平行四邊形性質(zhì)詳細(xì)講解與練習(xí)在平面幾何的世界里，平行四邊形是一種極其常見且重要的基本圖形。它不僅自身具有豐富的性質(zhì)，更是我們研究其他復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)。理解并熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)于解決各類幾何問(wèn)題至關(guān)重要。本文將帶你系統(tǒng)梳理平行四邊形的定義與性質(zhì)，并通過(guò)適量練習(xí)加以鞏固。一、什么是平行四邊形？——定義回顧在開始深入探討之前，我們首先明確平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形。這個(gè)定義是我們研究其一切性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn)。通常，我們用符號(hào)“?”來(lái)表示平行四邊形，例如，平行四邊形ABCD可以記作?ABCD，讀作“平行四邊形ABCD”。在表示時(shí)，一般按頂點(diǎn)的順序依次書寫。二、深入探究：平行四邊形的性質(zhì)基于上述定義，我們可以推導(dǎo)出平行四邊形的一系列固有性質(zhì)。這些性質(zhì)主要體現(xiàn)在它的邊、角以及對(duì)角線上。（一）邊的性質(zhì)1.平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。這是由其定義直接衍生出來(lái)的核心性質(zhì)。既然是“兩組對(duì)邊分別平行”，那么“對(duì)邊平行”是定義的要求。而“對(duì)邊相等”則需要通過(guò)簡(jiǎn)單的推理得到：我們可以連接平行四邊形的一條對(duì)角線，將其分成兩個(gè)三角形，利用平行線的性質(zhì)（如內(nèi)錯(cuò)角相等）以及全等三角形的判定（如ASA或AAS），即可證明這兩個(gè)三角形全等，從而得出對(duì)應(yīng)邊相等，即平行四邊形的對(duì)邊相等。例如，在?ABCD中，AB平行且等于CD，AD平行且等于BC。（二）角的性質(zhì)1.平行四邊形的對(duì)角相等。由于平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出相鄰的兩個(gè)角互補(bǔ)。進(jìn)而，通過(guò)等量代換，可以得出相對(duì)的兩個(gè)角是相等的。例如，在?ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。2.平行四邊形的鄰角互補(bǔ)。如上所述，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊平行，所以任意一組鄰角（即有一條公共邊的兩個(gè)角）都是同旁內(nèi)角，它們的和為180度。例如，在?ABCD中，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，依此類推。（三）對(duì)角線的性質(zhì)1.平行四邊形的對(duì)角線互相平分。這是平行四邊形關(guān)于對(duì)角線的一個(gè)重要特性。所謂“互相平分”，是指兩條對(duì)角線相交，交點(diǎn)將每條對(duì)角線分成了相等的兩段。例如，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則OA=OC，OB=OD。這一性質(zhì)同樣可以通過(guò)證明三角形全等來(lái)獲得，連接兩條對(duì)角線后，會(huì)形成兩對(duì)全等的三角形。（四）對(duì)稱性平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。也就是說(shuō)，將平行四邊形繞其對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后，能夠與自身完全重合。但需要注意的是，一般的平行四邊形（除了特殊的平行四邊形如矩形、菱形、正方形外）并不是軸對(duì)稱圖形。三、例題解析：性質(zhì)的初步應(yīng)用理解了上述性質(zhì)，我們來(lái)看看如何運(yùn)用它們解決實(shí)際問(wèn)題。例題1：在?ABCD中，已知AB=5cm，AD=3cm，求其周長(zhǎng)。分析與解答：根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，我們知道AB=CD=5cm，AD=BC=3cm。因此，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為AB+BC+CD+DA=5+3+5+3=16cm。所以，該平行四邊形的周長(zhǎng)為16cm。例題2：在?ABCD中，若∠A的度數(shù)為50°，求其他三個(gè)角的度數(shù)。分析與解答：依據(jù)平行四邊形對(duì)角相等的性質(zhì)，∠A=∠C=50°。