BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY線性非時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)域描述系統(tǒng)的時(shí)域分析

線性非時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)域描述

時(shí)域描述：建立系統(tǒng)輸出與輸入之間的約束關(guān)系LR一階電路系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系，可由一階微分方程描述根據(jù)KVL，可得1.連續(xù)LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述

輸入：x(t)；輸出：i(t)LR電路LRC二階電路系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系，用由二階微分方程描述根據(jù)電路基本理論，可得：輸入：x(t)；輸出：y(t)LRC電路1.連續(xù)LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系可由線性常系數(shù)微分方程進(jìn)行描述1.連續(xù)LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述

描述不同連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是相似的，其輸入-輸出關(guān)系都可利用微分方程進(jìn)行描述。1.連續(xù)LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述

連續(xù)LTI系統(tǒng)具有線性特性和非時(shí)變特性，因此有:

微分特性若則有

積分特性若則有【例】已知某連續(xù)LTI系統(tǒng)在x1(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)為y1(t)

，

試求該系統(tǒng)在x2(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)y2(t)

。解：從x1(t)和x2(t)圖形可以看得出，x2(t)與x1(t)存在以下關(guān)系因此，y2(t)與y1(t)之間也存在同樣的關(guān)系【例】已知信號(hào)x1(t)=u(t)-u(t-1)通過(guò)某連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

y1(t)

=d(t-1)-d(t-2)，試求該系統(tǒng)在x2(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)y2(t)

。解：滑動(dòng)平均系統(tǒng)2.離散LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述

（其中x[－2]=0，x[－1]=0）3點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)離散LTI系統(tǒng)一般用線性常系數(shù)差分方程描述2.離散LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述

不同離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是相似的，都可用差分方程描述。可以用前向差分方程和后向差分方程描述離散系統(tǒng)，若輸入/輸出信號(hào)是因果信號(hào)，一般用后向差分方程。是各項(xiàng)系數(shù)，a0=1。離散LTI系統(tǒng)一般用線性常系數(shù)差分方程描述

或簡(jiǎn)寫(xiě)成2.離散LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述

2.離散LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述

離散LTI系統(tǒng)具有線性特性和非時(shí)變特性，因此有:

差分特性若則有

求和特性若則有【例】已知離散時(shí)間LTI系統(tǒng)在x1[k]激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)為y1[k]

，

試求該系統(tǒng)在x2[k]激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)y2[k]

。解：從x1[k]和x2[k]圖形可以看得出，x2[k]與x1[k]存在以下關(guān)系因此，y2[k]與y1[k]之間也存在同樣的關(guān)系解：M點(diǎn)的滑動(dòng)平均系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系為利用M點(diǎn)的滑動(dòng)平均系統(tǒng)從信號(hào)x[k]中濾除噪聲信號(hào)n[k]原始信號(hào)：

s[k]=5+2cos(0.02pk)+(2k)0.9k噪聲信號(hào)：n[k]加噪信號(hào)：x[k]=s[k]+n[k]【例】

利用M點(diǎn)的滑動(dòng)平均系統(tǒng)濾除信號(hào)噪聲。 【例】

利用M點(diǎn)的滑動(dòng)平均系統(tǒng)濾除信號(hào)噪聲。 【例】

利用M點(diǎn)的滑動(dòng)平均系統(tǒng)濾除信號(hào)噪聲。 %SignalSmoothingbyMovingAverageFilterN=201;n=1.0*rand(1,N)-0.5;k=0:N-1;s=2*k.*(0.9.^k)+2.0*cos(0.02*pi*k)+5.0;x=s+n;subplot(2,1,1);plot(k,n,'k-',k,s,'b--',k,x,'m-');xlabel('Timeindexk');legend('n[k]','s[k]','x[k]');M=5;

b=ones(M,1)/M;

a=[1];y=filter(b,a,x);subplot(2,1,2);plot(k,s,'b-',k,y,'r-');xlabel('Timeindexk');legend('s[k]','y[k]');謝謝

本課程所引用的一些素材為主講老師多年的教學(xué)積累，來(lái)源于多種媒體以及同事與同行的交流，難以一一注明出處，特此說(shuō)明并表示感謝！

線性非時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)域描述

BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域分析連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域分析

基于求解線性常系數(shù)微分方程的方法

基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

連續(xù)LTI系統(tǒng)的時(shí)域特性—沖激響應(yīng)連續(xù)LTI系統(tǒng)輸入信號(hào)x(t)輸出信號(hào)y(t)

微分方程的全解由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成

齊次解yh(t)的形式由微分方程對(duì)應(yīng)的特征根確定

特解yp(t)的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定1.基于求解線性常系數(shù)微分方程的方法

連續(xù)LTI系統(tǒng)可由線性常系數(shù)微分方程描述[例]

已知描述某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為

初始條件y(0+)=1,y'(0+)=2,輸入信號(hào)x(t)=e－tu(t)，求全解y(t)。特征根為齊次解yh(t)解:

(1)

確定齊次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齊次解yh(t)的形式特征方程為t>01.基于求解線性常系數(shù)微分方程的方法

解:(2)求微分方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=x(t)的特解yp(t)由輸入x(t)的形式，設(shè)方程的特解為yp(t)=Ce－t將特解帶入原微分方程即可求得待定系數(shù)C=1/3。t>01.基于求解線性常系數(shù)微分方程的方法

