中率在上下波動，故可估計擊中的頻率穩(wěn)定在0.8，擊中概率的估計值為0.8，可判斷A選項正確，B選項正確,利用擊中概率乘以投球次數(shù)即可求得投球擊中次數(shù)，可判斷C選項，利用概率的意義，可判斷D選項．【詳解】解：由統(tǒng)計圖可知，隨著投球次數(shù)的增加，爺爺投球的擊中率會逐漸穩(wěn)定在附近，故A選項正確，B選項正確，不符合題意；若爺爺投球20次，則爺爺投球大約能擊中（次），故C選項的說法不正確，符合題意；若爺爺投球5次，那么不一定能擊中目標4次，故D選項的說法正確，不符合題意，故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．“拔苗助長”是一個事件．（填“必然”、“隨機”或“不可能”）【答案】不可能【分析】本題考查了事件的分類，根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可，解題的關鍵是正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．【詳解】解：“拔苗助長”是一個不可能事件，故答案為：不可能．12．排隊時，小亮和2位同學站成一橫排，其中小亮“站在中間”的可能性小亮“站在兩邊”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．【答案】小于【分析】本題主要考查了事件可能性大小的判斷，掌握概率的計算公式是解題的關鍵；用字母A，B，C分別表示小亮和他的2位同學，列舉出3人站成一橫排的所有可能結果，再求“小亮站在正中間”與“小亮站在兩端”這兩個事件的概率，根據(jù)二者的概率大小即可判斷．【詳解】用字母A，B，C分別表示小亮和他的2位同學，則他們3人站成一橫排的有6種等可能性，列舉如下：、、、、、．其中小亮“站在中間”有2種可能，其概率為，小亮“站在兩邊”有4種可能，其概率為，，其中小亮“站在中間”的可能性小于小亮“站在兩邊”的可能性．故答案為：小于．13．在一個不透明的袋子中裝有僅顏色不同的5個小球，其中紅球3個，黑球2個，先從袋中取出m（）個紅球，不放回，再從袋子中隨機摸出1個球．將“摸出黑球”記為事件A．若A為必然事件，則m的值為；【答案】3【分析】本題考查了必然事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵．根據(jù)必然事件的概念即可得出答案．【詳解】解：∵事件A為必然事件，∴“摸出黑球”為必然事件，∴不能有紅球，才能使摸出黑球為必然事件，∵袋子中原來紅球有3個，∴取出紅球個數(shù)，故答案為：3．14．A，B，C，D四人做相互傳花球游戲，第一次A傳給其他三人中的任一人，第二次由拿到花球的人再傳給其他三人中的任一人，第三次由拿到花球的人再傳給其他三人中的任一人，則第三次花球傳回A的概率等于．【答案】【分析】本題考查用列樹狀圖的方法解決概率問題；列舉出所有情況，看第三次花球傳回A的情況數(shù)占所有情況數(shù)的多少即可．【詳解】解：共有27種等可能的情況，傳回A的情況數(shù)有6種，所以概率為，故答案為：．15．一個袋中裝有若干個紅球、黃球和藍球，每個球除顏色外都相同．某興趣小組開展摸球試驗；每次摸出一個球記錄下顏色后放回搖勻，重復試驗，并統(tǒng)計了藍球出現(xiàn)的頻率，如圖所示．再摸一次，估計摸到藍球的概率為．（結果精確到0.1）【答案】【分析】本題考查了利用頻率估計概率，由題意可知頻率穩(wěn)定在附近，根據(jù)頻率估計概率即可得到答案．【詳解】解：由題意可知頻率穩(wěn)定在附近，則可估計摸到藍球的概率為．故答案為：．16．生活在數(shù)字時代的我們，很多場合都要用到二維碼，二維碼的生成原理是用特定的幾何圖形按編排規(guī)律在二維方向上分布，采用黑白相間的圖形來記錄數(shù)據(jù)的符號信息．七年級學生小冬幫媽媽打印了一個收款二維碼如圖所示，該二維碼的面積為，他在該二維碼上隨機擲點，經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在左右，則估計此二維碼白色區(qū)域的面積為．【答案】4【分析】本題考查了用頻率估計概率，掌握概率公式是解題的關鍵．先計算出點落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定值，再用總面積乘以落入白色部分的頻率穩(wěn)定值即可求解．