又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚泥徑腔パa(bǔ)，所以∠A+∠B=180°，即∠B=180°-50°=130°。再根據(jù)對(duì)角相等，∠D=∠B=130°。因此，其他三個(gè)角的度數(shù)分別為∠B=130°，∠C=50°，∠D=130°。例題3：在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，已知OA=3cm，OB=4cm，求AC和BD的長(zhǎng)度。分析與解答：由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分，所以點(diǎn)O是AC和BD的中點(diǎn)。因此，AC=2OA=2×3=6cm，BD=2OB=2×4=8cm。故AC的長(zhǎng)度為6cm，BD的長(zhǎng)度為8cm。四、鞏固練習(xí)掌握知識(shí)的最佳途徑是實(shí)踐。請(qǐng)嘗試解決以下練習(xí)題，檢驗(yàn)?zāi)愕睦斫獬潭?。練?xí)1：選擇題在?ABCD中，下列結(jié)論不一定成立的是（）A.AB=CDB.AC=BDC.∠A+∠C=180°D.AD∥BC練習(xí)2：填空題1.已知?ABCD的周長(zhǎng)為20cm，其中一邊長(zhǎng)為6cm，則其鄰邊長(zhǎng)為______cm。2.在?ABCD中，∠A比∠B小20°，則∠C的度數(shù)為______。3.平行四邊形的兩條對(duì)角線相交，形成的其中一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為15，若一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，另一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，則這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)為______。練習(xí)3：解答題已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF。求證：BE=DF。五、練習(xí)答案與解析練習(xí)1：B解析：選項(xiàng)A、D是平行四邊形定義和性質(zhì)直接給出的。選項(xiàng)C中，∠A與∠C是對(duì)角，相等，所以∠A+∠C=2∠A，只有當(dāng)∠A為90°時(shí)才等于180°，一般情況下不成立，這里題目問(wèn)的是“不一定成立”，但B選項(xiàng)“AC=BD”是矩形的性質(zhì)，普通平行四邊形對(duì)角線不一定相等，所以B一定不成立，更符合“不一定成立”（即可能不成立）。C選項(xiàng)在一般平行四邊形中∠A+∠C=2∠A，確實(shí)不等于180°，所以C也是錯(cuò)誤的。嗯，這里可能題目設(shè)置有歧義。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，A、D一定成立。B、C一定不成立。如果是單選題，可能題目想考察的是B選項(xiàng)，因?yàn)镃選項(xiàng)的表述本身就是錯(cuò)誤的（∠A和∠C是對(duì)角，應(yīng)該相等，所以它們的和是2∠A，不是180°，除非∠A=90°）。所以正確答案應(yīng)該是B，因?yàn)锳C=BD只有特殊平行四邊形才有。練習(xí)2：1.4cm解析：平行四邊形對(duì)邊相等，周長(zhǎng)為20，則相鄰兩邊之和為10。已知一邊長(zhǎng)6，則鄰邊長(zhǎng)為10-6=4。2.80°解析：設(shè)∠A=x，則∠B=x+20°。因?yàn)椤螦+∠B=180°，所以x+(x+20°)=180°，解得x=80°，即∠A=80°，所以∠C=∠A=80°。3.20解析：兩條對(duì)角線相交，互相平分。所以三角形的周長(zhǎng)=一條對(duì)角線的一半+另一條對(duì)角線的一半+一邊長(zhǎng)=(8/2)+(6/2)+邊長(zhǎng)=4+3+邊長(zhǎng)=15，所以邊長(zhǎng)=8。則平行四邊形的周長(zhǎng)為4×邊長(zhǎng)？不，是兩組對(duì)邊，所以周長(zhǎng)為2×(8+另一邊)？哦，不對(duì)，這里只求出了一條邊。因?yàn)閮蓷l對(duì)角線一半分別是4和3，構(gòu)成三角形的兩邊，第三邊就是平行四邊形的一邊，為8。同理，另一個(gè)相鄰的三角形周長(zhǎng)也是15，會(huì)得到另一條邊?；蛘哒f(shuō)，兩條鄰邊的長(zhǎng)度分別為：15-4-3=8和15-4-3=8？不，不對(duì)。應(yīng)該是，兩條對(duì)角線相交后，形成四個(gè)三角形，相對(duì)的兩個(gè)三角形全等。已知一個(gè)三角形周長(zhǎng)15，它的三邊是4，3，a（平行四邊形一邊），所以a=15-4-3=8。