[例]

已知描述某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為

初始條件y(0+)=1,y'(0+)=2,輸入信號(hào)x(t)=e－tu(t)，求全解y(t)。解:(3)求微分方程的全解A=5/2，B=－11/61.基于求解線性常系數(shù)微分方程的方法

[例]

已知描述某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為

初始條件y(0+)=1,y'(0+)=2,輸入信號(hào)x(t)=e－tu(t)，求全解y(t)。若輸入信號(hào)發(fā)生變化，須全部重新求解若初始條件發(fā)生變化，須全部重新求解

若微分方程激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理難以體現(xiàn)信號(hào)與LTI系統(tǒng)的內(nèi)在作用機(jī)理基于求解常系數(shù)微分方程的方法不足之處1.基于求解線性常系數(shù)微分方程的方法

2.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)LTI系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)響應(yīng)看作是由系統(tǒng)的初始狀態(tài)與輸入信號(hào)分別作用于系統(tǒng)而產(chǎn)生的響應(yīng)之疊加。初始狀態(tài)：y(0-)輸入信號(hào)：x(t)零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：零輸入響應(yīng)電容放電系統(tǒng)系統(tǒng)沒(méi)有外部的輸入，只有電容的初始儲(chǔ)能。

輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用于系統(tǒng)而產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)，記為。2.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

電容電壓示意圖yzi(t)=Uc(t)+-零輸入響應(yīng)

上式為齊次方程，因此零輸入響應(yīng)具有齊次解的形式描述連續(xù)LTI系統(tǒng)的線性常系數(shù)微分方程為當(dāng)輸入x(t)=02.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

零狀態(tài)響應(yīng)電容充電系統(tǒng)電容的初始儲(chǔ)能為零，僅由外部輸入作用而產(chǎn)生的輸出。

初始狀態(tài)為零，僅由系統(tǒng)的外部信號(hào)x(t)產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yzs(t)表示。2.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

電容電壓示意圖yzs(t)=Uc(t)+-(1)

輸入信號(hào)x(t)表示為單位沖激信號(hào)d(t)的線性組合零狀態(tài)響應(yīng)分析方法(2)分析d(t)作用于LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)—沖激響應(yīng)h(t)(3)利用LTI系統(tǒng)的特性，即可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)

2.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

時(shí)：非時(shí)變特性：均勻性：疊加性：x(t)零狀態(tài)響應(yīng)2.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

系統(tǒng)沖激響應(yīng)求解齊次微分方程系統(tǒng)響應(yīng)

=零輸入響應(yīng)

+零狀態(tài)響應(yīng)2.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

信號(hào)與系統(tǒng)作用機(jī)理※

連續(xù)LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)

※連續(xù)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)

※連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)

2.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

連續(xù)LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用

而產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)，記為。數(shù)學(xué)模型:求解過(guò)程1.求出微分方程對(duì)應(yīng)的特征根2.根據(jù)特征根確定零輸入響應(yīng)的形式3.代入系統(tǒng)的初始狀態(tài)，解出待定系數(shù)連續(xù)LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)yzi(t)的形式(1)

特征根出現(xiàn)不等實(shí)根s1,s2,

,sn(2)

特征根出現(xiàn)相等實(shí)根s1=s2=

=sn=s(3)

特征根出現(xiàn)成對(duì)共軛復(fù)根連續(xù)LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

【例】已知描述某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為

初始狀態(tài)y(0－)=1,y'(0－)=2，求零輸入響應(yīng)。解：特征方程為

s2+6s+8=0特征根為s1=－2,s2=－4（兩不等實(shí)根）K1=3，K2=－2y(0－)=yzi(0－)=K1+K2=1;y'(0－)=y’zi(0－)=

－2K1-4K2=2【例】

已知描述某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為:

y"(t)+4y'(t)+4y(t)=3x(t),t>0初始狀態(tài)為y(0－)=2，y'(0－)=－1，求零輸入響應(yīng)yzi(t)。解:

特征方程為特征根為（兩相等實(shí)根）y(0－)=yzi(0－)=K1=2;y'(0－)=y’zi(0－)=－2K1+K2=-1

K1=2,K2=3[例]

已知描述某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為:y"(t)+2y'(t)+5y(t)=4x(t),t>0初始狀態(tài)為y(0－)=1，y'(0－)=3，求零輸入響應(yīng)yzi(t)。解:

特征方程為特征根為（兩個(gè)共軛復(fù)根）K1=1,K2=2y(0－)=yzi(0－)=K1=1y'(0－)=y'zi(0－)=－K1+2K2=3※連續(xù)LTI系統(tǒng)零輸入響應(yīng)yzi(t)

※連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)

※連續(xù)LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)

2.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下，以沖激信號(hào)δ

(t)激勵(lì)系統(tǒng)

所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，以符號(hào)h(t)表示。)(th)(td（系統(tǒng)初始狀態(tài)為零）系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)反映了連續(xù)LTI系統(tǒng)的時(shí)域特性。其只與系統(tǒng)本身特性有關(guān)，而與系統(tǒng)的輸入和輸出無(wú)關(guān)。連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

則連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)滿足若描述連續(xù)LTI系統(tǒng)的線性常系數(shù)微分方程為當(dāng)t>0時(shí)，d(t)及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值均等于零。連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

