高級中學名校試卷PAGEPAGE1吉林市普通高中2024-2025學年高二上學期期中調(diào)研測試數(shù)學試題一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題，直線方程可化為，則斜率為，所以傾斜角為，故選:C.2.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】D【解析】因為，所以圓心，半徑為，圓，化為標準方程為：，所以圓心，半徑為，兩個圓心間的距離為：，所以兩圓內(nèi)切，故選：D.3.若直線與直線平行，則實數(shù)（）A. B.1 C.或1 D.【答案】B【解析】因為直線與直線平行，所以，解得.故選：B.4.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A選項，有，所以共面；對于B選項，有，所以共面；對于C選項，假設(shè)共面，則有，即，由此有、、共面，與已知條件矛盾，所以不共面；對于D選項，，所以共面.故選：C.5.如圖，橢圓的兩個焦點分別為，以線段為邊作等邊三角形，若該橢圓恰好平分的另兩邊則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，與橢圓交于點，連結(jié)，由題意可知，的邊長為，點是的中點，所以，，，所以.故選：B.6.一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】圓的圓心坐標為，半徑為1，點關(guān)于軸對稱點的坐標為，根據(jù)題意可得，點在反射光線所在的直線上，設(shè)反射光線所在的直線方程為，即，因為反射光線所在直線與圓相切，所以，解得或，故選：A.7.已知動點在橢圓上，若點，點滿足，且，則的最小值為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】橢圓中，.如圖，由得，∴，∴當取最小值時，最小.由題意得，點A為橢圓右焦點，當點為橢圓的右頂點時，，∴.故選：C.8.如圖1，平面四邊形中，，垂足為，如圖2，將沿翻折至，使得平面平面，若點為線段上的動點，則點到直線距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為平面平面，平面，平面平面，，所以平面，平面，則，又，，以點為坐標原點，分別為軸建立如圖空間直角坐標系，連接，則P0,0,1，，設(shè)，，所以，，設(shè)與的夾角為，，則，所以點到直線的距離為，由，則，所以，所以點到直線距離的最小值為.故選：D.二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知橢圓，下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的長軸長是B.橢圓的短半軸長是4C.經(jīng)過橢圓焦點的最短弦長是D.橢圓的焦點坐標分別是【答案】AC【解析】因為橢圓方程為，所以，，則，所以橢圓的長軸長為，短軸長為，經(jīng)過橢圓焦點的最短弦長為，焦點坐標為，，所以A正確，B錯誤，C正確，D錯誤.故選：AC.10.如圖，在平行六面體中，，與的交點為，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由題意可知，.對于A，，故A正確、B不正確；對于C，故C正確;對于D，，故D正確．故選：ACD.11.平面內(nèi)與兩定點距離之積為定值的點的軌跡叫做卡西尼卵形線，它的發(fā)現(xiàn)為人類研究土星運行軌跡提供莫大幫助．已知平面內(nèi)有一卵形線，則（）A.曲線過原點B.曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形C.曲線上點的橫坐標的取值范圍是D.曲線上任意一點到原點距離的取值范圍是【答案】BCD【解析】A.把代入不成立，選項A錯誤.B.把代入得，，曲線關(guān)于軸對稱；把代入得，，曲線關(guān)于軸對稱；把代入得，，曲線關(guān)于原點中心對稱.曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，選項B正確.C.∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴曲線上點的橫坐標的取值范圍是，選項C正確.D.設(shè)曲線上任意一點，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，選項D正確.故選：BCD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中第14題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．12.點到直線的距離為______．【答案】【解析】運用點到直線距離公式,得到.13.由直線上的一點向圓引切線,切點分別為，則四邊形面積的最小值為_____.【答案】【解析】由題意知，圓的圓心，半徑,兩切線關(guān)于對稱，四邊形面積為，當時，最小，此時，四邊形面積的最小值為.14.在空間直角坐標系中，過點且一個方向向量為的直線方程為，過點且一個法向量為的平面方程為．現(xiàn)已知直線的方程為，則直線的一個方向向量__________，若平面經(jīng)過點且同時垂直于平面與平面，則直線到平面的距離為__________．