九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考(北師大版高效培優(yōu)強(qiáng)化卷)(全解全析)_第1頁
九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考(北師大版高效培優(yōu)強(qiáng)化卷)(全解全析)_第2頁
九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考(北師大版高效培優(yōu)強(qiáng)化卷)(全解全析)_第3頁
九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考(北師大版高效培優(yōu)強(qiáng)化卷)(全解全析)_第4頁
九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考(北師大版高效培優(yōu)強(qiáng)化卷)(全解全析)_第5頁
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2025-2026學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷強(qiáng)化卷·全解全析(考試時間:120分鐘試卷滿分:120分)注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。4.測試范圍:北師大版九年級上冊第一章~第二章。一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1.下列方程中,是一元二次方程的是()A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的定義,解題的關(guān)鍵在于掌握一元二次方程必須滿足:(1)含有一個未知數(shù),含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2;(2)整式方程.根據(jù)一元二次方程的定義求解,即可解題.【詳解】解:A.,含兩個未知數(shù),不是一元二次方程,不符合題意;B.,不是等式,故不是一元二次方程,不符合題意;C.,是一元二次方程,符合題意;D.,當(dāng)時,二次項(xiàng)不存在,故不是一元二次方程,不符合題意;故選:C.2.如圖,在菱形中,E是的中點(diǎn),連接,若,則的度數(shù)是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì),連接,由菱形的性質(zhì)得,,由垂直平分,得,則是等邊三角形,所以,則,于是得到問題的答案,熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.【詳解】解:連接,∵四邊形是菱形,∴,,∵E是的中點(diǎn),,∴垂直平分,∴,∴,∴是等邊三角形,∴,∴,故選:A.3.關(guān)于的一元二次方程的一個解是0,則的值為(

)A.0 B. C.1 D.【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義、一元二次方程的解及解一元二次方程,根據(jù)一元二次方程的定義得出是解題的關(guān)鍵.把代入方程得,,求得或,再根據(jù),即可求解.【詳解】解:∵關(guān)于x的一元二次方程的一個解是0,∴把代入得,,∴解得或,∵,即,∴.故選:A.4.如圖,在矩形中,對角線,相交于點(diǎn),,,則的長為(

)A.4 B. C.2 D.【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的性質(zhì)得到,,由得到,則有,即可求解.【詳解】解:∵矩形,∴,,,,∴,又∵,∴,∵在中,,,∴,故選:C.5.菱形的一條對角線長為6,邊的長是方程的一個根,則菱形的面積為()A.48 B.24 C.15 D.12【答案】B【分析】此題考查了解一元二次方程-因式分解法,菱形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵.求出已知方程的解,確定出的長,再利用菱形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解:方程,分解因式得:,可得或,解得:或,當(dāng)時,,不能構(gòu)成三角形,舍去;當(dāng)時,設(shè)菱形對角線相交于O,如圖,∵菱形,∴,,由勾股定理,得,∴∴菱形面積為;故選:B.6.如圖,在中,點(diǎn)D、E、F分別在邊、、上,且,.下列四種說法:①四邊形是平行四邊形;②如果,那么四邊形是矩形;③如果平分,那么四邊形是菱形;④如果且,那么四邊形是菱形.其中,正確的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定,等腰三角形的判定和性質(zhì),掌握特殊四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵.根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,可判斷①結(jié)論;根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形,可判斷②結(jié)論;根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,可判斷③結(jié)論;根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和對角線平分一組內(nèi)角的平行四邊形是菱形,可判斷④結(jié)論.【詳解】解:,,四邊形是平行四邊形,①結(jié)論正確;,四邊形是矩形,②結(jié)論正確;平分,,,,,,四邊形是菱形,③結(jié)論正確;,,平分,同③理:四邊形是菱形,④結(jié)論正確;即正確的有4個,故選:D7.定義運(yùn)算:,例如:.則方程的根的情況為()A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根C.無實(shí)數(shù)根 D.只有一個實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】本題考查了根的判別式:一元二次方程的根與有如下關(guān)系:當(dāng)時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時,方程無實(shí)數(shù)根.利用新定義得到,然后利用可判斷方程根的情況.【詳解】解:由新定義得:,,∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.故選:A.8.“趙爽弦圖”通過對圖形的切割、拼接,巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理.如圖由兩個全等的矩形和矩形,與一個小正方形剪拼成大正方形,點(diǎn),,在一條直線上,若,,則拼補(bǔ)后的正方形邊長為(

