2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與分層抽樣設(shè)計(jì)綜合試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.在抽樣調(diào)查中，下列哪種情況屬于非概率抽樣？（）A.簡單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.整群抽樣D.判斷抽樣2.抽樣誤差的主要來源是？（）A.抽樣框不完整B.調(diào)查員主觀判斷C.樣本代表性不足D.無回答3.某總體包含N個(gè)單位，將所有單位按一定順序排列，隨機(jī)確定一個(gè)起始點(diǎn)，然后按固定的間隔k（N/k為整數(shù)）依次抽取樣本單位，這種抽樣方法是？（）A.簡單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.整群抽樣4.在抽樣設(shè)計(jì)中，確定抽樣框的主要目的是？（）A.計(jì)算抽樣誤差B.提高樣本代表性C.便于實(shí)施抽樣操作D.減少無回答5.相比于簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)是？（）A.抽樣過程更簡單B.可以及時(shí)獲得總體信息C.通常能以更小的樣本量獲得更精確的估計(jì)D.適用于小規(guī)?？傮w6.若總體分為K個(gè)層，從第i層中抽取ni個(gè)樣本，則分層比例分配方法要求每個(gè)層抽取的樣本量ni與該層規(guī)模Ni的比例等于總體樣本量n與總體規(guī)模N的比例，即ni/Ni=n/N。這種說法？（）A.正確B.錯(cuò)誤7.在分層抽樣中，若各層的內(nèi)部方差較小而層間方差較大，則采用何種分配方法通常能獲得最小的抽樣方差？（）A.比例分配B.最優(yōu)分配（奈曼分配）C.經(jīng)濟(jì)分配D.以上皆非8.在采用整群抽樣時(shí)，為了減少抽樣誤差，通常需要？（）A.增大群內(nèi)差異，減小群間差異B.減小群內(nèi)差異，增大群間差異C.增大群內(nèi)差異，群間差異保持不變D.減小群內(nèi)差異，群間差異保持不變9.對(duì)于無限總體，抽樣比n/N通常被認(rèn)為？（）A.必須等于1B.必須小于1C.可等于1，也可小于1D.通常遠(yuǎn)小于110.無偏估計(jì)意味著？（）A.抽樣誤差為0B.抽樣估計(jì)量的均值等于總體參數(shù)的真值C.抽樣估計(jì)量的方差最小D.抽樣結(jié)果與實(shí)際值完全一致二、簡答題（每小題5分，共20分）1.簡述簡單隨機(jī)抽樣的定義及其主要特點(diǎn)。2.什么是抽樣框？簡述抽樣框質(zhì)量對(duì)抽樣調(diào)查的影響。3.比較分層抽樣與整群抽樣的主要區(qū)別。4.在什么情況下，采用整群抽樣的成本效益比簡單隨機(jī)抽樣更優(yōu)？三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）1.假設(shè)某城市有100萬戶家庭（N=100萬），計(jì)劃采用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取1000戶（n=1000）進(jìn)行家計(jì)調(diào)查。試計(jì)算樣本量。2.假設(shè)某地區(qū)人口分為農(nóng)業(yè)人口和非農(nóng)業(yè)人口兩大層。該地區(qū)農(nóng)業(yè)人口占70%（N1/N=0.7），非農(nóng)業(yè)人口占30%（N2/N=0.3）。各層內(nèi)部方差分別為：σ?2=400，σ?2=600。計(jì)劃總體樣本量為500人（n=500）。若采用比例分配方法，請(qǐng)計(jì)算從農(nóng)業(yè)人口層和非農(nóng)業(yè)人口層分別應(yīng)抽取的樣本量（n1,n2）。若采用最優(yōu)分配（奈曼分配）方法，請(qǐng)計(jì)算從兩層分別應(yīng)抽取的樣本量（n1*,n2*）。