實心圓截面桿和非薄壁空心圓截面受扭時，我們沒有理由認為它們橫截面上的切應力如同在受扭的薄壁圓筒中那樣是均勻的分布的?！?-3圓桿扭轉時的應力與變形8.3.1橫截面上的切應力現(xiàn)在的關鍵在于：確定切應力在橫截面上的變化規(guī)律，即橫截面上距圓心為任意半徑r的一點處切應力tr與r的關系。首先觀察受扭時，表面的變形情況，據(jù)此作出涉及桿件內(nèi)部變形情況的假設，最后還要利用應力和應變之間的物理關系。

(1)幾何關系

(2)物理關系

(3)靜力學關系1.幾何關系：(1)等直圓桿受扭時，畫在表面上的圓周線只是繞桿的軸線轉動，其大小和形狀都不改變；且在變形較小的情況時，圓周線的相對縱向距離也不變。如下圖，實驗表明：ABab′O′bTT(2)平截面假設等直桿受扭時，它的橫截面如同剛性的圓盤那樣繞桿的軸線轉動。同樣，等直圓桿受扭時，其橫截面上任一根半徑其直線形狀仍然保持為直線，只是繞圓心旋轉了一個角度。ABab′O′bTT取微段dx分析：得半徑為r的任意圓柱面上的切應變。

(a)rd

x式中：df/dx

是長度方向的變化率，按平面假設是常量。這樣，等直圓桿受扭時，r與gr

成線性關系。(1)2.物理關系：由剪切胡克定律：tr=Ggr

，在t<tp

時，可把(1)式代入，得：上式表明：受扭的等直桿在線性彈性范圍內(nèi)工作時，橫截面上的切應力在同一半徑r的圓周上各點處大小相同，但它們隨r

作線性變化，同一橫截面上的最大切應力在圓周邊緣上（圖(b))，方向垂直于各自的半徑。(b)(2)上式與MT沒有聯(lián)系起來。若等截面圓桿在MT

作用下，則t如何？3.靜力學關系：(2)整個橫截面面積A范圍內(nèi)每個微面積dA乘以它到圓心的距離平方之總和，因此它是一個幾何性質，稱之為橫截面的極慣性矩，常用Ip來表示，即：(2)（單位：mm4或m4）上式為等直圓桿受扭時橫截面上任一點處切應力的計算公式。若求tmax，則令r

=r，有又故上述公式只適用于實心或空心圓截面等直桿在線性彈性范圍內(nèi)受扭情況。改寫成其中抗扭截面模量，常用單位：mm3或m3。.OABMT思考題8-4下圖所示為一由均質材料制成的空心圓軸之橫截面，該截面上的扭矩MT亦如圖所示，試繪出水平直經(jīng)AB上各點處切應力的變化圖。MTABO思考題8-4參考答案:一受扭圓軸,由實心桿1和空心桿2緊配合而成。整個桿受扭時兩部分無相對滑動,試繪出切應力沿水平直經(jīng)的變化圖，若(1)兩桿材料相同，即G1=G2=G；(2)兩材料不同，G1=2G2。MT12思考題8-5思考題8-5(1)答案：MTG1=G2=G21思考題8-5(2)答案：MTG1=2G221主要計算實心圓截面和空心圓截面。如圖有o8.3.2極慣性矩和抗扭截面模量Ip和Wp對于實心圓截面o對于空心圓截面（外徑D，內(nèi)徑d）

式中：a=d/D千萬不要出錯！應當注意：思考題：教材133頁思考題８－２（第二版165頁思考題８－３）8.3.3扭轉角若l范圍內(nèi)，T是常量，GIp也為常量，則上式GIp越大，扭轉角越小，故稱為抗扭剛度。lgTT比較：一水輪機的功率為Nk=7350kW，其豎軸是直徑為d=650mm，而長度為l=6000

mm的等截面實心鋼軸，材料的剪切彈性模量為G=0.8×105MPa。求當水輪機以轉速n=57.7r/min勻速旋轉時，軸內(nèi)的最大切應力及軸的兩個端面間的相對扭轉角f。OTa例題8-2OTa解：軸傳遞功率Nk(kW)，相當于每分鐘傳遞功W=1000×Nk×60(N·m)(1)令(1)、(2)相等，得外力偶作功

