2025-2026學年第一學期月質量檢測卷高二數(shù)學一．選擇題（共8小題）1．已知向量＝（﹣1，2，1＝（3，x，1⊥，那么||等于（）A．B．2C．D．52．已知向量＝（﹣1，2，1＝（3，x，y∥，那么實數(shù)x+y等于（）A．3B．﹣3C．9D．﹣93．若{，，}構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A．+，，﹣B．，+，﹣C．+，﹣，D．+，++，4．如圖，在正三棱錐P﹣ABC中，點G為△ABC的重心，點M是線段PG上的一點，且PM＝3MG，記，則＝（）A．B．C．D．5．已知，，，若P，A，B，C四點共面，則λ＝（）A．3B．﹣3C．7D．﹣76．下列命題中正確的是（）A．點M（3，2，1）關于平面yOz對稱的點的坐標是（﹣3，2，﹣1）B．若直線l的方向向量為＝（1，﹣1，2α的法向量為，則lαC．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為120°，則直線l與平面α所成的角為30°D．已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則7．已知兩點A（﹣3，2B（2，1P（0，﹣1）的直線l與線段AB（含端點）有交點，則直線l的斜率的取值范圍為（）A∞，﹣1][1，+∞）B．[﹣1，1]C．D．8．已知直線l的方程為xsinα+y﹣1＝0，α∈，則直線l的傾斜角范圍是（）A．B．第頁C．D．二．多選題（共3小題）（多選）9．下列說法正確的是（）A．直線l：mx+y+2﹣m＝0恒過定點（1，﹣2）B．如果AB＜0，BC＜0，那么直線Ax+By+C＝0不經(jīng)過第四象限C．已知直線l過點P（2，3x，y軸上截距相等，則直線l的方程為x+y﹣5＝0D．若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線l的斜率為（多選）10．下列四個結論正確的是（）A．任意向量，，若，則或或B．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面C．空間中任意向量都滿足D．若，，則（多選）．如圖，正方體ABCD﹣ABCD1的棱長為a，E是棱CD上的動點，且．則下列結論正確的是（）A．EBAD1B．點E到直線AB1的距離為C．直線AE與BD1所成角的范圍為D．二面角E﹣AB﹣A的大小為三．填空題（共3小題）12．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量的坐標是．13．已知直線l：ax+2y+8＝0與l：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0平行，則實數(shù)a的值為．14．已知a＞0，b＞0，直線la﹣1）x+y﹣1＝0，l：x+2by+1＝0，且ll，則的最小值為．四．解答題（共5小題）15．已知△ABC的三個頂點分別為A（0，4B（﹣2，6C（﹣8，0（1）AC邊上的中線所在直線的方程；（3）AC邊上的高所在直線的方程．第頁16．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣ABCD1中，E為線段DD1的中點，F(xiàn)為線段BB1的中點．（1）求點A1到直線BE的距離；（2）求點A1到平面ABE的距離．17．如圖，在直三棱柱ABC﹣ABC1中，∠ACB為直角，側面ACCA1為正方形，AC＝BC＝2，D，E分別為AB，AC1的中點．（1）求證：DE平面BBCC；（2）求直線AC與平面BDE所成角的正弦值．第頁18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD上，底面ABCD為直角梯形，ADBC，∠ADC＝90°，平面PAD平面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA＝PD＝2，，．（1）求證：平面MQB平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C大小為300，求的值．19．如下圖，在△ABC中，ACBC，AC＝BC＝2，D是AC中點，E、F分別是BA、BC邊上的動點，且EFAC；將△BEF沿EF折起，將點B折至點P的位置，得到四棱錐；（1）求證：EFPC；（2）若BE＝2AE，二面角P﹣EF﹣C是直二面角，求二面角P﹣CE﹣F的正切值；（3）當PDAE時，求直線PE與平面ABC所成角的正弦值的取值范圍．第頁一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CDCACCAB二．多選題（共3小題）題號910答案ABDABABD一．選擇題（共8小題）1．已知向量＝（﹣1，2，1＝（3，x，1⊥，那么||等于（）A．B．2C．D．5【解答】解：因為＝（﹣1，2，1＝（3，x，1⊥，所以﹣1×3+2x+1×1＝0，即x＝1，所以＝（3，1，1，故選：C．2．已知向量＝（﹣1，2，1＝（3，x，y∥，那么實數(shù)x+y等于（）A．3B．﹣3C．9D．