2018年4月，教育部發(fā)布了《教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃》，2019年11月，教育部印發(fā)了《關(guān)于加強(qiáng)和改進(jìn)中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的意見(jiàn)》，在教育信息化背景下，利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件和工具來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析和圖形繪制，教師和學(xué)生可以通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作，有效地使用GeoGebra、Matlab、R軟件等，更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念。GeoGebra是一款強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，可以用于幾何、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)和微積分等多個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。它以圖形化的方式展示數(shù)學(xué)概念和現(xiàn)象，使抽象的數(shù)學(xué)概念更加直觀和可理解?？梢酝ㄟ^(guò)拖動(dòng)、調(diào)整對(duì)象的屬性以及創(chuàng)建動(dòng)畫(huà)等方式，實(shí)時(shí)觀察和探索數(shù)學(xué)中的規(guī)律和關(guān)系，因此，在高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中有著廣泛的應(yīng)用。一、基于GeoGebra的正態(tài)分布實(shí)驗(yàn)教學(xué)概述正態(tài)分布具有許多重要性質(zhì)，包括對(duì)稱(chēng)性、均值、中位數(shù)和眾數(shù)相等、標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線(xiàn)寬窄等。這種分布在自然界和人類(lèi)行為中經(jīng)常出現(xiàn)，對(duì)于建模和分析各種現(xiàn)象具有廣泛的應(yīng)用，如自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。正態(tài)分布基本上能描述所有常見(jiàn)的事物和現(xiàn)象：正常人群的身高、體重、考試成績(jī)、家庭收人等指標(biāo)背后的數(shù)據(jù)都會(huì)呈現(xiàn)一種中間密集、兩邊稀疏的特征。以身高為例，服從正態(tài)分布意味著大部分人的身高都會(huì)在人群的平均身高上下波動(dòng)，特別矮和特別高的都比較少見(jiàn)。我們研究正態(tài)分布，是因?yàn)楹芏嗟膶?duì)象都具有同質(zhì)性（比如都是成年的中國(guó)男子），所以其特征往往是趨同的，即存在一個(gè)基準(zhǔn)；但由于個(gè)體變異的存在（當(dāng)然變異不會(huì)太大），這些特征又不是完全一致，所以會(huì)以一定的幅度在基準(zhǔn)的上下波動(dòng)，從而形成了中間密集，兩側(cè)稀疏的特征，即呈現(xiàn)出正態(tài)分布數(shù)據(jù)?！罢龖B(tài)分布\"教學(xué)中，借助GeoGebra的動(dòng)態(tài)演示可以更加直觀地展示正態(tài)曲線(xiàn)參數(shù)對(duì)圖形的影響以及正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)等，學(xué)生直接操作圖形、動(dòng)態(tài)改變參數(shù)，可以實(shí)時(shí)觀察結(jié)果的變化，這種互動(dòng)性和探索性的學(xué)習(xí)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和問(wèn)題解決能力?！罢龖B(tài)分布”內(nèi)容包含了巨大的應(yīng)用價(jià)值與文化價(jià)值，此次研究既切實(shí)響應(yīng)了新課標(biāo)的要求，也符合了考綱的要求。希望通過(guò)分析高二學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的具體情況，針對(duì)其難點(diǎn)對(duì)“正態(tài)分布\"教學(xué)設(shè)計(jì)，做出分析和梳理。二、基于GeoGebra的正態(tài)分布實(shí)驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)與創(chuàng)新點(diǎn)（一）實(shí)驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)通過(guò)具體實(shí)例，利用GeoGebra軟件探究正態(tài)分布密度曲線(xiàn)及其特征，發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線(xiàn)與參數(shù)的關(guān)系，了解正態(tài)分布的特點(diǎn)；借助GeoGebra軟件理解正態(tài)分布的3o原則；通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和合作解決問(wèn)題的能力，有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。（二）實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新要點(diǎn)“正態(tài)分布\"教學(xué)中，借助GeoGebra軟件的動(dòng)態(tài)演示可以更加直觀地展示正態(tài)曲線(xiàn)參數(shù)對(duì)圖形的影響以及正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)等，師生直接操作圖形、動(dòng)態(tài)改變參數(shù)，可以實(shí)時(shí)觀察結(jié)果的變化，這種互動(dòng)性、探索性和體驗(yàn)式的學(xué)習(xí)方式，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和問(wèn)題解決能力，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的跨學(xué)科融合教學(xué)。