【詳解】解：經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在左右，∴估計此二維碼中白色區(qū)域的面積為．故答案為：4．三、解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題，每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）17．在一個不透明的袋子里，裝有9個除顏色不同，其余均相同的小球，其中3個紅球，3個白球，3個黑球，它們已在口袋中被攪勻，現(xiàn)在有一個事件：從口袋中任意摸出n個球，紅球、白球、黑球至少各有一個．(1)當n為何值時，這個事件不可能發(fā)生？(2)當n為何值時，這個事件必然發(fā)生？【答案】(1)或(2)或或【分析】本題考查了事件的分類，理解必然事件的定義是解題的關鍵．（1）這個事件不可能發(fā)生，摸球數(shù)小于個，即可求解；（2）這個事件必然發(fā)生，摸球數(shù)大于個，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得當或時，不可能摸到紅球、白球、黑球至少各有一個，故這個事件不可能發(fā)生；（2）解：由題意得當或或時，一定能摸到紅球、白球、黑球至少各有一個，故這個事件必然發(fā)生．18．從標有數(shù)字，，，的張卡片中，任意抽取張；設事件為“取到的倍數(shù)”，事件為“取到的倍數(shù)”，事件為“取到比大的數(shù)”事件為“取到整數(shù)”．(1)發(fā)生可能性最大的事件是______，發(fā)生可能性最小的事件是______；(2)把事件、、、按照發(fā)生可能性的大小在數(shù)軸上用字母、、、標注出來．【答案】(1)D，(2)見解析【分析】本題主要考查可能性大小，解題的關鍵是掌握隨機事件發(fā)生的可能性概率的計算方法．（1）根據(jù)可能性大小的概念得出四個事件的可能性大小，從而得出答案；（2）根據(jù)所求數(shù)據(jù)表示在數(shù)軸上即可．【詳解】（1）解：事件“取到的倍數(shù)”的可能性大小為，事件“取到的倍數(shù)”的可能性大小為，事件“取到比大的數(shù)”的可能性大小為，事件“取到整數(shù)”的可能性大小為，所以發(fā)生可能性最大的事件是，發(fā)生可能性最小的事件是，故答案為：、；（2）如圖：19．某中學為了解七年級學生對課后延時服務項目的參與情況，隨機抽取50名學生進行問卷調(diào)查，課后延時服務項目分為以下四類：A．藝術素養(yǎng)、B．體育鍛煉、C．科技探究、D．作業(yè)輔導．現(xiàn)將調(diào)查結果整理成如下不完整的統(tǒng)計表：項目ABCD人數(shù)15105頻率0.30.1(1)請補全統(tǒng)計表中的空缺數(shù)據(jù)（直接填寫在表中）；(2)從參與調(diào)查的學生中隨機抽取1人，抽到的學生恰好參與項目B是_________事件（從“隨機”“必然”“不可能”選一個填入）；(3)若該校七年級共有400名學生，試估計選擇項目A的學生人數(shù)．【答案】(1)見解析(2)隨機(3)120名【分析】本題考查了根據(jù)數(shù)據(jù)描述求頻率、頻數(shù)，樣本估計總體，事件的分類，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．（1）先求出項目B的人數(shù)，再根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)進行列式，分別求出項目的頻率，即可作答．（2）根據(jù)隨機事件的定義進行分析，即可作答．（3）運用樣本估計總體進行列式計算，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，如圖所示：項目ABCD人數(shù)1520105頻率0.30.40.20.1（2）解：依題意，從參與調(diào)查的學生中隨機抽取1人，抽到的學生恰好參與項目B是隨機事件故答案為：隨機；（3）解：（名）答：估計選擇項目A的學生有120名20．