2025年北師大數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯編第一章三角形的證明※知識(shí)點(diǎn)1全等三角形的判定及性質(zhì)判定定理簡(jiǎn)稱判定定理的內(nèi)容性質(zhì)SSS三角形分別相等的兩個(gè)三角形全等全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等SAS兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等ASA兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等AAS兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等

※知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)定理及推論內(nèi)容幾何語(yǔ)言條件與結(jié)論等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等。簡(jiǎn)述為：等邊對(duì)等角在△ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C條件：邊相等，即AB=AC結(jié)論：角相等，即∠B=∠C推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相垂直，簡(jiǎn)述為：三線合一在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，則AD是BC邊上的中線，且AD平分∠BAC條件：等腰三角形中一直頂點(diǎn)的平分線，底邊上的中線、底邊上的高線之一結(jié)論：該線也是其他兩線

※等腰三角形中的相等線段：1.等腰三角形兩底角的平分線相等2.等腰三角形兩腰上的高相等3.兩腰上的中線相等4.底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等※知識(shí)點(diǎn)3等邊三角形的性質(zhì)定理內(nèi)容性質(zhì)定理等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度解讀【要點(diǎn)提示】1）等邊三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性質(zhì)2）等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對(duì)角的平分線“三線合一”【易錯(cuò)點(diǎn)】所有的等邊三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等邊三角形※知識(shí)點(diǎn)4等腰三角形的判定定理內(nèi)容幾何語(yǔ)言條件與結(jié)論等腰三角形的判定定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)述為：等校對(duì)等邊在△ABC中，若∠B=∠C則AC=BC條件：角相等，即∠B=∠C結(jié)論：邊相等，即AB=AC

解讀【注意】對(duì)“等角對(duì)等邊”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一個(gè)三角形中”拓展判定一個(gè)三角形是等腰三角形有兩種方法（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角對(duì)等邊”

※知識(shí)點(diǎn)5反證法概念證明的一般步驟反證法在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推論方法，得出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果（3）由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題正確解讀【要點(diǎn)提示】（1）當(dāng)一個(gè)命題涉及“一定”“至少”“至多”“無(wú)限”“唯一”等情況時(shí)，由于結(jié)論的反面簡(jiǎn)單明確，常常用反證法來(lái)證明（2）“推理”必須順著假設(shè)的思路進(jìn)行，即把假設(shè)當(dāng)作已知條件，“得出矛盾”是指推出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果第二章

一元一次不等式與一元一次不等式組一.不等關(guān)系※1.一般地,用符號(hào)“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式※2.準(zhǔn)確“翻譯”不等式,正確理解“非負(fù)數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ).非負(fù)數(shù)<===>大于等于0(≥0)<===>0和正數(shù)<===>不小于0非正數(shù)<===>小于等于0(≤0)<===>0和負(fù)數(shù)<===>不大于0二.不等式的基本性質(zhì)※1.掌握不等式的基本性質(zhì),并會(huì)靈活運(yùn)用：(1)不等式的兩邊加上(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變，即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即：如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即：如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,

<span=""></bc,

<>※2.比較大小：(a、b分別表示兩個(gè)實(shí)數(shù)或整式)一般地：如果a>b，那么a-b是正數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果a-b是正數(shù)，那么a>b；如果a=b，那么a-b等于0；反過(guò)來(lái)，如果a-b等于0，那么a=b；如果a<b，那么a-b是負(fù)數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果a-b是正數(shù)，那么a<b；<span=""></b，那么a-b是負(fù)數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果a-b是正數(shù)，那么a<b；<>即：a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=0a

a-b<0三.不等式的解集：※1.能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解；一個(gè)不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集；求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式?！?.不等式的解可以有無(wú)數(shù)多個(gè)，一般是在某個(gè)范圍內(nèi)的所有數(shù)，與方程的解不同3.不等式的解集在數(shù)軸上的表示：用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：①邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無(wú)等號(hào)的是空心圓圈；②方向：大向右，小向左四.一元一次不等式：※1.只含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，像這樣的不等式叫做一元一次不等式?！?.解一元一次不等式的過(guò)程與解一元一次方程類(lèi)似，當(dāng)不等式兩邊都乘以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向?！?.解一元一次不等式的步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1(不等號(hào)的改變問(wèn)題)

