1.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.已知a=(1,0,1),b=(2,1,1),c=(3,1,0),則|ab+2c|=()A.310 B.210 C.10 D.5答案:A解析:由已知得,ab+2c=(9,3,0),故|ab+2c|=310.2.(多選題)若向量a=(1,2,0),b=(2,0,1),則()A.a·b=2 B.|a|=|b|C.cos<a,b>=12 D.(a+b)⊥(ab答案:ABD解析:因為a·b=1×(2)+2×0+0×1=2,所以A中等式成立;因為|a|=5,|b|=5,所以|a|=|b|,故B中等式成立;因為cos<a,b>=a·b|a||b|=25,所以C中等式不成立;因為a+b=(1,2,1),ab=(3,2,1),所以(a+b)·(ab)=3+41=0,即(a+b)⊥(ab3.已知a=(1,2,y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2ab),則()A.x=13,y=1B.x=12,y=C.x=2,y=14D.x=1,y=1答案:B解析:由題意知,a+2b=(2x+1,4,4y),2ab=(2x,3,2y2).∵(a+2b)∥(2ab),∴存在實數(shù)λ,使a+2b=λ(2ab),∴2x+1=4.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點A(1,2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),則△ABC是()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案:C解析:∵AB=(3,4,8),AC=(5,1,7),BC=(2,3,1),∴|AB|=32+42+(-8)2=89∴|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC是直角三角形.5.已知向量a=(0,1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=29,λ∈R且λ>0,則λ=.

答案:3解析:∵a=(0,1,1),b=(4,1,0),∴λa+b=(4,1λ,λ).∵|λa+b|=29,∴16+(1λ)2+λ2=29.即λ2λ6=0,解得λ=3或λ=2.又λ>0,∴λ=3.6.若a=(x,2,2),b=(2,3,5)的夾角為鈍角,則實數(shù)x的取值范圍為.答案:(∞,2)解析:由題意可知,a,b不可能反向共線,故要使a,b的夾角為鈍角,只需a·b<0,即2x6+10<0,解得x<2.故x的取值范圍為(∞,2).7.已知a=(1t,1t,t),b=(2,t,t),則|ba|的最小值為.