另一個(gè)相鄰的三角形周長(zhǎng)也是15（因?yàn)閷?duì)角線互相平分，另兩邊是4和3，另一邊是b），所以b=15-4-3=8？那平行四邊形四邊都相等了？這只是一種特殊情況。哦，題目說(shuō)“其中一個(gè)三角形”，所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是15，那么這個(gè)三角形的三邊是3、4、a，所以a=8。那么平行四邊形的周長(zhǎng)是2*(a+b)。但我們不知道b。哦，我明白了，題目可能是說(shuō)兩條對(duì)角線和一邊構(gòu)成的三角形？不，題目說(shuō)“形成的其中一個(gè)三角形”，平行四邊形兩條對(duì)角線相交形成四個(gè)三角形，每個(gè)三角形的三邊都是一條對(duì)角線的一半和一條邊。所以知道一個(gè)三角形周長(zhǎng)15，兩條對(duì)角線一半分別是4和3，那么這個(gè)三角形的第三邊（平行四邊形的一邊）就是15-4-3=8。同理，與它相對(duì)的三角形三邊也是3、4、8。另外兩個(gè)相鄰的三角形，三邊是4、3、b（平行四邊形的另一條邊）。但題目沒(méi)有說(shuō)另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)，所以我們只能求出一條邊是8。那這里題目是不是想說(shuō)兩條對(duì)角線和周長(zhǎng)的關(guān)系？或者，可能我理解錯(cuò)了。如果一條對(duì)角線8，另一條6，那么它們的一半分別是4和3。三角形周長(zhǎng)15=4+3+邊長(zhǎng)，所以邊長(zhǎng)=8。那么另一條邊呢？如果題目中“其中一個(gè)三角形”指的是包含平行四邊形兩條鄰邊的情況？不對(duì)，不可能。哦，或許題目是說(shuō)，兩條對(duì)角線相交，形成的四個(gè)三角形中，有一個(gè)的周長(zhǎng)是15。那么這個(gè)三角形的三條邊是：4（一條對(duì)角線的一半），3（另一條對(duì)角線的一半），和一條平行四邊形的邊（設(shè)為a）。所以4+3+a=15→a=8。同理，相鄰的另一個(gè)三角形，三邊是4，3，和平行四邊形的另一條邊（設(shè)為b），它的周長(zhǎng)也是15的話，b=8，那么平行四邊形周長(zhǎng)是2*(8+8)=32。但題目沒(méi)說(shuō)另一個(gè)三角形周長(zhǎng)。所以這里可能題目條件給的是兩條對(duì)角線和一個(gè)三角形周長(zhǎng)，求平行四邊形周長(zhǎng)。那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是15，即(AC/2)+(BD/2)+AB=15→(8/2)+(6/2)+AB=15→4+3+AB=15→AB=8。同理，(AC/2)+(BD/2)+BC=15→BC=8。所以平行四邊形周長(zhǎng)是2*(8+8)=32？但這樣就變成菱形了。或者，題目中的“其中一個(gè)三角形”可能不是這個(gè)。嗯，可能我之前的思路是對(duì)的，題目可能想表達(dá)的是，已知一個(gè)由一條對(duì)角線和兩條鄰邊組成的三角形周長(zhǎng)？不，對(duì)角線是兩條。這道題可能有點(diǎn)不嚴(yán)謹(jǐn)，或者我理解有偏差。按照最初的理解，只知道一條邊是8，無(wú)法求周長(zhǎng)。所以可能題目中的“形成的其中一個(gè)三角形”的周長(zhǎng)15，是指兩條對(duì)角線的一半和一條邊的和。那么15=4+3+a→a=8。另一條邊也是如此，所以周長(zhǎng)是2*(8+8)=32？或者題目可能是說(shuō)兩條對(duì)角線的和是8+6=14，三角形周長(zhǎng)15，那么兩條鄰邊的和是15*2-14=30-14=16，所以平行四邊形周長(zhǎng)是16*2=32？這似乎更合理。所以答案是32？但我之前給的答案是20。這里我需要修正一下。正確的解析應(yīng)該是：兩條對(duì)角線相交，互相平分。設(shè)交點(diǎn)為O。則AO=4，BO=3。一個(gè)三角形，比如△AOB的周長(zhǎng)是AO+BO+AB=4+3+AB=15，所以AB=8。同理，△BOC的周長(zhǎng)是BO+CO+BC=3+4+BC=15，所以BC=8。所以平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是2*(AB+BC)=2*(8+8)=32。所以練習(xí)2第3題的答案應(yīng)該是32。之前的20是錯(cuò)誤的。練習(xí)3：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四邊形對(duì)邊平行且相等）?！唷螧AE=∠DCF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）?！郆E=DF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。六、總結(jié)與思考平行