﹣9【解答】解：∵＝（﹣1，2，1＝（3，x，y∥，∴，解得x＝﹣6，y＝﹣3，實數(shù)x+y＝﹣6﹣3＝﹣9．故選：D．3．若{，，}構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A．+，，﹣B．，+，﹣C．+，﹣，D．+，++，【解答】解：由共面向量的充要條件可得：對于A選項，＝（+）+（﹣+，，﹣三個向量共面；對于B選項，同理：，+，﹣三個向量共面；對于D選項，＝，所以三個向量共面；故選：C．第頁4．如圖，在正三棱錐P﹣ABC中，點G為△ABC的重心，點M是線段PG上的一點，且PM＝3MG，記，則＝（）A．B．C．D．【解答】解：如圖，連接AG并延長交BC于點D，連接PD．因G為△ABC的重心，，故＝，又PM＝3MG，故＝．故選：A．5．已知，，，若P，A，B，C四點共面，則λ＝（）A．3B．﹣3C．7D．﹣7【解答】解：因為P，A，B，C四點共面，所以，，共面，不妨設，第頁所以，解得．故選：C．6．下列命題中正確的是（）A．點M（3，2，1）關于平面yOz對稱的點的坐標是（﹣3，2，﹣1）B．若直線l的方向向量為＝（1，﹣1，2α的法向量為，則lαC．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為120°，則直線l與平面α所成的角為30°D．已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則【解答】解：點M（3，2，1）關于平面yoz對稱的點的坐標為（﹣3，2，1A錯誤；由?＝6﹣4﹣2＝0，可得⊥，即有l(wèi)α，或l?α，故B錯誤；若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為120°，則直線l與平面α所成的角為120°﹣90°＝30°，故C正確；O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則m﹣+1＝1，解得m＝，故D錯誤．故選：C．7．已知兩點A（﹣3，2B（2，1P（0，﹣1）的直線l與線段AB（含端點）有交點，則直線l的斜率的取值范圍為（）A∞，﹣1][1，+∞）B．[﹣1，1]C．D．【解答】解：如圖所示，直線PB逆時針旋轉到PA的位置才能保證過點P（0，﹣1）的直線與線段AB有交點，從PB轉到PF過程中，傾斜角變大到，斜率變大到正無窮，此時斜率，所以此時k∈[1，+∞第頁從PF旋轉到PA過程中，傾斜角從開始變大，斜率從負無窮開始變大，此時斜率，所以此時k∈（﹣∞，﹣1]，綜上可得直線l的斜率的取值范圍為（﹣∞，﹣1][1，+∞故選：A．8．已知直線l的方程為xsinα+y﹣1＝0，α∈，則直線l的傾斜角范圍是（）A．B．C．D．【解答】解：由直線l的方程為xsinα+y﹣1＝0，α∈，化為y＝﹣xsinα+，由﹣1≤sinα≤1，設直線l的傾斜角為φ，則tanφ＝﹣sinα∈[﹣，]，且0≤φ＜π，所以0≤φ≤或≤φ＜π；即直線l的傾斜角范圍是[0，][，π故選：B．二．多選題（共3小題）（多選）9．下列說法正確的是（）A．直線l：mx+y+2﹣m＝0恒過定點（1，﹣2）B．如果AB＜0，BC＜0，那么直線Ax+By+C＝0不經(jīng)過第四象限C．已知直線l過點P（2，3x，y軸上截距相等，則直線l的方程為x+y﹣5＝0D．若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線l的斜率為【解答】解：對于選項A，由l：m（x﹣1）+y+2＝0，可得m（x﹣1）＝﹣y﹣2，令得，，所以直線恒過（1，﹣2A正確；對于選項B，由AB＜0，BC＜0，則，而直線可化為，所以直線不經(jīng)過第四象限，故B正確；對于選項C，若直線過原點時，直線l為，即l：3x﹣2y＝0，故C錯誤；對于選項D，令原直線為ax+by+c＝0，根據(jù)平移有a（x+3）+b（y﹣2）+c＝0，所以ax+by+3a﹣2b+c＝0與ax+by+c＝0為同一直線，第頁所以3a﹣2b+c＝c，即﹣＝﹣，故D正確．故選：ABD．（多選）10．下列四個結論正確的是（）A．任意向量，，若，則或或B．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面C．空間中任意向量都滿足D．若，，則【解答】解：對A：因為，因為，則或或，即或或，故A正確；對B：若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面，故B正確；對C：因為兩個向量的數(shù)量積是實數(shù)，?，?為實數(shù)，故是與共線的向量，是與共線的向量，與不一定共線，所以不一定成立，故C錯誤；對D：當≠時，對任意向量，，都成立，當＝0時，∥不一定成立，故D錯誤．故選：AB．（多選）．如圖，正方體ABCD﹣ABCD1的棱長為a，E是棱CD上的動點，且．則下列結論正確的是（）第頁A．EBAD1B．點E到直線AB1的距離為C．直線AE與BD1所成角的范圍為D．二面角E﹣AB﹣A的大小為【解答】解：如圖建立空間直角坐標系，則A（a，0，0E（0，m，00≤m≤a，B（a，a，aD（0，0，aA（a，0，a對于A：，因為，所以，即EBAD，故A正確；對于B：由正方體的結構特征知，CDAB1且四邊形CDAB1為矩形，所以E到AB1的距離為，故B正確．