大一高數(shù)考試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$y=\frac{1}{\ln(x-1)}$的定義域是（）A.$x>1$B.$x\neq2$C.$x>1$且$x\neq2$D.$x\geq1$2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，與$x$是等價(jià)無窮小的是（）A.$\sin2x$B.$1-\cosx$C.$\ln(1+x)$D.$2x$3.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)是$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)為$x^2$，則$f^\prime(x)=$（）A.$2x$B.$x$C.$2$D.$1$5.$\int\cos2xdx=$（）A.$\frac{1}{2}\sin2x+C$B.$\sin2x+C$C.$-\frac{1}{2}\sin2x+C$D.$-\sin2x+C$6.曲線$y=x^3-3x$的拐點(diǎn)是（）A.$(0,0)$B.$(1,-2)$C.$(-1,2)$D.不存在7.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=$（）A.1B.0C.不存在D.$\infty$8.函數(shù)$y=\sqrt{4-x^2}$的定義域?yàn)椋ǎ〢.$(-2,2)$B.$[-2,2]$C.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$D.$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$9.設(shè)$f(x)=e^{2x}$，則$f^\prime(0)=$（）A.1B.2C.0D.$e$10.$\int\frac{1}{x}dx=$（）A.$\lnx+C$B.$\ln|x|+C$C.$-\frac{1}{x^2}+C$D.$x^{-1}+C$答案：1.C2.C3.A4.C5.A6.A7.B8.B9.B10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=|x|$2.下列極限存在的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$3.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)4.下列函數(shù)中，哪些是基本初等函數(shù)（）A.$y=x^2$B.$y=\lnx$C.$y=2^x$D.$y=\sinx$5.若$F(x)$是$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)，則（）A.$\intf(x)dx=F(x)+C$B.$F^\prime(x)=f(x)$C.$\intF^\prime(x)dx=F(x)+C$D.$f^\prime(x)=F(x)$6.下列積分計(jì)算正確的是（）A.$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$B.$\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$C.$\inte^xdx=e^x+C$D.$\int\sinxdx=-\cosx+C$7.函數(shù)$y=x^3-3x$的單調(diào)區(qū)間有（）A.單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,-1)$B.單調(diào)遞減區(qū)間為$(-1,1)$C.單調(diào)遞增區(qū)間為$(1,+\infty)$D.單調(diào)遞減區(qū)間為$(-\infty,-1)$8.下列哪些是無窮小量（）A.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^2$B.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，$\frac{1}{x}$C.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$\sinx$D.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，$x$9.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則（）A.$f(x)$在$[a,b]$上有最大值B.$f(x)$在$[a,b]$上有最小值C.$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)一定可導(dǎo)D.$f(x)$在$[a,b]$上可積10.下列說法正確的是（）A.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)B.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)C.可微函數(shù)一定可導(dǎo)D.可導(dǎo)函數(shù)一定可微答案：1.ABD2.ABD3.ABC4.ABCD5.ABC6.ABCD7.ABC8.ABC9.ABD10.ACD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處一定有定義。（）3.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$(x_0,f(x_0))$處一定有切線。（）4.若$f^\prime(x)=g^\prime(x)$，則$f(x)=g(x)$。（）5.$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$（$f(x)$為奇函數(shù)）。（）6.函數(shù)$y=x^4$在$x=0$處取得極小值。（）7.無窮小量與無窮大量的乘積一定是無窮小量。（）8.函數(shù)$y=\sqrt{x}$是基本初等函數(shù)。（）9.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則$f(x)$在區(qū)間$I$上是常數(shù)函數(shù)。（）10.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記號無關(guān)。（）答案：1.×2.×3.√4.×5.√6.√7.×8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+5$的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式$(X^n)^\prime=nX^{n-1}$，$y^\prime=3x^2-6x$。2.計(jì)算$\intxe^{x^2}dx$。答案：令$u=x^2$，則$du=2xdx$，原式$=\frac{1}{2}\inte^udu=\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$。3.求極限$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$。答案：利用等價(jià)無窮小，當(dāng)$x\to0$時(shí)，$\sin3x\sim3x$，則$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{3x}{x}=3$。4.確定函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)并判斷類型。答案：$x=1$是間斷點(diǎn)。$\lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}=\infty$，所以$x=1$是無窮間斷點(diǎn)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)$y=x^2-4x+3$的單調(diào)性與極值。答案：$y^\prime=2x-4$，令$y^\prime=0$，得$x=2$。當(dāng)$x<2$時(shí)，$y^\prime<0$，函數(shù)遞減；當(dāng)$x>2$時(shí)，$y^\prime>0$，函數(shù)遞增。所以$x=2$時(shí)取極小值，$y(2)=-1$。2.討論定積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：定積分可用于計(jì)算平面圖形面積，如計(jì)算不規(guī)則圖形面積；還能計(jì)算變速直線運(yùn)動的路程，把變速運(yùn)動分割成小段勻速運(yùn)動來累加路程；也可計(jì)算變力做功等