※4.一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax<b)<span=""></b)<>①當(dāng)a>0時(shí)，解為；②當(dāng)a=0時(shí)，且b<0，則x取一切實(shí)數(shù)；當(dāng)a=0時(shí)，且b≥0，則無(wú)解；③當(dāng)a<0時(shí)，解為。5.列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類(lèi)似，即：①審：認(rèn)真審題，找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義；②設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；③列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；④解：解出所列的不等式的解集；⑤答：寫(xiě)出答案，并檢驗(yàn)答案是否符合題意。六.一元一次不等式組※1.定義：由含有一個(gè)相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。※2.一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集。如果這些不等式的解集無(wú)公共部分，就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解。（解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來(lái)確定。）

※3.解一元一次不等式組的步驟：(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實(shí)數(shù)，且a<b)<span=""></b)<>x>b，兩大取較大x>a，兩小取小a<x<b，大小交叉中間找<span=""></x<b，大小交叉中間找<>無(wú)解，在大小分離沒(méi)有解(是空集)第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)一、平移變換：

1.概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移。

2.性質(zhì)：（1）平移前后圖形全等；

（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行或在同一直線上且相等。

3.平移的作圖步驟和方法：

（1）分清題目要求，確定平移的方向和平移的距離；（2）分析所作的圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)健點(diǎn)；（3）沿一定的方向，按一定的距離平移各個(gè)關(guān)健點(diǎn)；（4）連接所作的各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并標(biāo)上相應(yīng)的字母；（5）寫(xiě)出結(jié)論。

二、旋轉(zhuǎn)變換：

1.概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。

說(shuō)明：（1）圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度所決定的；（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)中心始終保持不動(dòng)。（3）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)的方向是相同的．（4）旋轉(zhuǎn)過(guò)程靜止時(shí)，圖形上一個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度是一樣的。旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀。2.性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋角；（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。3.旋轉(zhuǎn)作圖的步驟和方法：（1）確定旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；（2）找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（3）將圖形的關(guān)鍵點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心連接起來(lái)，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度數(shù)，得到這些關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（4）按原圖形順次連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形。說(shuō)明：在旋轉(zhuǎn)作圖時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的夾角即為旋轉(zhuǎn)角。4.常見(jiàn)考法

（1）把平移旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來(lái)證明三角形全等；（2）利用平移變換與旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，設(shè)計(jì)一些題目

第四章

因式分解一.分解因式※1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式?！?.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系：因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘。二.提公共因式法※1.如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。※2.概念內(nèi)涵：(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”；(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式；(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律?！?.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：(1)注意項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò)；(2)公因式是否提“干凈”；(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式；提出后；括號(hào)中這一項(xiàng)為+1；不漏掉。三.公式法※1.如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法?！?.主要公式：(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)完全平方公式：

※3.運(yùn)用公式法：(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式；②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方；③二項(xiàng)是異號(hào)。(2)完全平方公式：①應(yīng)是三項(xiàng)式；②其中兩項(xiàng)同號(hào)，且各為一整式的平方；③還有一項(xiàng)可正負(fù)，且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍?！?.因式分解的思路與解題步驟：(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有，則先提取公因式；(2)再看能否使用公式法；(3)用分組分解法，即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的；(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積，否則不是因式分解；(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止。四.分組分解法：※1.分組分解法：利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法?！?.概念內(nèi)涵：分組分解法的關(guān)鍵是如何分組，要嘗試通過(guò)分組后是否有公因式可提，并且可繼續(xù)分解，分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式?！?.注意：分組時(shí)要注意符號(hào)的變化。五.十字相乘法：※1.對(duì)于二次三項(xiàng)式

，將a和c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積，

，

，且滿足

，往往寫(xiě)成的形式，將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解?！?.二次三項(xiàng)式的分解：

※3.規(guī)律內(nèi)涵：(1)理解：分解因式時(shí)，如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同。(2)如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同，對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)p。4.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：(1)十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò)；(2)分解的結(jié)果與原式不等，這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確。第五章

分式與方程一.認(rèn)識(shí)分式※1.兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí)，出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)；類(lèi)似地，當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí)，就出現(xiàn)了分式。整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式，對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為零?！?.整式和分式統(tǒng)稱為有理式，即※3.進(jìn)行分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，常要進(jìn)行約分和通分，其主要依據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。