分析：試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。【例】

描述某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)x(t)為d(t)，輸出信號(hào)y(t)則為h(t)當(dāng)t>0時(shí)，d(t)=0，描述系統(tǒng)的微分方程為故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)具有齊次解形式描述系統(tǒng)的微分方程為連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。這種方法稱為沖激平衡法將齊次解代入微分方程如何確定齊次解的待定系數(shù)？使方程兩邊同類項(xiàng)平衡，求出待定系數(shù)，得到h(t)?！纠?/p>

描述某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

解：A=2試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。【例】

描述某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為代入微分方程特征根s=－3特征根s=－3,如果仍設(shè)

若則沖激響應(yīng)有何變化？方程兩端無(wú)法平衡！代入得到：若使其平衡，h(t)需要加上u(t)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即d(t)解得A=－1,B=1則代入可見(jiàn)沖激響應(yīng)的形式要根據(jù)微分方程的情況設(shè)定若則沖激響應(yīng)有何變化？連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)滿足微分方程(1)

當(dāng)n>m

時(shí)(假設(shè)特征根為不等實(shí)根)(2)

當(dāng)n

m

時(shí),h(t)應(yīng)含有沖激及其高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)滿足微分方程由微分方程的特征根確定u(t)前的指數(shù)形式（假設(shè)為不等實(shí)根）。由微分方程d(t)的最高階導(dǎo)數(shù)與h(t)的最高階導(dǎo)數(shù)確定d

(j)(t)項(xiàng)。連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

※連續(xù)LTI系統(tǒng)零輸入響應(yīng)yzi(t)

※連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)

※連續(xù)LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)

2.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

若輸入信號(hào)為x(t)，連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t），則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)為：由此可見(jiàn)，連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是輸入信號(hào)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分，此揭示了信號(hào)與LTI系統(tǒng)在時(shí)域的內(nèi)在作用機(jī)理。（卷積）連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

若信號(hào)x(t)與h(t)可用解析函數(shù)式表達(dá)，則可以利用解析方法來(lái)計(jì)算卷積積分。解析方法：

直接按照卷積積分的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算信號(hào)卷積積分的計(jì)算

解：由卷積定義

【例】計(jì)算由得到

由此可得解:【例】計(jì)算(1)將x(t)和h(t)中的自變量由t改為

；圖形法計(jì)算卷積積分的步驟：(2)將其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)得h(－

)，再平移t得到h(t－

)；(3)將x(t)與h(t－

)相乘，對(duì)乘積后信號(hào)進(jìn)行積分。(4)不斷改變平移量t，分別計(jì)算x(t)h(t－

)的積分。圖形方法：信號(hào)卷積積分的計(jì)算

【例】

計(jì)算y(t)=x(t)*h(t)。(1)t

<0解：(2)0

t

<1解：【例】

計(jì)算y(t)=x(t)*h(t)。(3)1

t

<2解：【例】

計(jì)算y(t)=x(t)*h(t)。(4)2

t

<3解：【例】

計(jì)算y(t)=x(t)*h(t)。(5)3

t解：【例】

計(jì)算y(t)=x(t)*h(t)。解：綜上可得：兩不等寬矩形的卷積為等腰梯形，下底為兩信號(hào)寬度之和，上底為兩信號(hào)寬度之差，高為兩信號(hào)最大重合時(shí)的面積。兩個(gè)信號(hào)的卷積，卷積結(jié)果仍為一個(gè)信號(hào)。該信號(hào)的起點(diǎn)等于那兩個(gè)信號(hào)起點(diǎn)之和，終點(diǎn)等于那兩個(gè)信號(hào)的終點(diǎn)之和。【例】

計(jì)算y(t)=x(t)*h(t)。(1)交換律：

x1(t)*x2(t)=x2(t)*x1(t)(2)分配律：

[x1(t)+x2(t)]*x3(t)=x1(t)*x3(t)+x2(t)*x3(t)(3)結(jié)合律：

[x1(t)*x2(t)]*x3(t)=x1(t)*[x2(t)*x3(t)]信號(hào)卷積積分的性質(zhì)

平移特性：

若x1(t)*x2(t)=y(t)

則x1(t－t1)*x2(t－t2)=y(t－t1－t2)x(t)*

(t)=x(t)

x1(t－2)*x2(t－2)

y(t－2)x(t)*

(t

－

t0)=x(t－t0)

x(t－t1)*

(t－t2)=x(t－t1－t2)

信號(hào)卷積積分的性質(zhì)

等效特性：

微分特性：積分特性：若x

(t)*h(t)=y(t)，則若x

(t)*h(t)=y(t)，則x(t)*

'(t)=x'(t)信號(hào)卷積積分的性質(zhì)

x(t)*

(t)=x(t)

x(t)*

(t)=x(t)

三角波周期沖激串信號(hào)解：利用卷積的平移特性x(t)*

(t－T)=x(t－T)周期沖激串信號(hào)求出三角波分別與中各沖激信號(hào)的卷積，利用卷積分配律將各個(gè)卷積結(jié)果相加即可?！纠坑?jì)算信號(hào)x1(t)與

