專題23.1成比例線段與相似圖形1.成比例線段的定義及比例的基本性質(zhì)（重點(diǎn)）2.黃金分割的定義及簡單計(jì)算（重點(diǎn)）3.相似圖形的概念，尤其是相似多邊形的定義和基本性質(zhì)（重點(diǎn)）4.靈活運(yùn)用比例的基本性質(zhì)解決復(fù)雜問題（難點(diǎn)）5.“找等量關(guān)系”時(shí)，難以將實(shí)際問題中的文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子（難點(diǎn)）6.運(yùn)用相似多邊形的性質(zhì)解決綜合性問題（難點(diǎn)）相似圖形1.定義我們把具有相同形狀的圖形稱為相似圖形特別解讀1.“形狀相同”是判定相似圖形的唯一條件2.兩個(gè)圖形相似是指它們的形狀相同，與它們的位置、大小無關(guān)2.兩個(gè)關(guān)系(1)相似圖形之間的關(guān)系:兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到(2)相似與全等的關(guān)系:當(dāng)兩個(gè)圖形的形狀相同、大小也相司時(shí)，它們是全等圖形，全等圖形是相似圖形的特殊情況，即全等圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是全等圖形，只有相似圖形的大小相同時(shí)，它們才全等成比例線段1．兩條線段的比在同一單位長度下，兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比。線段與線段的比記作＂＂或"a:b".2.對(duì)于給定的四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的長度之比等于另外兩條線段的長度之比，如（或，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．此時(shí)也稱這四條線段成比例．在通常情況下，四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，也可以使與的單位一致，與的單位一致。線段a,b,c,d成比例，只可以寫成或，即四條線段a,b,c,d成比例是有順序的，不能隨便更改位置。3．比例中項(xiàng)如果，那么叫做和的比例中項(xiàng)，當(dāng)a,b,c為一般實(shí)數(shù)時(shí)，則由得同號(hào)）；當(dāng)a,b,c為線段長時(shí)，則由得．比例的基本性質(zhì)1.比例的基本性質(zhì)如果，那么；如果，那么．2.比例的基本性質(zhì)推廣（1）合比性質(zhì)：；（2）等比性質(zhì)：0）．平行線分線段成比例的基本事實(shí)平行線分線段成比例的基本事實(shí)兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例（簡稱“平行線分線段成比例”)數(shù)學(xué)語言：如圖，∵，可簡記為：．1.所有的成比例線段是指被截直線上的線段，與這組平行線上的線段無關(guān)；2.利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)寫比例式時(shí)，一定要注意對(duì)應(yīng)線段寫在對(duì)應(yīng)的位置上平行線分線段成比例的推論平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例數(shù)學(xué)語言：如圖，若，則有或或．1.本推論的實(shí)質(zhì)是平行線分線段成比例的基本事實(shí)中一組平行線中的一條過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，一條在三角形一邊上的特殊情況。2.當(dāng)被截的兩條直線相交時(shí)，其交點(diǎn)處可看成含一條隱形的平行線相似三角形1.定義對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似，反之兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等2.表示方法相似用符號(hào)＂cs＂來表示，讀作＂相似于＂．例如與相似，記作＂＂，讀作＂相似于＂。3．相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等。用符號(hào)“”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，相似三角形的相似比具有順序性平行線截三角形相似的定理定理平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似根據(jù)定理得到的相似三角形的三個(gè)基本圖形中都有，圖①②很像大寫字母，故我們稱之為＂A＂型相似；圖③很像大寫字母X，故我們稱之為＂＂型相似（也像阿拉伯?dāng)?shù)字＂8＂）．題型一、比例的性質(zhì)例1（24-25九年級(jí)上·四川·期中）如果，那么．1-1（24-25九年級(jí)上·重慶·期中）如果，那么．1-2（24-25九年級(jí)上·上海楊浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（