答案:3解析:∵ba=(2,t,t)(1t,1t,t)=(1+t,2t1,0),∴|ba|=(1+∴當(dāng)t=15時,|ba|取得最小值,為38.已知a=(1,5,1),b=(2,3,5).(1)當(dāng)(λa+b)∥(a3b)時,求實數(shù)λ的值;(2)當(dāng)(a3b)⊥(λa+b)時,求實數(shù)λ的值.解:∵a=(1,5,1),b=(2,3,5),∴a3b=(1,5,1)3(2,3,5)=(7,4,16),λa+b=λ(1,5,1)+(2,3,5)=(λ2,5λ+3,λ+5).(1)∵(λa+b)∥(a3b),∴λ-27=5λ(2)∵(a3b)⊥(λa+b),∴(a3b)·(λa+b)=0,即7(λ2)4(5λ+3)16(λ+5)=0,解得λ=10639.已知空間三點A(1,2,3),B(2,1,5),C(3,2,5).(1)求△ABC的面積;(2)求△ABC中邊AB上的高.解:(1)由已知,得AB=(1,3,2),AC=(2,0,8),∴|AB|=1+9+4=|AC|=4+0+64=217,AB·AC=1×2+(3)×0+2×(8)∴cos<AB,AC>=∴sin<AB,AC>=∴S△ABC=12|AB||AC|sin<AB,AC>=12×(2)設(shè)邊AB上的高為CD,則|CD|=|AC|·sin<AB,AC>=36,即△ABC中邊AB上的高為3能力提升1.已知A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2sinθ,1),則|AB|的取值范圍是()A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.(0,5)答案:B解析:由題意知,AB=(2cosθ3cosα,2sinθ3sinα,0),故|AB|=(2cosθ-因為1≤cos(αθ)≤1,所以1≤|AB|≤5.2.(多選題)已知空間四點O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,1),C(3,2,1),則下列說法正確的是()A.=OA·B.以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形的面積為21C.點O到直線BC的距離為5D.O,A,B,C四點共面答案:AC解析:由題意得OA=(0,1,2),OB=(2,0,1),于是OA·OB=2,故A又|OA|=5,|OB|=5,所以cos<OA,OB>=OA·OB|OA||OB|因此以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形的面積S=|OA||OB|sin∠AOB=21,故B錯誤;因為OB=(2,0,1),BC=(1,2,2),所以O(shè)B·BC=0,故OB⊥BC,所以點O到直線BC的距離d=|OB|=22由于OA=(0,1,2),OB=(2,0,1),OC=(3,2,1),假設(shè)OA,OB,OC共面,則存在實數(shù)λ和μ使得OC=λOA+μOB,所以3=2μ,2=λ,1=2λ-μ3.已知A(1,0,0),B(0,1,1),O(0,0,0),OA+λOB與OB的夾角為120°,則λ的值為(A.±66 B.6C.66 D.±答案:C解析:∵OA=(1,0,0),OB=(0,1,1),∴OA+λOB=(1,λ,λ),∴(OA+λOB)·OB=λ+λ=2λ,|OA+λOB|=1+λ2+λ2=∴cos120°=2λ2·1+2λ2=12又2λ2·1+2λ2<4.若△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0,0,2),B32,12,2,C(1,0,2),則角A的大小為答案:30°解析:因為AB=32,12,0,AC=(1,0,0),所以AB·AC=32,|AB所以cosA=AB·AC|AB||AC|5.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,點E為CC1的中點,點P,Q均在平面A1B1C1D1內(nèi),滿足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.則PQ與BD的位置關(guān)系是;A1P的最小值為.

答案:平行3解析:以點D為坐標(biāo)原點,以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則D(0,0,0),A1(1,0,1),E(0,1,12),B(1,1,0),因為P,Q均在平面A1B1C1D1內(nèi)所以設(shè)P(a,b,1),Q(m,n,1),所以A1E=(1,1,12),BP=(a1,b1,1),BQ=(m1,因為BP⊥A1E,BQ⊥A1E,所以BP解得b所以nb=ma,PQ=(ma,ma,0).因為DB=(1,1,0),所以PQ=(ma)DB,又PQ與BD不重合,所以PQ與BD的位置關(guān)系是平行.因為A1P=(a1,b,0),所以|A=2a因此,當(dāng)a=14時,|A1P|取得最小值,6.在正三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC和A1B1C1為正三角形,所有的棱長都是2,M是BC的中點,則在棱CC1上是否存在點N,使得異面直線AB1和MN所成的角等于45°?解:如圖,以A為原點,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.由題意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(3,1,0),B1(3,1,2),M32假設(shè)存在點N,滿足條件.因為點N在棱CC1上,所以可設(shè)N(0,2,m)(0≤m≤2).因為AB1=(3,1,2),所以|AB1|=22,|MN|=m2+1,如果異面直線AB1和MN所成的角等于45°,那么向量AB1和MN的夾角等于45°又cos<AB1,所以2m-122×m2+1=±22,解得m=所以在棱CC1上不存在點N,使得異面直線AB1和MN所成的角等于45°.7.如圖,正四棱錐SABCD的側(cè)棱長為2,底面邊長為3,E是SA的中點,O為底面ABCD的中心.(1)求CE的長;(2)求異面直線BE與SC所成角的余弦值;(3)若OG⊥SC,垂足為G,求證:OG⊥BE.解:連接SO,AC,OB,以O(shè)為原點,OA,OB,OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.因為側(cè)棱長為2,底面邊長為3,E為SA的中點,所以點A62,0,0,S0,0,22,C-6(1)CE=364,0,