當(dāng)T=2和T=1時(shí)的卷積。三角波周期沖激串信號(hào)周期沖激串解：T=2x(t)*

(t－2)=x(t－2)﹡＝【例】計(jì)算信號(hào)x1(t)與

當(dāng)T=2和T=1時(shí)的卷積。﹡＝三角波周期沖激串信號(hào)T=1【例】計(jì)算信號(hào)x1(t)與

當(dāng)T=2和T=1時(shí)的卷積。周期沖激串解：x(t)*

(t－1)=x(t－1)解:【例】利用平移特性及u(t)*u(t)=r(t)，計(jì)算y(t)=x(t)*h(t)。y(t)=x(t)*h(t)=[u(t)－u(t－1)]*[u(t)－u(t－2)]=u(t)*u(t)－u(t－1)*u(t)－u(t)*u(t－2)+u(t－1)*u(t－2)=r(t)–r(t－1)－

r(t－2)+r(t－3)解:【例】利用信號(hào)卷積的等效特性，計(jì)算y(t)=x(t)*h(t)。x'(t)=d

(t)－d

(t－1)y'(t)=x'(t)*h(t)=h(t)－h(huán)(t－1)謝謝

本課程所引用的一些素材為主講老師多年的教學(xué)積累，來(lái)源于多種媒體以及同事與同行的交流，難以一一注明出處，特此說(shuō)明并表示感謝！

連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域分析

BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY沖激響應(yīng)表示的連續(xù)系統(tǒng)特性沖激響應(yīng)表示的連續(xù)系統(tǒng)特性

級(jí)聯(lián)連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)并聯(lián)連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)與LTI系統(tǒng)因果性沖激響應(yīng)與LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性沖激響應(yīng)表示的連續(xù)系統(tǒng)特性系統(tǒng)不同則其沖激響應(yīng)h(t)也不同，h

(t)反映了連續(xù)LTI系統(tǒng)的時(shí)域特性。理想積分器：理想微分器：無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)：K為正常數(shù)，td是輸入信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后的延遲時(shí)間。沖激響應(yīng)表示的連續(xù)系統(tǒng)特性幾個(gè)常見(jiàn)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)1.級(jí)聯(lián)連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)（集線器級(jí)聯(lián)）h(t)結(jié)合律：

[x1(t)*x2(t)]*x3(t)=x1(t)*[x2(t)*x3(t)]系統(tǒng)并聯(lián)（計(jì)算機(jī)并聯(lián)）2.并聯(lián)連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)

分配律：

[x1(t)+x2(t)]*x3(t)=x1(t)*x3(t)+x2(t)*x3(t)[例]

求圖示連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，其中h1(t)=e－3tu(t)，h2(t)=δ

(t－1)，h3(t)=u(t)。解：

子系統(tǒng)h1(t)與h2(t)級(jí)聯(lián)，h3(t)支路與h1(t)h2(t)級(jí)聯(lián)支路并聯(lián)。[例]

求圖示連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，其中h1(t)=e－3tu(t)，h2(t)=δ

(t－1)，h3(t)=u(t)。解：

因果系統(tǒng)定義：系統(tǒng)t0時(shí)刻的輸出只與t0時(shí)刻及以前的輸入信號(hào)有關(guān)。換言之，系統(tǒng)的輸出不超前于輸入。對(duì)于連續(xù)LTI系統(tǒng)，其為因果系統(tǒng)的充分必要條件3.沖激響應(yīng)與LTI系統(tǒng)因果性穩(wěn)定系統(tǒng)定義：若系統(tǒng)對(duì)任意的有界輸入其輸出也有界，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。(BIBO穩(wěn)定)對(duì)于連續(xù)LTI系統(tǒng)，其為穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件為4.沖激響應(yīng)與LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性[例]已知某連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=eatu(t)，

試判斷該系統(tǒng)是否為因果、穩(wěn)定的系統(tǒng)。解：由于h(t)=eatu(t)，

當(dāng)

a<0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

當(dāng)

a

0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。由于滿足分析了連續(xù)LTI系統(tǒng)的時(shí)域特性—沖激響應(yīng)給出了連續(xù)LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述—微分方程連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析小結(jié)揭示了信號(hào)與LTI系統(tǒng)的作用機(jī)理—連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例x(t)y(t)【例】解:【例】，計(jì)算連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例解:【例】，計(jì)算連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例(2)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)；（4)系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)；(1)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)；(3)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；（5)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定?！纠棵枋瞿骋蚬倪B續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為激勵(lì)信號(hào)x(t)=u(t)，初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=2。試求：解：(1)

系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)特征根為，，代入初始狀態(tài)K1=6,K2=－5特征方程 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為激勵(lì)信號(hào)x(t)=u(t)，初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=2。試求：解：

(2)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)

利用沖激平衡法，設(shè)h(t)的形式為代入，求得待定系數(shù)A=1，B=－1?？傻脹_激響應(yīng)為連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為激勵(lì)信號(hào)x(t)=u(t)，初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=2。試求：解：(3)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)等于系統(tǒng)輸入信號(hào)與沖激響應(yīng)的卷積連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為激勵(lì)信號(hào)x(t)=u(t)，初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=2。試求：解：(4)

系統(tǒng)的完全響應(yīng)為和y(t)的波形如右圖所示。連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為激勵(lì)信號(hào)x(t)=u(t)，初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=2。試求：解：(4)

