24.2.2直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一：直線和圓的位置關(guān)系（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)．

②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．

③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．

（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．

①直線l和⊙O相交?d＜r

②直線l和⊙O相切?d=r

③直線l和⊙O相離?d＞r．例題：已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)圓心到直線的距離5等于圓的半徑5，則直線和圓相切．【解答】解：∵圓心到直線的距離5cm=5cm，∴直線和圓相切．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查直線與圓的關(guān)系，能夠熟練根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．變式1：半徑為10的⊙O和直線l上一點(diǎn)A，且OA=10，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交【分析】分兩種情況求解：OA⊥l；OA不垂直l．根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判定．【解答】解：若OA⊥l，則圓心O到直線l的距離就是OA的長(zhǎng)，等于半徑，所以直線l與⊙O相切；若OA與直線l不垂直，根據(jù)垂線段最短，圓心O到直線l的距離小于5，即小于半徑，所以直線l與⊙O相交．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系解答．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．變式2：直線l上的一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則直線與圓的位置關(guān)系一定是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交【分析】若直線上一點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑，則圓心到直線的距離等于或小于圓的半徑，此時(shí)直線和圓相交或相切．【解答】解：∵圓心到直線的距離等于或小于圓的半徑，∴直線和圓相交或相切．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查直線與圓的關(guān)系，注意：直線上一點(diǎn)到圓心的距離不一定是圓心到直線的距離．知識(shí)點(diǎn)二：切線的判定定理（1）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：

①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過(guò)半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．

②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的．

③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．例題：如圖，PA、PB分別切⊙O于A、B，點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是線段PA、PB上的動(dòng)點(diǎn)，并且CD始終保持與圓O相切，若PA=8cm，則△PCD的周長(zhǎng)是（）A．8 B．12 C．16 D．不能確定【分析】利用切線長(zhǎng)定理得到PB=PA=8，CA=CE，DE=DB，然后根據(jù)三角形周長(zhǎng)的定義和等量代換計(jì)算△PCD的周長(zhǎng)．【解答】解：∵PA、PB分別切⊙O于A、B，∴PB=PA=8，∵CD切⊙O于E，∴CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周長(zhǎng)=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=8+8=16（cm）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了切線長(zhǎng)定理．變式1：如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，線段PO交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)BC，若∠P=36°，則∠B等于（）A．27° B．32° C．36° D．54°【分析】直接利用切線的性質(zhì)得出∠OAP=90°，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠AOP=54°，結(jié)合圓周角定理得出答案．【解答】解：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴∠OAP=90°，∵∠P=36°，∴∠AOP=54°，∴∠B=27°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，正確得出∠AOP的度數(shù)是解題關(guān)鍵．變式2：如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD與⊙O相切于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作PD的垂線交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若⊙O的半徑為4，BC=6，則PA的長(zhǎng)為（）A．4 B．2 C．3 D．2.5【分析】直接利用切線的性質(zhì)得出∠PDO=90°，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：連接DO，∵PD與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠PDO=90°，∵∠C=90°，∴DO∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴===，設(shè)PA=x，則=，解得：x=4，故PA=4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出△PDO∽△PCB是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)三：切線的性質(zhì)定理（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．

③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．

（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．

（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直．例題：如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，點(diǎn)M，N，O均為格點(diǎn)，點(diǎn)N在⊙O上，若過(guò)點(diǎn)M作⊙O的一條切線MK，切點(diǎn)為K，則MK=（）A．3 B．2 C．5 D．【分析】以O(shè)M為直徑作圓交⊙O于K，利用圓周角定理得到∠MKO=90°．從而得到KM⊥OK，進(jìn)而利用勾股定理求解．【解答】解：如圖所示：MK=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．變式1：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，PA．若∠P=40°，當(dāng)∠B等于（）時(shí)，PA與⊙O相切．A．20° B．25° C．30° D．40°【分析】先利用切線的性質(zhì)求出∠AOP=50°，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，求出∠AOP是解本題的關(guān)鍵．變式2：已知⊙O的半徑為5，直線EF經(jīng)過(guò)⊙O上一點(diǎn)P（點(diǎn)E，F(xiàn)在點(diǎn)P的兩旁），下列條件能判定直線EF與⊙O相切的是（）A．OP=5 B．OE=OFC．O到直線EF的距離是4 D．OP⊥EF【分析】根據(jù)切線的判定定理可求得需要滿足和條件，即可求得答案．【解答】解：∵點(diǎn)P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的判定，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)四：切線長(zhǎng)定理（1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．