對于C：，設直線AE與BD1所成角為θ，則，顯然在m∈[0，a]中，cosθ隨m的變大而變小，當m＝a時，cosθ最小等于0，此時θ最大為；當m＝0時，cosθ最大等于，此時θ最小為，所以，即直線AE與BD1所成角的范圍為，故C不正確；第頁對于D：二面角E﹣AB﹣A，即二面角D﹣AB﹣A，AAAB，DAAB，DA?平面EAB，AA?平面AAB，所以∠DAA即為二面角E﹣AB﹣A的平面角，在正方形ADDA1中，則二面角E﹣AB﹣A的大小為，故D正確．故選：ABD．三．填空題（共3小題）12．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量的坐標是．【解答】解：，，向量在向量上的投影向量的坐標是：．故答案為：．13．已知直線l：ax+2y+8＝0與l：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0平行，則實數(shù)a的值為﹣1或2．【解答】解：直線l：ax+2y+8＝0與l：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0平行，故a（a﹣1）﹣2＝0，整理得a2﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1或2；當a＝2或﹣1時，兩直線都不重合，故a＝﹣1或2．故答案為：﹣1或2．14．已知a＞0，b＞0，直線la﹣1）x+y﹣1＝0，l：x+2by+1＝0，且ll，則的最小值為8．【解答】解：a＞0，b＞0，直線la﹣1）x+y﹣1＝0，l：x+2by+1＝0，且ll，（a﹣1）×1+1×2b＝0，即a+2b＝1．則＝+＝2+++2≥4+2＝4+4＝8，當且僅當a＝2b時，等號成立，故的最小值為8，故答案為：8．四．解答題（共5小題）15．已知△ABC的三個頂點分別為A（0，4B（﹣2，6C（﹣8，0（1）AC邊上的中線所在直線的方程；（2）AC邊上的高所在直線的方程．【解答】1）解法1：設AC的中點為D（x，yD（﹣4，2第頁由兩點式得BD所在直線方程為，即2x﹣y+10＝0．解法2：設AC的中點為D（x，yD（﹣4，2，所以BD所在直線方程為y﹣6＝2（x+22x﹣y+10＝0；（2）因為，B（﹣2，6所以AC邊上的高所在直線方程為y﹣6＝﹣2（x+22x+y﹣2＝0．16．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣ABCD1中，E為線段DD1的中點，F(xiàn)為線段BB1的中點．（1）求點A1到直線BE的距離；（2）求點A1到平面ABE的距離．【解答】（1）以D為原點，以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以所以＝（0，1，0，＝，所以，所以點A1到直線BE的距離為，第頁（2）設平面ABE的一個法向量為，，由，令z＝2，得，設點A1到平面ABE的距離為d，則，即點A1到平面ABE的距離為．17．如圖，在直三棱柱ABC﹣ABC1中，∠ACB為直角，側面ACCA1為正方形，AC＝BC＝2，D，E分別為AB，AC1的中點．（1）求證：DE平面BBCC；（2）求直線AC與平面BDE所成角的正弦值．【解答】1）證明：連接BC，在△ABC1中，因為D，E分別為AB，AC1的中點，所以DEBC，又DE?平面BBCC，BC?平面BBCC，所以DE平面BBCC．（2）建立空間直角坐標系C﹣ABC，則C（0，0，0A（2，0，0B（0，2，2D（1，1，0E（1，0，1第頁因此，．設平面BDE的法向量為，則，，所以，即令z＝1，則x＝3，y＝1，所以，設直線AC與平面BDE所成角為θ．所以．18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD上，底面ABCD為直角梯形，ADBC，∠ADC＝90°，平面PAD平面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA＝PD＝2，，．（1）求證：平面MQB平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C大小為300，求的值．【解答】1）證明：ADBC，，Q為AD的中點，四邊形BCDQ為平行四邊形，CDBQ，又∠ADC＝90°，∠AQB＝90°，即QBAD．又平面PAD平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BQ?平面ABCD，BQ平面PAD，BQ?平面PQB，平面PQB平面PAD．（2）PA＝PD，Q為AD的中點，PQAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ?平面PAD，PQ平面ABCD．如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系，第頁易知平面BQC的法向量為，又，，設，λ∈[0，1]，，又，設平面MBQ的法向量為，取，二面角M﹣BQ﹣C為30°，∴，解得，即，∴．19．如下圖，在△ABC中，ACBC，AC＝BC＝2，D是AC中點，E、F分