)A.5 B.6 C. D.【答案】A【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、長方形的性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)題意得到線段的關(guān)系.根據(jù)矩形和矩形全等,四邊形是正方形,可知,繼而可求,再根據(jù)正方形的面積求解即可.【詳解】解:∵矩形和矩形全等,四邊形是正方形,∴,又∵,,∴,∴,∴正方形的面積為,∴正方形邊長為,故選:A.9.如圖,某養(yǎng)雞戶用一段長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一邊靠墻(墻長)的矩形雞舍,其面積為.在雞舍的邊中間位置留一個寬的門(由其他材料制成),則的長為()A.或 B.或 C. D.【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,設(shè),則,根據(jù)矩形雞舍的面積為,列出關(guān)于的一元二次方程,解之取符合題意的值即可.【詳解】解:設(shè),則,根據(jù)題意得:,整理得:,解得:,,又墻長,,即的長為,故選:D.10.如圖1,在菱形中,連接,動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線勻速運(yùn)動,回到點(diǎn)后停止.設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的路程為,線段的長為,圖2是與的函數(shù)關(guān)系的大致圖象,點(diǎn)為第2段函數(shù)圖象上的最低點(diǎn),結(jié)合圖象判斷以下結(jié)論:①;②為等邊三角形;③菱形的面積為;④最低點(diǎn)的坐標(biāo)為.其中結(jié)論正確的個數(shù)是(

)A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【分析】本題主要考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖像,菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等等.根據(jù)題意求得,得到和為等邊三角形,作于點(diǎn),利用勾股定理求得,據(jù)此求解可得結(jié)論.【詳解】解:∵菱形,∴,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B處時,,即,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)D處時,,所以,故①正確;∴,∴和為等邊三角形,故②正確;作于點(diǎn),∵,∴,∴,∴菱形的面積為,故③錯誤;當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)H處時,,,∴最低點(diǎn)的坐標(biāo)為,故④正確;綜上,①②④正確;故選:B.二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)11.當(dāng)時,關(guān)于的方程是一元二次方程.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的概念,注意一元二次方程中,方程最高次數(shù)為二次;二次項(xiàng)系數(shù).【詳解】解:由題意可得:,且,解得:.故答案為:.12.如圖,正方形的外側(cè)作等邊三角形,連接,與對角線交于點(diǎn),那么的度數(shù)為.【答案】【分析】本題主要是考查正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),本題的關(guān)鍵是求出.根據(jù)正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)求出,,再求.【詳解】解:四邊形是正方形,,又是等邊三角形,,,,,,,又,.故答案為:.13.已知m,n是方程的兩個實(shí)數(shù)根,則的值為.【答案】【分析】此題考查一元二次方程的解,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)方程的解及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得,,,推出,將式子的值代入計(jì)算即可.【詳解】解:∵m,n是方程的兩個實(shí)數(shù)根,∴,,,∴,∴.14.如圖,在矩形中,,點(diǎn)E在上,且平分,則的面積為.【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的判定.根據(jù)矩形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定可得,再由勾股定理可得的長,即可求解.【詳解】解:∵四邊形是矩形,,∴,,∴,∵平分,∴,∴,∴,∴,∴,∴的面積為.故答案為:15.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】且.【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式,一元二次方程的定義,正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,得,且,再進(jìn)行計(jì)算,即可作答.【詳解】解:∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,∴,且∴且;故答案為:且.16.在菱形中,,,M為對角線的中點(diǎn),N為邊上一個動點(diǎn),若為等腰三角形,則的長為.【答案】或1【分析】本題考查了菱形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,由菱形的性質(zhì)可求,,可證是等邊三角形,可得,,由勾股定理可求的長,分,兩種情況討論,由等腰三角形的性質(zhì)可求解.【詳解】解:如圖,連接,四邊形是菱形,,與互相垂直平分,,,是等邊三角形,,,,當(dāng)時,則,,∴,,,,,,當(dāng)時,,故答案為:或1.三、解答題(第17,18,19,20題,每題6分;第21,22,23題,每題8分;第24,25題,每題12分;共9小題,共72分)17.