（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．

（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．

（4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：

①垂直關(guān)系三處；

②全等關(guān)系三對(duì)；

③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到．例題：如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，PA=10，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，則△PCD的周長(zhǎng)是（）A．10 B．18 C．20 D．22【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周長(zhǎng)是PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．【解答】解：∵PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周長(zhǎng)是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△PCD的周長(zhǎng)=PA+PB．變式1：如圖，直線AB、CD、BC分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，則BE+CG的長(zhǎng)等于（）A．13 B．12 C．11 D．10【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理，即可證明∠BOC=90°，再根據(jù)勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)，再結(jié)合切線長(zhǎng)定理即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分別與⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC==10，∴BE+CG=10（cm）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是考查了切線長(zhǎng)定理．從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，且圓心和這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．變式2：如圖，PA、PB切⊙O于A、B，點(diǎn)C在上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO=13cm，⊙O的半徑為5cm，則△PDE的周長(zhǎng)是24cm．【分析】連接OA、OB，由切線長(zhǎng)定理可得：PA=PB，DA=DC，EC=EB；由勾股定理可得PA的長(zhǎng)，△PDE的周長(zhǎng)=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB，即可求得△PDE的周長(zhǎng)．【解答】解：連接OA、OB，如下圖所示：∵PA、PB為圓的兩條切線，∴由切線長(zhǎng)定理可得：PA=PB，同理可知：DA=DC，EC=EB；∵OA⊥PA，OA=5，PO=13，∴由勾股定理得：PA=12，∴PA=PB=12；∵△PDE的周長(zhǎng)=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB；∴△PDE的周長(zhǎng)=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24，故此題應(yīng)該填24cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，切線長(zhǎng)定理圖提供了很多等線段，分析圖形時(shí)關(guān)鍵是要仔細(xì)探索，找出圖形的各對(duì)相等切線長(zhǎng)．知識(shí)點(diǎn)五：三角形的內(nèi)切圓（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．