※4.一個(gè)分式的分子、分母有公因式時(shí)，可以運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，把這個(gè)分式的分子、分母同時(shí)除以它的們的公因式，也就是把分子、分母的公因式約去，這叫做約分。二.分式的乘除法※1.分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分式除以以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

※2.分式乘方,把分子、分母分別乘方。

逆向運(yùn)用

，當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，仍然有成立?！?.分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式。三.分式的加減法※1.分式與分?jǐn)?shù)類(lèi)似，也可以通分。根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分?！?.分式的加減法：分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法一樣，分為同分母的分式相加減與異分母的分式相加減。(1)同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；(2)異號(hào)分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p；※3.概念內(nèi)涵：通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)分母，其方法如下：最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母的最高次冪的積，如果分母是多項(xiàng)式，則首先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。四.分式方程※1.解分式方程的一般步驟：①在方程的兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；②解這個(gè)整式方程；③把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡(jiǎn)公母為零的根是原方程的增根，必須舍去?！?.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審清題意；②設(shè)未知數(shù)；③根據(jù)題意找相等關(guān)系，列出(分式)方程；④解方程，并驗(yàn)根；⑤寫(xiě)出答案。第六章平行四邊形1.正確理解定義（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

（2）表示方法：用“

”表示平行四邊形，例如：平行四邊形ABCD記作

ABCD，讀作“平行四邊形ABCD”。2.熟練掌握性質(zhì)平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和判定都是從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面的特征進(jìn)行簡(jiǎn)述的。（1）角：平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；（2）邊：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行且相等；（3）對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；（4）面積：①；

②平行四邊形的對(duì)角線將四邊形分成4個(gè)面積相等的三角形?！?.平行四邊形的判別方法①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形②方法1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形③方法2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形④方法3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形⑤方法4：一組平行且相等的四邊形是平行四邊形4.※幾種特殊四邊形的有關(guān)概念（1）矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，它是研究矩形的基礎(chǔ)，它既可以看作是矩形的性質(zhì)，也可以看作是矩形的判定方法，對(duì)于這個(gè)定義，要注意把握：①平行四邊形；②一個(gè)角是直角，兩者缺一不可。（2）菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，它是研究菱形的基礎(chǔ)，它既可以看作是菱形的性質(zhì)，也可以看作是菱形的判定方法，對(duì)于這個(gè)定義，要注意把握：①平行四邊形；②一組鄰邊相等，兩者缺一不可。（3）正方形：有一組鄰邊相等且有一個(gè)直角的平行四邊形叫做正方形，它是最特殊的平行四邊形，它既是平行四邊形，還是菱形，也是矩形，它兼有這三者的特征，是一種非常完美的圖形。（4）梯形：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形，對(duì)于這個(gè)定義，要注意把握：①一組對(duì)邊平行；②一組對(duì)邊不平行，同時(shí)要注意和平行四邊形定義的區(qū)別，還要注意腰、底、高等概念以及梯形的分類(lèi)等問(wèn)題。（5）等腰梯形：是一種特殊的梯形，它是兩腰相等的梯形，特殊梯形還有直角梯形。※5.幾種特殊四邊形的有關(guān)性質(zhì)（1）矩形：①邊：對(duì)邊平行且相等；

②角：對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；③對(duì)角線：對(duì)角線互相平分且相等；

④對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（對(duì)邊中點(diǎn)連線所在直線，2條）（2）菱形：①邊：四條邊都相等；

②角：對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；③對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分且每條對(duì)角線平分每組對(duì)角；

④對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（對(duì)角線所在直線，2條）（3）正方形：①邊：四條邊都相等；

②角：四角相等；③對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線與邊的夾角為450；

④對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（4條）（4）等腰梯形：①邊：上下底平行但不相等，兩腰相等；

②角：同一底邊上的兩個(gè)角相等；對(duì)角互補(bǔ)③對(duì)角線：對(duì)角線相等；

④對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形（上下底中點(diǎn)所在直線）※6.幾種特殊四邊形的判定方法（1）矩形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是矩形①有一個(gè)角是直角的平行四邊形；

②對(duì)角線相等的平行四邊形；③四個(gè)角都相等

（2）菱形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是矩形①有一組鄰邊相等的平行四邊形；

②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形；

③四條邊都相等．（3）正方形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是正方形．①有一組鄰邊相等且有一個(gè)直角的平行四邊形②有一組鄰邊相等的矩形；

③對(duì)角線互相垂直的矩形．

④有一