三、實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程（一）在文化滲透中實(shí)現(xiàn)育人功能【片段1】正態(tài)分布的背景介紹正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布，正態(tài)分布（Normaldistribution），又稱(chēng)高斯分布或鐘形曲線(xiàn)，是一種常見(jiàn)的概率分布，其具有對(duì)稱(chēng)性和集中趨勢(shì)等特點(diǎn)。正態(tài)分布在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中廣泛存在，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要的概率分布之一，在統(tǒng)計(jì)推斷、參數(shù)估計(jì)、質(zhì)量控制等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程，下面列舉了其發(fā)展的一些重要階段及其代表人物。18世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿布拉罕·棣莫弗（AbrahamdeMoivre）在研究二項(xiàng)分布時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“正態(tài)曲線(xiàn)”。

[1]19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里?！じ咚梗–arlFriedrichGauss）獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布，并將其應(yīng)用于誤差分析，所以\"正態(tài)分布\"又名\"高斯分布（Gaussiandistribution）”。[2]設(shè)計(jì)意圖：在新高考改革背景下，伴隨新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，數(shù)學(xué)文化背景應(yīng)融人數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。在“正態(tài)分布\"教學(xué)實(shí)踐中，可對(duì)正態(tài)分布本身的規(guī)律進(jìn)行進(jìn)一步的探索。（二）從數(shù)學(xué)試驗(yàn)中培養(yǎng)分析意識(shí)【實(shí)驗(yàn)1高爾頓板實(shí)驗(yàn)在高爾頓板上釘著小釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間。上端放入一小球，至上往下滑落，最后小球落在底板上的某一凹槽中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，掉入各個(gè)球槽內(nèi)的小球個(gè)數(shù)越來(lái)越多，從中探究下落的小球在槽中的分布規(guī)律。觀察發(fā)現(xiàn)，小球在槽中呈現(xiàn)出“中間高，兩邊低”的分布特點(diǎn)?？梢宰C明，落在各個(gè)球槽內(nèi)小球的分布是二項(xiàng)分布N（n，0.5），用排列組合的相關(guān)知識(shí)給出解釋?zhuān)瑢W(xué)生自主思考“為何小球的分布服從二項(xiàng)分布”。設(shè)計(jì)意圖：高爾頓板實(shí)驗(yàn)展示了隨機(jī)性和規(guī)律性之間的關(guān)聯(lián)。雖然每一個(gè)小球從頂部落下時(shí)的運(yùn)動(dòng)路徑看似完全隨機(jī)，但當(dāng)大量小球通過(guò)釘板時(shí)，它們的落點(diǎn)分布卻呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的、具有預(yù)測(cè)性的曲線(xiàn)，即正態(tài)分布曲線(xiàn)。實(shí)驗(yàn)表明，看似隨機(jī)的現(xiàn)象背后，往往隱藏著某種規(guī)律性。學(xué)生通過(guò)近距離觀察高爾頓板實(shí)驗(yàn)，對(duì)二項(xiàng)分布中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，引入本節(jié)課的課題。這一活動(dòng)環(huán)節(jié)過(guò)渡自然且增強(qiáng)課堂趣味性，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。同時(shí)也是對(duì)二項(xiàng)分布、排列組合相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)，增強(qiáng)了學(xué)生綜合性思維能力。（三）從有限到無(wú)限培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)意識(shí)【實(shí)驗(yàn)2從頻率分布直方圖到總體密度曲線(xiàn)從高爾頓板實(shí)驗(yàn)中，我們可以猜測(cè)，二項(xiàng)分布的極限近似為一條曲線(xiàn)，當(dāng)實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)不斷增加，觀察二項(xiàng)分布的頻率分布直方圖的輪廓特點(diǎn)。學(xué)生猜測(cè)頻率分布直方圖中間高，兩邊低，利用GeoGebra軟件觀察二項(xiàng)分布趨近正態(tài)分布的過(guò)程。這是n=10.p=0.5的二項(xiàng)分布的頻率分布直方圖和折線(xiàn)圖。通過(guò)拖動(dòng)滑動(dòng)條，讓n增大，可以看到，折線(xiàn)圖越來(lái)越光滑，拖動(dòng)滑動(dòng)條也可以看到，ρ，值的改變只是讓圖形產(chǎn)生了左右平移的效果，對(duì)它的形狀并沒(méi)有影響。