（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形．

（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．例題：如圖，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，分別切BA、BC、AC于點(diǎn)E、F、D，點(diǎn)P在弧DE上，如果∠EPF=70°，那么∠B=（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系得出∠EOF=140°，進(jìn)而得出∠B的度數(shù)即可．【解答】解：∵∠EPF=70°，∴∠EOF=2∠EPF=140°，∵BE、BF是切線，∴∠BEO=∠BFO=90°，∴∠B=360°﹣90°﹣90°﹣140°=40°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，關(guān)鍵是根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系得出∠EOF=140°．變式1：下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)共有（）（1）一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓；（2）圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；（3）在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（4）三角形的內(nèi)心到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)外接圓的性質(zhì)，圓的對(duì)稱性，三角形的內(nèi)心以及圓周角定理即可解出．【解答】解：（1）一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓，正確；（2）圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，正確；（3）在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，正確；（4）三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三邊的距離相等，錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了外接圓的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心及軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的概念，要求學(xué)生對(duì)這些概念熟練掌握．變式2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，△ABC內(nèi)切圓與外接圓面積之比為（）A．2：5 B．3：4 C．4：25 D．9：61【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊長(zhǎng)，分別求出內(nèi)切圓與外接圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴AB==10cm，∴△ABC內(nèi)切圓的半徑==2cm，外接圓半徑==5cm，∴△ABC內(nèi)切圓與外接圓面積之比為4：25，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，外接圓與外心，掌握直角三角形的內(nèi)切圓與外接圓的半徑的求法是解題的關(guān)鍵．拓展點(diǎn)一：直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用例題：點(diǎn)A在圓O上，已知圓O的半徑是4，如果點(diǎn)A到直線a的距離是8，那么圓O與直線a的位置關(guān)系可能是（）A．相交 B．相離 C．相切或相交 D．相切或相離【分析】根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系解答．【解答】解：∵點(diǎn)A在圓O上，已知圓O的半徑是4，點(diǎn)A到直線a的距離是8，∴圓O與直線a的位置關(guān)系可能是相切或相離，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系解答．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．變式1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙C的半徑為，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無(wú)法確定【分析】過(guò)O作OD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出OD，把OD和比較即可得出答案．【解答】解：過(guò)O作OD⊥AB于D，由勾股定理得：AB==13，由三角形的面積公式得：AC×BC=AB×CD，∴5×12=13×CD，∴CD=＞，∴⊙O與AB的位置關(guān)系是相離，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，注意：判斷直線與圓的位置關(guān)系的思路是過(guò)圓心作直線的垂線，比較垂線段的長(zhǎng)和半徑的大小即可．變式2：⊙O半徑為5，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)直線和園的位置關(guān)系可知，圓的半徑小于直線到圓距離，則直線l與O的位置關(guān)系是相離．【解答】解：∵⊙O的半徑為5，圓心O到直線的距離為3，∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，直接根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系解答即可．拓展點(diǎn)二：切線判定的應(yīng)用例題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（3，0），將⊙P沿x軸左平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（）A．1 B．3 C．5 D．1或5【分析】分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫出答案即可．【解答】解：當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)圓與直線相切時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑．變式1：如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CD，垂足為點(diǎn)D，連結(jié)BC．BC平分∠ABD．求證：CD為⊙O的切線．【分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC=∠DBC，再證明OC∥BD，從而得到OC⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論．【解答】證明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥BD，∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD為⊙O的切線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．變式2：如圖，已知A、B、C、D、E是⊙O上五點(diǎn)，⊙O的直徑BE=2，∠BCD=120°，A為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)P，使BA=AP，連接PE．（1）求線段BD的長(zhǎng)；（2）求證：直線PE是⊙O的切線．【分析】（1）連接DE，如圖，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠DEB=60°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BDE=90°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算BD的長(zhǎng)；（2）連接EA，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠BAE=90°，而A為的中點(diǎn)，則∠ABE=45°，再根據(jù)等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP為等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論．