(2)即例題8-2因此作用在軸上的外力偶矩T為OTa極慣性矩例題8-2圖示傳動軸系鋼制實心圓截面軸。已知：

T1=1592N·m，T2=955N·m，T3=637N·m截面A與截面B、C之間的距離分別為lAB=300mm和lAC=500mm。軸的直徑d

=70mm,

鋼的剪切彈性模量G=8×104MPa。試求截面C對B的扭轉角

dABC例題8-3

dABC解：由截面法得Ⅰ，Ⅱ兩段內(nèi)扭矩分別為MTⅠ=955N·m,MTⅡ=637N·m。先分計算B，C截面對A之扭轉角fAB，fAC,則可以假想此時A不動。例題8-3

dABC由于假想截面A固定不動，故截面B、C相對于截面A的相對轉動應分別與扭轉力偶矩T2、T3的轉向相同，從而fAB和fAC的轉向相同。由此可見，截面C對B的扭轉角fBC應是：上兩式中的Ip可以利用例題8-3其轉向與扭轉力偶矩T3相同。

dABC例題8-3直徑50mm的鋼圓軸，其橫截面上的扭矩MT=1.5kN·m，求橫截面上的最大切應力。思考題8-6T=1.5kN·mTlT思考題8-7空心圓軸的直徑d=100mm，長l=1m，作用在兩個端面上的外力偶之矩均為T=14kN·m，但轉向相反。材料的切變模量G=8×104MPa。求：(1)橫截面上的切應力，以及兩個端面的相對扭轉角。(2)圖示橫截面上ABC三點處切應力的大小及方向。ABCO25TlT(1)

tmax=71.3

MPa

f=0.01784rad(2)tA=tB=tmax=

71.3

MPa

tC=35.7MPa思考題8-7答案：ABCO25下圖(a)所示的扭轉超靜定問題，若假想地解除B端的約束，而利用B截面的扭轉角為零作為位移條件求解(圖(b))，試列出其求解過程。AablCBT思考題8-8ATBTB思考題8-8答案：先考慮

T作用，則只考慮TB的作用，則ATBTB相容條件：則TA=Tb/l上述結果可與書例題8-4進行比較。得8.3.4斜截面上的應力通過扭轉實驗發(fā)現(xiàn)：(1)低碳鋼試件系橫截面剪斷；(2)鑄鐵試件則沿著與軸線成45o的螺旋線剪斷；(3)木材試件沿與軸線平行的方向劈裂。研究類似鑄鐵試件破壞原因考慮斜截面上的應力。方法：扭桿假想切開斜截面扭桿，應力分布不均勻，不能切開斜截面xTA(a)點上切一個單元體(1)左、右橫截面(2)頂、底面，徑向截面前、后面，切向截面切應力互等，純剪切狀態(tài)xx(b)adcd思考題8-9如圖所示為從受扭實心圓截面桿中，以徑向截面ABEF取出的分離體（半個圓柱體）。試繪出（1）橫截面AGB上應力沿直徑AB的分布；（2）徑截面ABEF上應力分別沿直徑AB、CD、EF的分布。ECFDBAG思考題8-9答案:ECFDBAG現(xiàn)從受扭圓桿件的表面A取出一單元體（圖(b)）,圖(b)處于純剪切狀態(tài),現(xiàn)改其為平面圖表示：xTA(a)xx(b)adcbyabcdenx(a)detnxc(b)yabcdenx(a)研究垂直于前后兩個面的任意斜截面de上的應力,如圖(a)、(b)。de

斜面作著未知的正應力sa和切應力ta。detnxc(b)設de的面積為dA，則detnxc(b)簡化后：同理得：detnxc(b)當a＝0o與a＝90o時：ta有最大值，即為ta=±45o的情況下：sa有極值，即為t。a=145o，sa=smin=-ta=-45o，sa=smax=+t由此看來，鑄鐵圓柱的所謂扭轉破壞，其實質上是沿45o方向拉伸引起的斷裂。也因此，在純剪切應力狀態(tài)下直接引起斷裂的最大拉應力smax總是等于橫截面上相應的切應力，所以在鑄鐵圓桿的抗扭強度的計算中也就以橫截面上的t作為依據(jù)。如下圖所示。TT斷裂線σmin1.薄壁圓筒扭轉時的應力和變形。小結：2.圓桿扭轉時的應力和變形。(1)橫截面上的應力——材料的剪切胡克定律——Ｅ、Ｇ、n三者之間的關系

(a)幾何關系

(b)物理關系(c)靜力學關系(d)