）A． B． C． D．1-3（24-25九年級(jí)上·廣西來賓·期中）若，則的值是（

）A． B． C．20 D．1-4（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期中）已知，那么（

）A． B． C． D．題型二、比例線段例2（24-25九年級(jí)上·上?！て谥校┰诒壤邽榈牡貓D上量得兩個(gè)城市間的距離是，那么這兩個(gè)城市的實(shí)際距離是．2-1（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期中）已知線段，則線段a，b的比例中項(xiàng)是．2-2（24-25九年級(jí)上·廣東河源·期中）下列四組長度的線段中，是比例線段的是（

）A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，152-3（24-25九年級(jí)上·江蘇無錫·期中）在比例尺為的無錫旅游地圖上，某條道路的長為，則這條道路的實(shí)際長度為km．2-4（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期中）（1）已知，則代數(shù)式的值是；（2）已知線段，，則線段a，b的比例中項(xiàng)是．題型三、成比例線段例3（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）在比例尺為的合肥市城區(qū)地圖上量得包公祠與大蜀山兩地間距離是，那么兩地的實(shí)際距離是．3-1（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽·期中）已知a、b、c、d是一組成比例線段，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．3-2（24-25九年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期中）下列四組線段中，是成比例線段的是（

）A． B．C． D．3-3（24-25九年級(jí)上·陜西榆林·期中）若線段，，，是成比例線段，且，，，則（

）A． B． C． D．3-4（24-25九年級(jí)上·安徽六安·期中）已知：線段a，b，c，根據(jù)以下條件回答問題．(1)若，，c是a，b的比例中項(xiàng)線段，求c的長；(2)若，，求a，b，c的長．題型四、黃金分割例4（24-25九年級(jí)上·遼寧阜新·期中）在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比，已知這本書的長是24厘米，則它的寬為厘米．4-1（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，古箏上的一根弦的長度約為，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是弦靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則線段的長度約為cm．（結(jié)果保留根號(hào)）4-2（24-25九年級(jí)上·甘肅白銀·期中）已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，若，則．4-3（24-25九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期中）在絢麗多姿的秋色葉類植物中，爬山虎有著油畫般濃郁的色彩。我們學(xué)校墻上的五葉爬山虎樹葉，蘊(yùn)含著一種數(shù)學(xué)美：“黃金分割”．如圖，為的黃金分割點(diǎn)，如果的長度為8cm，那么的長度是（

）A． B．C． D．4-4（24-25九年級(jí)上·安徽六安·期中）黃金分割被很多人認(rèn)為是“最美比例”，在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個(gè)有著“最美比例”的鸚鵡螺，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，若，那么的長為（

）．A． B． C． D．題型五、由平行判斷成比例的線段例5（24-25九年級(jí)上·遼寧本溪·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若，，則的長為（

）A．3 B．5 C．6 D．95-1（24-25九年級(jí)上·福建泉州·期中）如圖，直線，分別交直線、于點(diǎn)、、、、、，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．5-2（24-25九年級(jí)上·陜西西安·期中）如圖，在中，是上的一點(diǎn)，請利用無刻度的直尺和圓規(guī)在上作一點(diǎn)，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡，并標(biāo)明字母）5-3（24-25九年級(jí)上·上海靜安·期中）已知線段，求作線段使，下列作法（圖中虛線均為平行線）中不正確的是（

）A． B．C． D．5-4（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，表示一個(gè)窗戶的高，和表示射入室內(nèi)的光線，窗戶的下端到地面的距離，已知某一時(shí)刻的地面的影長，在地面的影長，則窗戶的高是（）A． B． C． D．題型六、由平行截線求相關(guān)線段的長或比值例6（24-25九年級(jí)上·廣東茂名·期中）如圖，直線，，，，則的長為（