在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球，其中紅球3個，白球5個，黑球若干個．若從中任意摸出一個白球的概率是．(1)求盒子中黑球的個數(shù)．(2)求任意摸出一個球是黑球的概率．(3)能否通過改變盒子中球的數(shù)量，使得任意摸出一個球是紅球的概率為？若能，請寫出你的修改方案．【答案】(1)7(2)(3)能，見解析【分析】本題主要考查了簡答概率的計算，通過概率求頻數(shù)等知識點，解題的關鍵是熟練掌握概率計算的公式．（1）通過部分概率和頻數(shù)求出總數(shù)，然后利用總數(shù)可求解；（2）利用概率計算公式進行求解即可；（3）通過改變白球的頻數(shù)可達到要求．【詳解】（1）解：∵紅球3個，白球5個，黑球若千個，從中任意摸出一個白球的概率是，∴，故盒子中黑球的個數(shù)為；（2）解：任意摸出一個球是黑球的概率為；（3）解：能．方案：將盒子中的白球拿出3個，則P（摸到紅球）．（方案不唯一）21．某校閱讀社團將《西游記》中的四位人物的肖像制成編號為A、B、C、D的四張（除編號和人物肖像外其余完全相同）卡片，活動時學生根據(jù)所抽取的卡片來講述他們在書中的故事．游戲規(guī)則如下：先將四張卡片背面朝上，洗勻放好．小林先從中隨機抽取一張，把剩下的3張卡片洗勻后，背面向上放好，小梅再從3張卡片中隨機抽取一張．(1)小林抽到孫悟空的概率為_________；(2)若他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ蠈娜宋餅閹熗疥P系，則由小林講述，否則由小梅講，用列表法或畫樹狀圖法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平？【答案】(1)(2)此游戲規(guī)則公平，理由見解析【分析】本題考查的是概率公式的應用，利用列表或畫樹狀圖求解隨機事件的概率；（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）列表可得所有等可能結果，從表格中得出取出的兩張卡片上對應的人物為師徒關系的結果數(shù)，繼而求出小林、小梅講的概率，從而得出答案．【詳解】（1）解：小林抽到孫悟空的概率為，故答案為：；（2）解：游戲規(guī)則公平，理由如下：列表如下ABCDABCD共有12種等可能的結果，由表知，他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ蠈娜宋餅閹熗疥P系的結果有6種，∴由小林講的概率為，則由小梅講的概率為1，∴此游戲規(guī)則公平．22．在一個不透明的盒子里裝5個白球和15個黑球，這些球除顏色外都相同，小明做摸球試驗，他將盒子里面的球攪勻后從中任意摸出一個球，記下顏色，再把它放回盒子中攪勻．(1)小明做摸球試驗20次，其中摸出白球6次，則這20次摸球試驗中，摸出白球的頻率是_____；(2)求摸到黑球的概率；(3)在盒子中球的總個數(shù)不變的情況下，請通過改變盒子中黑球和白球的數(shù)量，使摸到白球的概率為．【答案】(1)(2)(3)往盒子中放入3個白球，取出3個黑球，使摸到白球的概率為【分析】此題考查概率公式，解答的關鍵是掌握概率的求法：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）利用頻率計算公式直接求出答案；（2）利用概率計算公式直接求出答案；（3）通過計算可得盒子中白球的數(shù)量變?yōu)?，由此得出往盒子中放入3個白球，取出3個黑球即可．【詳解】（1）解：試驗20次，摸出白球6次，則摸出白球的頻率，故答案為：．（2）解：袋子中有黑球15個，總球數(shù)為個，則摸到黑球的概率為．答：摸到黑球的概率為．（3）解：盒子中白球的數(shù)量變?yōu)椋▊€），（個）．答：往盒子中放入3個白球，取出3個黑球，使摸到白球的概率為．23．如圖所示，甲、乙兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形(兩個轉盤除表面數(shù)字不同外，其它完全相同)，轉盤甲上的數(shù)字分別是，，，轉盤乙上的數(shù)字分別是，，(規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉一次)．