解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程:(1)利用配方法解答即可;(2)利用因式分解法解答即可.【詳解】(1)解:,即,∴,解得:;(2)解:∴,∴,∴,解得:.18.已知:如圖,在中,,點(diǎn)D是的中點(diǎn),過點(diǎn)A作,,連接,.(1)求證:四邊形是菱形;(2)若,,求菱形的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)先證明四邊形是平行四邊形,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì),即可證明結(jié)論;(2)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得,然后根據(jù)勾股定理求出,再證明,即可得答案.【詳解】(1)證明:,,四邊形是平行四邊形,,點(diǎn)D是的中點(diǎn),,平行四邊形是菱形.(2)解:,,,,,四邊形是平行四邊形,,點(diǎn)D是的中點(diǎn),,.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定,平行四邊形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握菱形的判定及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.19.已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)求證:方程總有兩個實(shí)數(shù)根;(2)若這個方程的兩根為,,且滿足,求k的值.【答案】(1)見解析(2),【分析】本題考查根的判別式,根與系數(shù)之間的關(guān)系,熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn),是解題的關(guān)鍵:(1)求出判別式的符號,即可得證;(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,得到,整體代入法列出方程進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)證明:∵,∴,∴方程總有兩個實(shí)數(shù)根;(2)∵,∴,∵,∴,解得:,.20.東勝區(qū)“悠悠果業(yè)”經(jīng)銷一種進(jìn)口水果,原價每千克75元,連續(xù)兩次降價后每千克48元,若每次下降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率.(2)若每千克盈利10元,每天可售出500千克,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進(jìn)貨價不變的情況下商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價措施,若每千克漲價0.5元,日銷售量將減少10千克,現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元,且要盡快減少庫存,那么每千克應(yīng)漲價多少元?【答案】(1)每次下降的百分率為;(2)該商場要保證每天盈利6000元,那么每千克應(yīng)漲價5元.【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到蘊(yùn)含的相等關(guān)系,列出方程.(1)設(shè)每次降價的百分率為,為兩次降價的百分率可列出方程,進(jìn)而求解即可;(2)根據(jù)總盈利=每千克盈余×數(shù)量,列出一元二次方程,然后求出其解即可得到結(jié)果,結(jié)合“盡快減少庫存”確定解的取舍.【詳解】(1)解:設(shè)每次下降的百分率為,根據(jù)題意得:解得:(舍)或,答:每次下降的百分率為;(2)解:設(shè)每千克應(yīng)漲價元,由題意得:整理得解得:,因?yàn)橐M快減少庫存,所以符合題意.答:該商場要保證每天盈利6000元,那么每千克應(yīng)漲價5元.21.已知:如圖,正方形中,,點(diǎn)F為對角線上一點(diǎn),聯(lián)結(jié),過點(diǎn)F作交線段于點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合),過E作,過D作,與交于點(diǎn)G.(1)證明四邊形為正方形;(2)聯(lián)結(jié),設(shè),,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;(3)當(dāng)為等腰三角形時,直接寫出的長度.【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】(1)先證明四邊形是矩形,過F作于M,于N,證明四邊形是矩形得到,進(jìn)而得到,證明得到,然后根據(jù)正方形的判定可得結(jié)論;(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求得,證明得到,進(jìn)而可求解;(3)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到,,則,當(dāng)為等腰三角形時,,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理推導(dǎo)出,利用等角對等邊可得,進(jìn)而求得.【詳解】(1)證明:∵,,,∴,∴四邊形是矩形,過F作于M,于N,則,∵四邊形是正方形,∴,,∴四邊形是矩形,,∴,則,又,∴,在和中,∴,∴,∴四邊形為正方形;(2)解:∵四邊形為正方形和四邊形是正方形,∴,,,,∴,,∴,∴,∵,,點(diǎn)E不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合,∴;(3)解:∵,∴,,又,∴,∴當(dāng)為等腰三角形時,,∴,又,∴,∴,在中,,∴,∴,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、函數(shù)解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理等知識,熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.22.定義:如果關(guān)于x的一元二次方程(,,均為常數(shù),)有兩個實(shí)數(shù)根,且其中一個根比另一個根大,則稱這樣的方程為“鄰根方程”.(1)下列方程中,是“鄰根方程”的是(填序號).