）A．3 B．1.5 C．4 D．26-1（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，在的菱形網(wǎng)格中，連接兩網(wǎng)格線上的點(diǎn)，，線段與網(wǎng)格線的交點(diǎn)為，，則為．6-2（24-25九年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，已知，，則．6-3（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，若，則的長為（）A． B． C． D．6-4（24-25九年級(jí)上·陜西榆林·期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，交于點(diǎn)，且．(1)_____．(2)求的長．題型七、相似圖形例7（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，在矩形、銳角三角形、直角三角形的外邊加寬度一樣的外框，保證外框邊與原圖形對(duì)應(yīng)邊平行，則外框與原圖不一定相似的是（

）．

A．矩形B．矩形和銳角三角形C．矩形和直角三角形D．銳角三角形和直角三角形7-1（24-25九年級(jí)上·甘肅天水·期中）下列每個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形，不是相似圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

7-2（23-24九年級(jí)上·河南駐馬店·期中）下列形狀分別為正方形、圓、正三角形、矩形的邊框，其中不一定是相似圖形的是（

）A． B．C． D．7-3（24-25九年級(jí)上·上海靜安·期中）下列選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形一定相似的是（

）A．兩個(gè)平行四邊形 B．兩個(gè)正方形 C．兩個(gè)菱形 D．兩個(gè)等腰三角形7-4（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）下列說法正確的是（）A．所有的矩形都是相似形B．所有的等腰直角三角形都相似C．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形相似D．對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似題型八、相似多邊形例8（24-25九年級(jí)上·福建三明·期中）下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁8-1（24-25九年級(jí)上·河南平頂山·期中）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)相似多邊形時(shí)，三位同學(xué)分別將邊長為4，6，6的等腰三角形、邊長為4的正方形和長、寬分別為6，4的矩形按如圖所示的方式向外擴(kuò)張，各得到一個(gè)新圖形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則畫出的三組圖形中，新圖形和舊圖形是相似多邊形的有（

）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組8-2（24-25九年級(jí)上·江蘇無錫·期中）下列命題中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圓都相似，正確命題的有．（填序號(hào)）8-3（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）下列說法中，正確的是（

）A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似8-4（24-25九年級(jí)上·遼寧·期中）下列兩個(gè)圖形一定相似的是（

）A．兩個(gè)菱形 B．兩個(gè)矩形 C．兩個(gè)正方形 D．兩個(gè)平行四邊形題型九、相似多邊形的性質(zhì)例9（24-25九年級(jí)上·河北邯鄲·期中）如圖，四邊形四邊形，則的值為．9-1（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽·期中）已知四邊形四邊形，且，若四邊形的周長為15，則四邊形的周長為．9-2（24-25九年級(jí)上·安徽滁州·期中）如圖，，，，，則邊的長是（

）A． B． C． D．9-3（24-25九年級(jí)上·江西撫州·期中）已知兩個(gè)矩形相似，第一個(gè)矩形的兩邊長分別是3和4，第二個(gè)矩形較短的一邊長是6，那么第二個(gè)矩形較長的一邊長是．9-4（24-25九年級(jí)上·遼寧朝陽·期中）（1）解方程：；（2）如圖，在矩形中，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，若矩形矩形，求的長．例已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，若，則．【答案】【分析】本題主要考查了黃金分割知識(shí)點(diǎn)，記住黃金分割公式是解題關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義即可求出答案．【詳解】解：∵C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，∴，，

故答案是：1．（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）已知，則下列式子正確的是（）A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·安徽蚌埠·期中）如圖，已知直線，，分別截直線于點(diǎn)，，，截直線于點(diǎn)，，，且．如果，，則的長為（

）A．4 B．6 C．7 D．83．（24-25九年級(jí)上·上?！て谥校┮阎敲聪铝兴膫€(gè)選項(xiàng)中一定正確的是（

）A． B． C． D．4．（24-25九年級(jí)上·上海浦東新·階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．兩個(gè)菱形相似 B．各有一個(gè)角的兩個(gè)等腰三角形相似C．一角相等的兩個(gè)直角三角形相似 D．腰對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似5．（24-25