系統(tǒng)的完全響應(yīng)為完全響應(yīng)還可分解為：固有響應(yīng)yh(t)和強(qiáng)迫響應(yīng)yp(t):瞬態(tài)響應(yīng)yt(t)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)ys(t):連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為激勵(lì)信號(hào)x(t)=u(t)，初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=2。試求：y(t)=yh(t)+yp(t)

y(t)=

yt(t)+ys(t)

固有響應(yīng)yh(t)：與系統(tǒng)微分方程特征根對(duì)應(yīng)的響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)yp(t)：與系統(tǒng)的外部輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)yt(t)：隨時(shí)間增長(zhǎng)趨于0的分量穩(wěn)態(tài)響應(yīng)ys(t)：隨時(shí)間增長(zhǎng)不趨于0的分量連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例解：(4)

系統(tǒng)的完全響應(yīng)為連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為激勵(lì)信號(hào)x(t)=u(t)，初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=2。試求：解：(5)

判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定

該連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為因而該連續(xù)LTI系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為激勵(lì)信號(hào)x(t)=u(t)，初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=2。試求：解：

若例題中激勵(lì)信號(hào)改變?yōu)閤1(t)=0.5u(t?1)

，重求系統(tǒng)的零、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)y(t)。由于系統(tǒng)的初始狀態(tài)未變，故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)不變，即

激勵(lì)信號(hào)為利用系統(tǒng)的線性特性和非時(shí)變特性，可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為輸入響應(yīng)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例零狀態(tài)響應(yīng)：解：零輸入響應(yīng)：若例題中激勵(lì)信號(hào)改變?yōu)閤1(t)=0.5u(t?1)

，重求系統(tǒng)的零、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)y(t)。輸入響應(yīng)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例謝謝

本課程所引用的一些素材為主講老師多年的教學(xué)積累，來(lái)源于多種媒體以及同事與同行的交流，難以一一注明出處，特此說(shuō)明并表示感謝！

沖激響應(yīng)表示的連續(xù)系統(tǒng)特性BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY離散LTI系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域分析離散LTI系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域分析

基于描述離散系統(tǒng)差分方程的迭代法基于求解線性常系數(shù)差分方程的方法基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法離散時(shí)間LTI系統(tǒng)輸入信號(hào)x[k]輸出信號(hào)y[k]【例】已知差分方程y[k]－0.5y[k－1]=u[k],y[－1]=1,求輸出信號(hào)。解：將差分方程寫(xiě)成代入初始狀態(tài)依此類推1.基于描述離散系統(tǒng)差分方程的迭代法

已知n個(gè)初始狀態(tài){y[－1],y[－2],y[－2],???,y[－n]}和輸入，

由差分方程迭代出系統(tǒng)的輸出，稱為迭代法。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單直接，適合計(jì)算機(jī)計(jì)算；缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。

差分方程的全解由齊次解yh[k]和特解yp[k]組成

齊次解yh[k]的形式由差分方程對(duì)應(yīng)的特征根確定

特解yp[k]的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定描述離散LTI系統(tǒng)使用線性常系數(shù)差分方程2.基于求解線性常系數(shù)差分方程的方法【例】已知描述某離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

y[k]－5y[k－1]+6y[k－2]=x[k]

初始條件y[0]=0,y[1]=－1,輸入x[k]=4ku[k]，求全解y[k]。特征根為齊次解yh[k]解：(1)求差分方程的齊次解yh[k]

y[k]－5y[k－1]+6y[k－2]=0齊次解的形式特征方程為2.基于求解線性常系數(shù)差分方程的方法解：由輸入x[k]的形式，設(shè)方程的特解為將特解帶入原差分方程即可求得待定系數(shù)A=8。(2)求差分方程y[k]－5y[k－1]+6y[k－2]=x[k]的特解yp[k]2.基于求解線性常系數(shù)差分方程的方法【例】已知描述某離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

y[k]－5y[k－1]+6y[k－2]=x[k]

初始條件y[0]=0,y[1]=－1,輸入x[k]=4ku[k]，求全解y[k]。

C1=9，C2=-17解:(3)求差分方程的全解2.基于求解線性常系數(shù)差分方程的方法【例】已知描述某離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

y[k]－5y[k－1]+6y[k－2]=x[k]

初始條件y[0]=0,y[1]=－1,輸入x[k]=4ku[k]，求全解y[k]。若輸入信號(hào)發(fā)生變化，須全部重新求解若初始條件發(fā)生變化，須全部重新求解

若差分方程激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理

難以體現(xiàn)信號(hào)與離散LTI系統(tǒng)的作用機(jī)理基于求解線性常系數(shù)差分方程的方法不足之處:2.基于求解線性常系數(shù)差分方程的方法3.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)離散LTI系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)響應(yīng)看作是由系統(tǒng)初始狀態(tài)與輸入信號(hào)分別單獨(dú)作用于系統(tǒng)而產(chǎn)生的響應(yīng)之疊加。初始狀態(tài)y[-1]，y[-2]輸入信號(hào)x[k]零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)

輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用于離散LTI系統(tǒng)

而產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，記為yzi[k]。3.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

上式為齊次方程，因此零輸入響應(yīng)具有齊次解的形式描述LTI系統(tǒng)使用常系數(shù)線性差分方程當(dāng)輸入x[k]=0零狀態(tài)響應(yīng)