①;②;③(2)若是“鄰根方程”,求的值.(3)若一元二次方程(,均為常數(shù))為“鄰根方程”,請寫出,滿足的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)①③(2)或(3)【分析】本題主要考查了解一元二次方程,根與系數(shù)的關(guān)系,理解題意“鄰根方程”的定義是解題關(guān)鍵.(1)分別求得①②③中方程的兩個根,再根據(jù)“鄰根方程”的定義判斷即可;(2)先求出方程的兩個根,再根據(jù)“鄰根方程”的定義列出關(guān)于的一元一次方程,求解即可;(3)設(shè)方程的兩個根、,根據(jù)“鄰根方程”的定義得,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到,的數(shù)量關(guān)系.【詳解】(1)解:①解方程得:,,,方程是“鄰根方程”;②解方程得:,,方程不是“鄰根方程”;③解方程得:,,,方程是“鄰根方程”.故答案為:①③.(2)解:解方程得:,,該方程式“鄰根方程”,或,解得:或.(3)解:一元二次方程(,均為常數(shù))為“鄰根方程”,設(shè)方程的兩個根為、,則,,,,得,,,.23.如圖,在矩形中,,.動點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā),以的速度沿著折線向終點(diǎn)運(yùn)動,同時動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以的速度沿著向終點(diǎn)運(yùn)動,連接,,設(shè)運(yùn)動時間為,的面積為.(1)當(dāng)點(diǎn)在邊上時,,(用含的式子表示).(2)當(dāng)時,求的值.(3)連接,當(dāng)時,求的值.(4)當(dāng)點(diǎn)在邊上,且時,直接寫出的值.【答案】(1)(2)(3)(4)7【分析】本題主要考查了動點(diǎn)問題、列代數(shù)式、勾股定理、一元二次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn),根據(jù)題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.(1)直接根據(jù)題意列代數(shù)式即可;(2)先畫出圖形,再求出,然后根據(jù)圖形以及三角形面積公式求解即可;(3)先題意畫出圖形可得:,,再根據(jù)勾股定理列方程求得,再,然后根據(jù)圖形以及三角形面積公式求解即可;(4)由點(diǎn)在邊上可得,據(jù)此畫出圖形,再用x表示出,,然后根據(jù)列一元二次方程求解即可.【詳解】(1)解:∵在矩形中,,.∴由題意可得:,則.故答案為:,.(2)解:如圖:當(dāng)時,點(diǎn)P在上,點(diǎn)Q在上,,所以的面積為.(3)解:由題意可得:,,∵,∴,解得:,如圖:當(dāng)時,點(diǎn)P在上,點(diǎn)Q在上,,所以的面積為.(4)解:如圖:∵點(diǎn)在邊上,,∴,,∵,∴,∴,整理得:,解得:或9(不合題意、舍去),∴的值為7.24.如圖,四邊形為菱形,,,點(diǎn)為對角線上一個動點(diǎn),連接,將射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到射線,射線交直線于點(diǎn).【嘗試解決】(1)當(dāng)運(yùn)動到中點(diǎn)時,求線段的長;【深入探究】(2)小明發(fā)現(xiàn)隨著點(diǎn)運(yùn)動,線段、的長也在變化,但始終有,請判斷他的說法是否準(zhǔn)確,并說明理由;【拓展提升】(3)探究與的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1);(2)小明的說法正確,始終有,理由見解析;(3)與的數(shù)量關(guān)系為或3EC+DF=6,理由見解析.【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),直角三角形的邊角關(guān)系定理,勾股定理,熟練掌握菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)利用菱形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)得到,則∠AEF=∠DCA,于是,可得為的中位線,利用三角形的中位線定理解答即可;(2)過點(diǎn)作于點(diǎn),于點(diǎn),利用菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論;(3)利用分類討論的思想方法分三種情況討論解答:當(dāng)點(diǎn)在邊上時,過點(diǎn)作于點(diǎn),于點(diǎn),連接,利用菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到,,利用等腰三角形的性質(zhì)定理得到BH=12DF;設(shè),則AH=AB-BH=6-a,,可求,則,通過計(jì)算可得3CE-DF=6;當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時,過點(diǎn)作于點(diǎn),于點(diǎn),連接,利用的方法解答即可;當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時,過點(diǎn)作于點(diǎn),交的延長線于點(diǎn),連接,利用的方法解答即可.【詳解】(1)當(dāng)運(yùn)動到中點(diǎn)時,四邊形為菱形,,,,,∠BAC=∠DAC=12∠∴∠DCA為中點(diǎn),,,∵∠BEF,∴∠AEF,為的中位線,∴EF(2)小明的說法正確,始終有,理由:過點(diǎn)作于點(diǎn),于點(diǎn),如圖,,,∴∠AGE四邊形的內(nèi)角和為,,∴∠GEH∴∠BEF∴∠GEF四邊形為菱形,平分,,,.在和中,∠GEF,.小明的說法正確,始終有;(3)與的數(shù)量關(guān)系為3EC-DF當(dāng)點(diǎn)在邊上時,過點(diǎn)作于點(diǎn),于點(diǎn),連接,如圖,四邊形為菱形,平分,,在和中,AD=,,由(2)知:,,,,,∴FG∴BH設(shè),則AH=AB-BH在中,∴∴則AE=連接,交于點(diǎn),如圖,四邊形為菱形,平分,,,,,∴AO∴AC∴EC∴3∴3當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時,過點(diǎn)作于點(diǎn),于點(diǎn),連接,如圖

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