高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省黃岡市普通高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的特征為坐標(biāo)不變，取相反數(shù)，故所求坐標(biāo)為.故選：A.2.若直線與直線平行，則的值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由題設(shè).故選：C.3.近幾年7月，武漢持續(xù)高溫，市氣象局將發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)（高溫橙色預(yù)警標(biāo)準(zhǔn)為24小時(shí)內(nèi)最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后的3天中，每一天最高氣溫37攝氏度以上的概率是.某人用計(jì)算機(jī)生成了10組隨機(jī)數(shù)，結(jié)果如下：726127821763314245521986402862若用0，1，2，3，4表示高溫橙色預(yù)警，用5，6，7，8，9表示非高溫橙色預(yù)警，依據(jù)該模擬實(shí)驗(yàn)，則今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的概率估計(jì)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警包括的隨機(jī)數(shù)有：127，821，245，521共4個(gè)，所以今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的概率估計(jì)是.故選：D.4.某飲料生產(chǎn)企業(yè)推出了一種有一定中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)的新飲料.甲、乙、丙三名同學(xué)都購買了這種飲料，設(shè)事件為“甲、乙、丙三名同學(xué)都中獎(jiǎng)”，則與互為對(duì)立事件的是（）A.甲、乙、丙恰有兩人中獎(jiǎng) B.甲、乙、丙都不中獎(jiǎng)C.甲、乙、丙至少有一人不中獎(jiǎng) D.甲、乙、丙至多有一人不中獎(jiǎng)【答案】C【解析】事件“甲、乙、丙三名同學(xué)都中獎(jiǎng)”的對(duì)立事件是“甲、乙、丙三名同學(xué)至少有一人不中獎(jiǎng)”.故選：C.5.已知點(diǎn)，若，則直線AB的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，則直線AB的傾斜角的取值范圍為.故選：B.6.如圖所示，在平行六面體中，，則的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.5【答案】B【解析】由題設(shè)，所以，所以.故選：B.7.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A.[4,10] B.[8,10] C.[4,16] D.[8,16]【答案】C【解析】將化為，即圓心為，半徑為3，由表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而圓心到原點(diǎn)的距離為1，又在圓內(nèi)，所以圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離范圍為，故的取值范圍是.故選：C.8.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使，則三棱錐的體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】若為正方形的中心，由題設(shè)知，所以，且，所以，即，所以，則，則，所以三棱錐的體積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分.部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線和圓，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線恒過點(diǎn)B.直線與圓相交C.圓與圓有三條公切線D.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由直線的方程，當(dāng)時(shí)，，可知直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€恒經(jīng)過定點(diǎn)，且，定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故B正確；對(duì)于C，由圓的方程，可得圓心，半徑，又由直線，圓，圓心，半徑，此時(shí)，所以圓與圓相外切，有三條公切線，故C正確；對(duì)于D，由，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.10.柜子里有雙不同的鞋子，從中隨機(jī)地取出只，下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A.“取出的鞋成雙”的概率等于B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于D.“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于【答案】BC【解析】記雙不同的鞋子按左右為，隨機(jī)取只的樣本空間為，共種，則“取出的鞋成雙”的概率等于，A錯(cuò)；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正確；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正確；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于，D錯(cuò).故選：BC.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為線段BD的中點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則平面B.若，則平面C.若，則到平面的距離為D.若時(shí)，直線DP與平面所成角為，則【答案】ABD【解析】A：，即重合，故即為，又，即，由面，面，則面，對(duì)；B：，易知為的中點(diǎn)，此時(shí)，且所以，故，即，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，易得，若為的中點(diǎn)，則，又，則，顯然面，面，則，由且在面內(nèi)，則面，面，則，所以，又都在面內(nèi)，則面，對(duì)；C：，即是面的中心，易知到平面的距離，即為到平面的距離的一半，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，為正四面體，且棱長(zhǎng)為，所以到平面的距離，所以到平面的距離為，錯(cuò)；D：，則在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，所以，且，故，令面的一個(gè)法向量為，且，所以，令，則，故，令，則，所以，，故，對(duì).故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則的值為______.【答案】【解析】由題設(shè).13.已知空間向量，若共面，則的最小值為__.【答案】【解析】空間向量，若共面，則可令，則，解之得則二次函數(shù)的最小值為，則的最小值為.14.由這2024個(gè)正整數(shù)構(gòu)成集合A，先從集合A中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，取出后把放回集合A，然后再從集合A中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，則的概率為___.【答案】【解析】即，當(dāng)時(shí)，可以取1，有種取法；當(dāng)時(shí)，可以取1，2，3，有種取法；當(dāng)時(shí)，可以取1，2，3，4，5，有種取法；當(dāng)時(shí)，可以取1，2，3，,，有種取法；當(dāng)時(shí)，可以取1，2，3，,，有種取法；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.解：（1）由題知，，在直線上，設(shè)，則，解得，即點(diǎn)坐標(biāo).（2）設(shè)，則，解得，即，所以直線的方程為，即.16.如圖，在四棱錐中，平面為PD的中點(diǎn).（1）若，證明：；（2）若，求平面ACE和平面ECD的夾角的余弦值.（1）證明：由平面，平面，則，，而，且都在面內(nèi)，則面，由面，則，即均為直角三角形，且為斜邊，由為PD的中點(diǎn)，故，得證.（2）解：由題意，易知為直角梯形，且，，且平面，以為原點(diǎn)，建立如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，若分別是面、面的法向量，則，令，則，且，令，則，所以，故平面ACE和平面ECD夾角余弦值為.17.某中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“繪畫”、“書法”、“詩詞”三個(gè)興趣小組，據(jù)統(tǒng)計(jì)新生通過考核選拔進(jìn)入這三個(gè)興趣小組成功與否相互獨(dú)立.2024年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“繪畫”、“書法”、“詩詞”三個(gè)興趣小組的概率依次為，已知三個(gè)興趣小組他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)興趣小組的概率為，且.（1）求與的值；（2）該校根據(jù)興趣小組活動(dòng)安排情況，對(duì)進(jìn)入“繪畫”興趣小組的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對(duì)進(jìn)入“書法”興趣小組的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對(duì)進(jìn)入“詩詞”興趣小組的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該同學(xué)在興趣小組方面獲得校本選修學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率.解：（1）由題意得：，解得：；（2）設(shè)該同學(xué)在興趣小組方面獲得校本選修學(xué)分的分?jǐn)?shù)為，則，，，所以.即該同學(xué)在興趣小組方面獲得校本選修學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率為.18.如圖，四棱臺(tái)中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，分別為DC，BC的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，若存在，求出線段BM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）證明：由題設(shè)，得四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，故，所以，若平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，顯然，而面，所以面；（2）解：由（1）知：，所以到平面的距離為（3）解：假設(shè)在上存在點(diǎn)，且，，則，直線與平面所成的角為，故，所以，即，可得或，時(shí)，，則，時(shí)，，則，綜上，長(zhǎng)為或.19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的比為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明其形狀；（2）已知，過直線上的動(dòng)點(diǎn)分別作曲線的兩條切線PQ，為切點(diǎn)），連接PD交QR于點(diǎn)，（?。┳C明：直線QR過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）是否存在點(diǎn)P，使的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，