【答案】（此空答案不唯一，均可）【解析】由題意可知，直線的方程，即，則其一個方向向量，且過點，又平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且平面同時垂直于平面與平面，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的法向量為，又平面經(jīng)過點，則，所以直線到平面的距離為.四?解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上．（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓的交點為，求．解：（1）（法一）設(shè)圓的標準方程為，則圓心為．由題意可得解得,圓的標準方程為．（法二）由題意可得中點為，線段的垂直平分線為，即，圓心在直線上，聯(lián)立解得即圓心為，圓的半徑圓的標準方程為．（法三）設(shè)圓的一般方程為，則圓心為．由題意可得解得,圓的一般方程為，即圓的標準方程為．（法四）設(shè)圓心，整理，得圓心．圓的標準方程為．（2）由（1）知，圓心到直線的距離為圓的半徑．16.如圖，在三棱柱中，平面，點分別在棱和棱上，且為棱的中點．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：（法一）在三棱柱平面，平面平面，平面平面，平面，為中點，，平面平面，平面（法二）以為原點，分別以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以．（2）解：依題意，是平面的一個法向量，，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則．則，即，取，則，平面的一個法向量為設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．17.已知橢圓的離心率，點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓的交點為，點為坐標原點，且的面積為，求直線的方程．解：（1）離心率，即，，橢圓的方程為．將代入得，所以的標準方程為．（2）（法一）設(shè)Ax聯(lián)立消去，得．則，化簡得，由韋達定理得，，解得或或1或．直線的方程為或或或．（法二）設(shè)Ax聯(lián)立消去，得．，化簡得，由韋達定理得，由弦長公式可得，原點到直線的距離為．，解得或或1或．直線的方程為或或或．18.已知點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑的交點為，記點的軌跡是曲線，設(shè)經(jīng)過點的直線與曲線的交點為．（1）求曲線的方程；（2）求的取值范圍；（3）已知點，若直線與直線的斜率分別為，求的值．解：（1）連接，則．設(shè)點圓的圓心，半徑為4，，點軌跡是以為焦點的橢圓，長軸長，焦距，曲線的方程為．（2）（法一）分以下兩種情況討論：①若直線與軸重合，則；②若直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點Ax1,y1聯(lián)立，消去，得，則，由韋達定理得，由弦長公式可得，，則．綜上所述，的取值范圍是．（2）（法二）分以下兩種情況討論：①當直線的斜率不存在時，，不妨設(shè)；②當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為y=kx-1，設(shè)點Ax1,聯(lián)立，消去，得，則，由韋達定理得，由弦長公式可得，．綜上所述，取值范圍是．（2）（法三）分以下兩種情況討論：①若直線與軸重合，則②若直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點，，聯(lián)立，消去，得，則，由韋達定理得，，則．綜上所述，的取值范圍是．（3）（法一）分以下兩種情況討論：①若直線與軸重合，點都在軸上，②若直線不與軸重合，由（2）知，直線的方程為，點Ax1,，綜上所述：．（法二）分以下兩種情況討論：①若直線與軸垂直，直線與直線關(guān)于軸對稱，；②若直線不與軸垂直，由（2）知，直線的方程為y=kx-1，設(shè)點Ax1綜上所述：．19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，且分別為的中點．（1）求證：平面；（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值；（3）在平面內(nèi)是否存在點，滿足？若存在，請求出點的軌跡長度；若不存在，請說明理由．（1）證明：（法一）如圖：連接，中，為等邊三角形．為中點，，且，底面為菱形，所以，為等邊三角形．為中點，，且，，平面，平面，（法二）如圖：連接，中，為等邊三角形，為中點，，且，底面為菱形，，為中點，，在中，由余弦定理得：，即，平面，平面.（2）解：由（1）知：，如圖：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．，分別為的中點，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則．則，所以，取，則，平面的一個法向量為．平面的一個法向量為，則，平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則．即直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：（法一）存在點，使．理由如下：點在以線段中點為球心，2為半徑的球面上．，設(shè)平面的一個法向量為，