(1)單獨轉動轉盤甲，轉盤甲指針指向正數(shù)的概率是．(2)若同時轉動兩個轉盤，轉盤甲指針所指的數(shù)字記為，作為點的橫坐標，轉盤乙指針所指的數(shù)字記為，作為點的縱坐標，請用列表法或樹狀圖法求平面內(nèi)點落在第二象限內(nèi)的概率．【答案】(1)；(2)列表法或樹狀圖法見解析，【分析】本題主要考查了列表法或樹狀圖法求簡單隨機事件的概率，列舉出有可能出現(xiàn)的結果是正確解答的關鍵．（1）根據(jù)概率的定義進行解答即可；（2）用列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結果，再根據(jù)概率的定義進行計算即可；【詳解】（1）解：轉盤甲被等分為3份，其中1份標有正數(shù)，所以轉動轉盤甲1次，指針指向正數(shù)的概率是，故答案為：；（2）解：同時轉動兩個轉盤，指針所指的數(shù)字所有可能出現(xiàn)的結果如下：共有種可能出現(xiàn)的結果，其中平面內(nèi)點落在第二象限內(nèi)的有4種，所以同時轉動兩個轉盤，平面內(nèi)點落在第二象限內(nèi)的概率為．24．某快遞公司收取快遞費用的標準如下：重量不超過的包裹收費10元，重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）收取5元．該快遞公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如表：包裹的重量（單位：）12345包裹的件數(shù)40351474該快遞公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如表：包裹的件數(shù)范圍包裹的件數(shù)（近似處理）50150250350450天數(shù)8828106以上數(shù)據(jù)已做近似處理．(1)現(xiàn)從近60天中隨機抽取1天，求這一天攬件數(shù)在之間的概率．(2)該快遞公司將快遞費的作為前臺工作人員的工資和經(jīng)理的工資，剩余的用作其他費用．①估計該快遞公司對每件包裹收取的快遞費的平均值．②目前快遞公司經(jīng)理有1人，前臺工作人員有3人，每位前臺工作人員每天攬件不超過150件，前臺工作人員每日工資200元．經(jīng)理正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，如果僅從近60天經(jīng)理平均每日工資收入的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計知識幫經(jīng)理選擇，并說明理由．【答案】(1)(2)①15元；②公司應將前臺工作人員裁員1人，理由見解析【分析】本題考查了頻率估計概率，概率公式，求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．（1）先求出樣本中包裹件數(shù)在之間的天數(shù)，再運用概率公式列式計算，即可作答．（2）①運用求平均數(shù)的公式進行列式計算，即可作答．②先求出每個范圍的頻率，再結合該快遞公司將快遞費的作為前臺工作人員的工資和經(jīng)理的工資，剩余的用作其他費用，進行列式，求出裁員和不裁員的收入，即可作答．【詳解】（1）解：樣本中包裹件數(shù)在之間的天數(shù)為，∴概率，∴從近60天中隨機抽取1天，求這一天攬件數(shù)在之間的概率；（2）解：①結合題干的樣本中快遞費用及包裹件數(shù)表中的數(shù)據(jù)，得，∴（元），故該公司對每件快遞收取的費用的平均值可估計為15元．②根據(jù)題意及①，攬件數(shù)每增加1，公司快遞收入增加15（元），若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，則，，，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹的件數(shù)范圍包裹的件數(shù)（近似處理）50150250350450天數(shù)8828106頻率∴故經(jīng)理平均每日工資收入的期望值為（元）若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)范圍包裹件數(shù)（近似處理）50150250