由此可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論，二項(xiàng)分布的極限就是正態(tài)分布。正態(tài)分布的密度曲線(xiàn)呈現(xiàn)出中間高，兩邊低的形態(tài)，形狀像一口大鐘，因此，也叫作鐘形曲線(xiàn)。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主猜想，再通過(guò)GeoGebra的呈現(xiàn)進(jìn)行驗(yàn)證。拖動(dòng)滑動(dòng)條，可以改變實(shí)驗(yàn)次數(shù)。隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，用二次分布趨近正態(tài)分布，在直觀層面，認(rèn)識(shí)到鐘形曲線(xiàn)就是或近似地是正態(tài)曲線(xiàn)，初步感受正態(tài)曲線(xiàn)的形狀特征。（四）從數(shù)學(xué)試驗(yàn)中提升探究能力片段2正態(tài)分布密度曲線(xiàn)及其特征探究剛才我們從視覺(jué)上看到了二項(xiàng)分布趨近正態(tài)分布的過(guò)程，事實(shí)上，正態(tài)分布曲線(xiàn)的表達(dá)式也是可以由二項(xiàng)分布推導(dǎo)出來(lái)的，這里我們直接給出公式，就是這條曲線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式?！緦?shí)驗(yàn)3】學(xué)生觀察正態(tài)曲線(xiàn)的圖像，并結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式，歸納正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)。利用GeoGebra觀察參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線(xiàn)的影響，引導(dǎo)學(xué)生固定一個(gè)參數(shù)，觀察另一個(gè)參數(shù)對(duì)圖像的影響，降低分析難度。同時(shí)，利用圖形變換引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱(chēng)性、最大值以及曲線(xiàn)的位置等方面歸納正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己通過(guò)演示操作把抽象的問(wèn)題直觀顯示出來(lái)，克服了過(guò)去單憑語(yǔ)言表達(dá)的空白乏力的缺陷，這樣的處理能很好地突破重難點(diǎn)。同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生主動(dòng)探索、合作交流的能力，也增強(qiáng)了學(xué)生自主思考的能力和積極學(xué)習(xí)的動(dòng)力。（五）從實(shí)例應(yīng)用中培養(yǎng)解決問(wèn)題能力【片段3】正態(tài)分布密度曲線(xiàn)實(shí)際應(yīng)用學(xué)生合作探究，教材選擇性必修三P86例設(shè)計(jì)意圖：例題中要求學(xué)生利用信息技術(shù)畫(huà)出密度曲線(xiàn)，既要讓學(xué)生掌握本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，又要通過(guò)例題的設(shè)置，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵能力。本質(zhì)上，需要學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，然后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述問(wèn)題，最后用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)?！酒?]3σ原則的實(shí)際應(yīng)用利用GeoGebra觀察參數(shù)對(duì)上述三個(gè)概率值的影響。設(shè)計(jì)意圖：利用GeoGebra，從數(shù)與形的角度體現(xiàn)3o原則的內(nèi)容，便于學(xué)生接受和理解。正態(tài)分布在實(shí)際生活中的舉例具有現(xiàn)實(shí)意義，對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)有啟發(fā)作用。四、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)總結(jié)（一）從本節(jié)課中反思本節(jié)的教學(xué)中，通過(guò)GeoGebra的動(dòng)畫(huà)演示，讓學(xué)生零距離地感受極限的思想和數(shù)形結(jié)合的思想。在學(xué)生的操作演練中，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。既提高了教學(xué)效率，又降低了教學(xué)難度。在講解正態(tài)分布原則時(shí)，加人了它對(duì)工業(yè)生產(chǎn)中零件生產(chǎn)的合格率的判斷作用，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活。（二）正態(tài)分布的思維啟發(fā)正態(tài)分布的一個(gè)神奇的地方，可以大概估算出數(shù)據(jù)的大致位置?，F(xiàn)實(shí)生活中雖然不能準(zhǔn)確地說(shuō)出正態(tài)分布的細(xì)節(jié)，但是只要知道它的分布形態(tài)就可以，遇到相關(guān)的案例，能大致做計(jì)算。正態(tài)分布、高斯分布、鐘形曲線(xiàn)其實(shí)本質(zhì)是相同的，正態(tài)分布思維模型的啟發(fā)在于，可以利用大概率事件，讓學(xué)生使用系統(tǒng)的眼光看待問(wèn)題，幫助學(xué)生在某些問(wèn)題上作出更科學(xué)的決定。（三）“正態(tài)分布\"實(shí)驗(yàn)效果評(píng)價(jià)本節(jié)“