初始狀態(tài)為零，僅由系統(tǒng)的外部信號(hào)x[k]作用于系統(tǒng)而產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yzs[k]表示。3.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

零狀態(tài)響應(yīng)分析方法(1)將輸入信號(hào)x[k]表示為單位脈沖序列d[k]的線性組合(2）求出單位脈沖序列作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)—單位脈沖響應(yīng)h[k](3)利用LTI系統(tǒng)特性，可求出輸入x[k]激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k]。非時(shí)變特性：均勻性：疊加性：x[k]yzs[k]=x[k]*h[k]零狀態(tài)響應(yīng)3.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

單位脈沖響應(yīng)求解齊次差分方程系統(tǒng)響應(yīng)

=零輸入響應(yīng)

+零狀態(tài)響應(yīng)3.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

信號(hào)與系統(tǒng)作用機(jī)理3.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

離散LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]

離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]離散LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k]離散LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

數(shù)學(xué)模型:

輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用于系統(tǒng)而產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)，記為yzi[k]

。求解過(guò)程:第一步：求出差分方程對(duì)應(yīng)的特征方程和特征根第二步：根據(jù)特征根確定系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的形式第三步：根據(jù)初始狀態(tài)解出零輸入響應(yīng)的待定系數(shù)離散LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

(1)

特征根出現(xiàn)不等實(shí)根r1,r2,

,rn(2)

特征根出現(xiàn)相等實(shí)根r1=r2=

=rn(3)

特征根出現(xiàn)成對(duì)共軛復(fù)根零輸入響應(yīng)yzi[k]的形式:離散LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

【例】離散LTI系統(tǒng)差分方程為y[k]-5y[k－1]+6y[k－2]=2x[k]，初始狀態(tài)為y[－1]=2，y[－2]=3，求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)yzi[k]。解：特征方程：特征根：C1=28，C2=-36（兩不等實(shí)根）離散LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

某離散LTI系統(tǒng)的差分方程式為:y[k]+4y[k－1]+4y[k－2]=x[k]初始狀態(tài)為y[－1]=0，y[－2]=1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]。解：特征方程:特征根:C1=C2=-2（兩相等實(shí)根）【例】離散LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

特征根:某離散LTI系統(tǒng)的差分方程式為:y[k]+2y[k－1]+2y[k－2]=x[k]初始狀態(tài)為y[－1]=0，y[－2]=1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]?！纠拷?特征方程:離散LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

3.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

離散LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]

離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]離散LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k]離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下，以單位脈沖序列δ[k]激勵(lì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。][kh][kd（系統(tǒng)初始狀態(tài)為零）則離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]應(yīng)滿足若描述離散LTI系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程為離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

【例】因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。分析：當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)x[k]為d[k]，輸出信號(hào)y[k]則為h[k]因此，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)具有齊次解形式描述系統(tǒng)的差分方程為當(dāng)k>0時(shí)，d[k]=0，描述系統(tǒng)的差分方程為離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

此方法稱為等效初始條件法由差分方程和h[－1]=h[－2]==h[－n]=0遞推求出。分析：如何確定待定系數(shù)？由系統(tǒng)的初始狀態(tài)(h[0]、h[1])確定系統(tǒng)的初始條件離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

【例】因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。解：h[k]滿足方程（1)確定h[k]的形式特征方程為特征根為離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

【例】因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。解：h[k]滿足方程(2)求等效初始條件

系統(tǒng)初始狀態(tài)h[－1]=h[－2]=0，代入上面方程可推出二階系統(tǒng)需要兩個(gè)初始條件，可以選擇h[0]和h[1]離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

【例】因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。解：h[k]滿足方程(3)確定齊次解的待定系數(shù)代入初始條件C1=－1，C2=2離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

【例】因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。3.基于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的方法

離散LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]

離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]離散LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k]若輸入信號(hào)為x[k]，離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h[k]，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k]為：由此可見(jiàn)，離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是輸入信號(hào)與系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的卷積和，此揭示了信號(hào)與離散LTI系統(tǒng)在時(shí)域的內(nèi)在作用機(jī)理。（卷積和）離散LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

解析方法：直接按照卷積和的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算若信號(hào)x[k]與h[k]可用解析函數(shù)式表達(dá)，則可以利用解析方法來(lái)計(jì)算卷積和。卷積和的計(jì)算

解:【例】

計(jì)算與的卷積和。卷積和的計(jì)算

(1)將x[k]、h[k]中的自變量由k改為n；(2)將其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)，如將h[n]翻轉(zhuǎn)得h[－n]；(3)

將h[－n]平移k，得到h[k－n]，其中k是參變量；(4)將x[n]與h[k－n]相乘，

對(duì)乘積后的圖形求和。圖形法計(jì)算卷積和的步驟：圖形方法：卷積和的計(jì)算

【例】

信號(hào)x[k]與h[k]的波形如下，計(jì)算y[k]=x[k]*h[k]。(1)k<0

=0解：(2)0

k<2【例】

信號(hào)x[k]與h[k]的波形如下，計(jì)算y[k]=x[k]*h[k]。解：(3)2

k

3【例】

信號(hào)x[k]與h[k]的波形如下，計(jì)算y[k]=x[k]*h[k]。解：(4)3<

k

5【例】

信號(hào)x[k]與h[k]的波形如下，計(jì)算y[k]=x[k]*h[k]。解：(5)5<

k【例】

信號(hào)x[k]與h[k]的波形如下，計(jì)算y[k]=x[k]*h[k]。解：

=0解：綜上可得：兩個(gè)信號(hào)的卷積和，卷積和結(jié)果仍為一個(gè)信號(hào)。該信號(hào)的起點(diǎn)等于那兩個(gè)信號(hào)起點(diǎn)之和，終點(diǎn)等于那兩個(gè)信號(hào)的終點(diǎn)之和?！纠?/p>