【解答】（1）解：連接DE，如圖，∵∠BCD+∠DEB=180°，∴∠DEB=180°﹣120°=60°，∵BE為直徑，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，BD=DE=×=3；（2）證明：連接EA，如圖，∵BE為直徑，∴∠BAE=90°，∵A為的中點(diǎn)，∴∠ABE=45°，∵BA=AP，而EA⊥BA，∴△BEP為等腰直角三角形，∴∠PEB=90°，∴PE⊥BE，∴直線PE是⊙O的切線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理．拓展點(diǎn)三：切線性質(zhì)的應(yīng)用例題：如圖，一把直尺，60°的直角三角板和光盤如圖擺放，A為60°角與直尺交點(diǎn)，AB=3，則光盤的直徑是（）A．3 B． C．6 D．【分析】設(shè)三角板與圓的切點(diǎn)為C，連接OA、OB，由切線長(zhǎng)定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根據(jù)OB=ABtan∠OAB可得答案．【解答】解：設(shè)三角板與圓的切點(diǎn)為C，連接OA、OB，由切線長(zhǎng)定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，∴光盤的直徑為6，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線長(zhǎng)定理和解直角三角形的應(yīng)用．變式1：如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，AC、CD是⊙O的兩條弦，且CD∥AB，若⊙O的半徑為5，CD=8，則弦AC的長(zhǎng)為（）A．10 B．8 C．4 D．4【分析】由AB是圓的切線知AO⊥AB，結(jié)合CD∥AB知AO⊥CD，從而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．【解答】解：∵直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AB，又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，記垂足為E，∵CD=8，∴CE=DE=CD=4，連接OC，則OC=OA=5，在Rt△OCE中，OE===3，∴AE=AO+OE=8，則AC===4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑及垂徑定理．變式2：如圖，直線AB是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，OD∥AB交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，連接OC，EC，ED，則∠CED的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由切線的性質(zhì)知∠OCB=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠COD=90°，最后由圓周角定理可得答案．【解答】解：∵直線AB是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠COD=90°，∴∠CED=∠COD=45°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑及圓周角定理．拓展點(diǎn)四：切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用例題：如圖，PA、PB、分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，∠P=40°，則∠C的度數(shù)為（）A．40° B．140° C．70° D．80°【分析】連接OA，OB根據(jù)切線的性質(zhì)定理，切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，即可求得∠OAP，∠OBP的度數(shù)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求的∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理即可求解．【解答】解：∵PA是圓的切線．∴∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得：∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，以及圓周角定理，正確求得∠AOB的度數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵．變式1：如圖，圓外切四邊形ABCD，且AB=15，CD=9，則四邊形的周長(zhǎng)是48．【分析】利用圓外切四邊形的性質(zhì)定理可以得出，四邊形的周長(zhǎng)是對(duì)邊和的2倍，即可得．【解答】解：根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)定理可以得出，四邊形的周長(zhǎng)是對(duì)邊和的2倍，∴AB+BC+CD+AD=2×（15+9）=48．故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線長(zhǎng)定理以及圓外切四邊形的性質(zhì)，正確利用圓外切四邊形對(duì)邊和相等是解題關(guān)鍵．變式2：如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，PA=6，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，則△PCD的周長(zhǎng)是12．【分析】由PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：PB=PA=6，CA=CE，DB=DE，繼而可得△PCD的周長(zhǎng)=PA+PB．【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PB=PA=6，CA=CE，DB=DE，∴△PCD的周長(zhǎng)=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線長(zhǎng)定理．此題難度不大，注意從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．易錯(cuò)點(diǎn)一：混淆點(diǎn)與點(diǎn)的距離及點(diǎn)到直線的距離的概念例題：已知⊙O1的半徑為3cm，⊙O2的半徑為2cm，圓心距O1O2=4cm，則⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【分析】由⊙O1的半徑為3cm，⊙O2的半徑為2cm，圓心距O1O2為4cm，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關(guān)系．【解答】解：∵⊙O1的半徑為3cm，⊙O2的半徑為2cm，圓心距O1O2為4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是相交．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系．注意掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系是解此題的關(guān)鍵．變式1：已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以點(diǎn)P（﹣2，3）為圓心，2為半徑的圓P與x軸的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切C．相交 D．相離、相切、相交都有可能【分析】先求出點(diǎn)P到x軸的距離，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出選項(xiàng)即可．【解答】解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，3），∴點(diǎn)P到x軸的距離是3，∵2＜3，∴以點(diǎn)P（﹣2，3）為圓心，2為半徑的圓P與x軸的位置關(guān)系是相離，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記直線與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．變式2：已知⊙O的半徑為5，若PO=4，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法判斷【分析】已知圓O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離是d，①當(dāng)r＞d時(shí)，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，②當(dāng)r=d時(shí)，點(diǎn)P在⊙O上，③當(dāng)r＜d時(shí)，點(diǎn)P在⊙O外，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【解答】解：∵⊙O的半徑為5，若PO=4，∴4＜5，∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)P在⊙0內(nèi)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：已知圓O的半徑