信號(hào)x[k]與h[k]的波形如下，計(jì)算y[k]=x[k]*h[k]。當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k=1時(shí)，當(dāng)k=2時(shí)，當(dāng)k=3時(shí)，以上求解過(guò)程可以歸納成列表法。設(shè)x[k]和h[k]都是因果序列，則有列表法:卷積和的計(jì)算

h[k]的值順序排成一行，x[k]的值順序排成一列對(duì)角斜線上各數(shù)值就是

x[n]h[k－n]的值。對(duì)角斜線上各數(shù)值的和就是y[k]各項(xiàng)的值。卷積和的計(jì)算

列表法:解:【例】

計(jì)算與的卷積。卷積和的計(jì)算

(1)交換律:x[k]*h[k]=h[k]*x[k]x[k]*{h1[k]*h2[k]}={x[k]*h1[k]}*h2[k]x[k]*{h1[k]+h2[k]}=x[k]*h1[k]+x[k]*h2[k](2)結(jié)合律:(3)分配律:卷積和的性質(zhì)(4)位移特性：

x[k]*d

[k－n]=x[k－n]若x[k]*h[k]=y[k]，則x[k－n]*h[k－l]=y[k－

(n+l)](5)差分與求和特性：若x[k]*h[k]=y[k]，則卷積和的性質(zhì)【例】利用卷積的性質(zhì)計(jì)算與

的卷積和。解:利用分配律和位移特性卷積和的性質(zhì)謝謝

本課程所引用的一些素材為主講老師多年的教學(xué)積累，來(lái)源于多種媒體以及同事與同行的交流，難以一一注明出處，特此說(shuō)明并表示感謝！

離散LTI系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域分析

BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY脈沖響應(yīng)表示的離散系統(tǒng)特性脈沖響應(yīng)表示的離散LTI系統(tǒng)特性

級(jí)聯(lián)離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)并聯(lián)離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)與離散LTI系統(tǒng)因果性單位脈沖響應(yīng)與離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性單位脈沖響應(yīng)h[k]只與系統(tǒng)本身有關(guān)，利用h[k]表示離散LTI系統(tǒng)的時(shí)域特性。脈沖響應(yīng)表示的離散LTI系統(tǒng)特性

求和器：差分器:無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)：K為正常數(shù)，kd是輸入信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后的延遲時(shí)間。幾個(gè)常見(jiàn)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位延遲器:脈沖響應(yīng)表示的離散LTI系統(tǒng)特性

1.

級(jí)聯(lián)離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]2.

并聯(lián)離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]【例】求圖示離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，其中h1[k]=2ku[k]，

h2[k]=

d[k－1]，h3[k]=3ku[k]，h4[k]=u[k]。解：h1[k]支路、全通支路與h2[k]h3[k]級(jí)聯(lián)支路并聯(lián)，再與h4[k]級(jí)聯(lián)。

全通支路滿足

全通離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為d[k]若系統(tǒng)k0時(shí)刻的輸出只和k0時(shí)刻及以前的輸入信號(hào)有關(guān)，則稱該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。簡(jiǎn)言之，系統(tǒng)的輸出不超前于輸入。離散LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件因果系統(tǒng)定義：3.

單位脈沖響應(yīng)與離散LTI系統(tǒng)因果性【例】判斷下面離散LTI系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)。解：因此滿足h[k]=0,

k<0。該離散LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。3.

單位脈沖響應(yīng)與離散LTI系統(tǒng)因果性由于當(dāng)k<0時(shí)，u[k]=0該系統(tǒng)為離散LTI系統(tǒng)若系統(tǒng)對(duì)任意的有界輸入其輸出也有界，

則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)(BIBO穩(wěn)定)。離散LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是穩(wěn)定系統(tǒng)定義：4.單位脈沖響應(yīng)與離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性【例】判斷下面離散LTI系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。解：滿足穩(wěn)定性的充要條件，該離散LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。4.單位脈沖響應(yīng)與離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件為分析了離散LTI系統(tǒng)的時(shí)域特性—脈沖響應(yīng)給出了離散LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述—差分方程離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析小結(jié)揭示了信號(hào)與LTI系統(tǒng)的作用機(jī)理—離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例(2)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]；(4)系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]；(1)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)；(3)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；(5)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定?！纠棵枋瞿骋蚬x散LTI系統(tǒng)的差分方程為y[k]-3y[k-1]+2y[k-2]=x[k]激勵(lì)信號(hào)x[k]=3ku[k]，初始狀態(tài)y[-1]=3,y[-2]=1，試求：(1)

系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]特征根為，

代入初始狀態(tài)，A=－1,B=8特征方程：

=3

=1

解：離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為y[k]-3y[k-1]+2y[k-2]=x[k]激勵(lì)信號(hào)x[k]=3ku[k]，初始狀態(tài)y[-1]=3,y[-2]=1，試求：

(2)單位脈沖響應(yīng)h[k]

C=－1,D=2等效初始條件為單位脈沖響應(yīng)h[k]的形式解：離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為y[k]-3y[k-1]+2y[k-2]=x[k]激勵(lì)信號(hào)x[k]=3ku[k]，初始狀態(tài)y[-1]=3,y[-2]=1，試求：

利用卷積和可求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k](3)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k]解：離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為y[k]-3y[k-1]+2y[k-2]=x[k]激勵(lì)信號(hào)x[k]=3ku[k]，初始狀態(tài)y[-1]=3,y[-2]=1，試求：(4)

系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]解：離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為y[k]-3y[k-1]+2y[k-2]=x[k]激勵(lì)信號(hào)x[k]=3ku[k]，初始狀態(tài)y[-1]=3,y[-2]=1，試求：完全響應(yīng)y[k]還可分解為：固有響應(yīng)yh[k]和強(qiáng)迫響應(yīng)yp[k]瞬態(tài)響應(yīng)yt[k]以及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)ys[k]固有響應(yīng)yh[k]：與系統(tǒng)差分方程特征根對(duì)應(yīng)的響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)yp[k]：與系統(tǒng)的外部輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)yt[k]：隨時(shí)間增長(zhǎng)趨于0的分量穩(wěn)態(tài)響應(yīng)ys[k]：隨時(shí)間增長(zhǎng)不趨于0的分量離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例(4)

系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]解：離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】描述某因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為y[k]-3y[k-1]+2y[k-2]=x[k]激勵(lì)信號(hào)x[k]=3ku[k]，初始狀態(tài)y[-1]=3,y[-2]=1，試求：固有響應(yīng):強(qiáng)迫響應(yīng):暫態(tài)響應(yīng):穩(wěn)態(tài)響應(yīng):解：

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為因而該離散LTI系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。(5)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例由于【例】描述某因果離散LTI系統(tǒng)的差分方程為y[k]-3y[k-1]+2y[k-2]=x[k]激勵(lì)信號(hào)x[k]=3ku[k]，初始狀態(tài)y[-1]=3,y[-2]=1，試求：解：由于系統(tǒng)的初始狀態(tài)未變，故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)不變，即

所以利用系統(tǒng)的線性特性和非時(shí)變特性，可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為激勵(lì)信號(hào)為0.5·3k-1u[k-1]=0.5x[k-1]離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】

若激勵(lì)信號(hào)由x[k]=3ku[k]

改變?yōu)?.5·3k-1u[k-1]

，重求系統(tǒng)的

零輸入響應(yīng)yzi[k]、零輸入響應(yīng)yzs[k]和完全響應(yīng)y[k]。解：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng)為離散時(shí)間LTI系統(tǒng)分析舉例【例】

若激勵(lì)信號(hào)由x[k]=3ku[k]

改變?yōu)?.5·3k-1u[k-1]

，重求系統(tǒng)的

零輸入響應(yīng)yzi[k]、零輸入響應(yīng)yzs[k]和完全響應(yīng)y[k]。脈沖響應(yīng)表示的離散LTI系統(tǒng)特性

謝謝

本課程所引用的一些素材為主講老師多年的教學(xué)積累，來(lái)源于多種媒體以及同事與同行的交流，難以一一注明出處，特此說(shuō)明并表示感謝！

BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY利用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)的時(shí)域分析利用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的求解離散LTI系統(tǒng)響應(yīng)的求解離散卷積的計(jì)算及其應(yīng)用1.連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的求解

t:計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的樣點(diǎn)向量a=[an,…a2,a1,a0];b=[bm,…b2,b1,b0];y=lsim(sys,x,t)sys=tf(b,a)b和a分別為微分方程兩端各項(xiàng)的系數(shù)向量sys:LTI系統(tǒng)模型連續(xù)LTI系統(tǒng)可由線性常系數(shù)微分方程描述零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)為

單位沖激響應(yīng)h(t)為h=impulse(sys,t)1.連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的求解

a=[a3,a2,a1,a0];b=[b3,b2,b1,b0];sys=tf(b,a)已知描述某連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為其單位沖激響應(yīng)h(t)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)的求解：…y=lsim(sys,x,t)

h=impulse(sys,t)t=0:0.1:10;【例】描述系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，以及如圖所示周期矩形波x(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。1.連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的求解

(1)該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)ts=0;te=10;dt=0.01;sys=tf([2],[12100]);t=ts:dt:te;y=impulse(sys,t);plot(t,y);解:1.連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的求解

解:(2)該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)ts=0;te=30;dt=0.01;sys=tf([2],[12100]);t=ts:dt:te;x=heaviside(sin(pi*t));y=lsim(sys,x,t）plot(t,y);

【例】描述系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，以及如圖所示周期矩形波x(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。1.連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的求解

【例】如圖所示RLC串聯(lián)電路，R=3?,L=1H,C=0.5F,系統(tǒng)

輸入x(t)=sin(t)+sin(20t)

，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。1.連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的求解

由電路可得描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程為即解:系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)ts=0;te=15;dt=0.01;sys=tf([2],[132]);t=ts:dt:te;y=impulse(sys,t);plot(t,y);1.連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的求解

【例】如圖所示RLC串