假設(shè)農(nóng)業(yè)人口層規(guī)模為50萬人（N1=50萬），非農(nóng)業(yè)人口層規(guī)模為50萬人（N2=50萬）。3.某公司有20個(gè)部門（N=20），計(jì)劃采用整群抽樣方法抽取4個(gè)部門（n=4）進(jìn)行員工滿意度調(diào)查。將20個(gè)部門按順序編號(hào)1到20，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取整群。抽樣間隔k=N/n=20/4=5。假設(shè)抽中編號(hào)為3的部門，則依次抽中的部門編號(hào)是多少？簡述此過程。四、綜合應(yīng)用題（15分）假設(shè)你要調(diào)查某大學(xué)本科生對(duì)學(xué)校食堂餐品價(jià)格的滿意度。該大學(xué)共有10000名本科生（N=10000），分為大一、大二、大三、大四四個(gè)年級(jí)（設(shè)為四個(gè)層）。已知各年級(jí)學(xué)生人數(shù)比例為：大一占40%（N1/N=0.4），大二占30%（N2/N=0.3），大三占15%（N3/N=0.15），大四占15%（N4/N=0.15）。通過初步了解，各年級(jí)學(xué)生對(duì)價(jià)格的敏感度存在差異，預(yù)計(jì)大一、大二、大三、大四的層內(nèi)方差（反映價(jià)格敏感度差異）分別為：σ?2=0.04，σ?2=0.03，σ?2=0.02，σ?2=0.05。計(jì)劃總體樣本量n=400。請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）若采用比例分配方法，計(jì)算從各年級(jí)應(yīng)抽取的樣本量。（2）若采用最優(yōu)分配（奈曼分配）方法，計(jì)算從各年級(jí)應(yīng)抽取的樣本量。（3）簡要說明選擇比例分配或最優(yōu)分配方法的理由，并比較兩種方法可能帶來的抽樣精度差異（定性分析）。試卷答案一、選擇題1.D2.C3.B4.C5.C6.A7.B8.B9.D10.B二、簡答題1.簡單隨機(jī)抽樣是指從總體N個(gè)單位中，完全隨機(jī)地抽取n個(gè)單位組成樣本，使得每個(gè)可能的樣本組合被抽中的概率相等，或者每個(gè)單位被抽中的概率相等。其主要特點(diǎn)包括：每個(gè)單位入樣的概率相同；樣本單位之間相互獨(dú)立；無需將總體劃分成群或?qū)印?.抽樣框是指包含總體所有單位的信息列表或集合。它是實(shí)施抽樣調(diào)查的基礎(chǔ)，用于標(biāo)識(shí)和聯(lián)系總體中的單位。抽樣框的質(zhì)量直接影響抽樣結(jié)果的準(zhǔn)確性和有效性。高質(zhì)量的抽樣框應(yīng)包含所有目標(biāo)總體單位，信息準(zhǔn)確無誤，便于聯(lián)系和訪問。若抽樣框不完整、存在重復(fù)單位或信息錯(cuò)誤，會(huì)導(dǎo)致抽樣偏差，影響樣本的代表性，進(jìn)而使得抽樣估計(jì)結(jié)果不可信。3.分層抽樣是將總體按照某個(gè)或某些特征（層變量）劃分為若干個(gè)互不重疊的子總體（層），然后在每個(gè)層內(nèi)獨(dú)立地、通常采用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取樣本，最后將各層的樣本組合起來構(gòu)成總體樣本。整群抽樣是將總體劃分為若干個(gè)互不重疊的群（組），然后隨機(jī)抽取若干個(gè)群，最后對(duì)抽中的群內(nèi)的所有單位或按一定規(guī)則抽取部分單位進(jìn)行調(diào)查。兩者的主要區(qū)別在于劃分的單元性質(zhì)不同（層是子總體，群是總體中的組），以及抽樣階段不同（分層抽樣先分層再抽樣，整群抽樣先抽群再抽樣）。4.當(dāng)群內(nèi)單位之間的相似程度較高（群內(nèi)方差較?。?，而不同群之間的差異較大（群間方差較大）時(shí)，采用整群抽樣的成本效益比簡單隨機(jī)抽樣更優(yōu)。這是因?yàn)檎撼闃訉⑼|(zhì)的單位聚在一起，減少了抽樣過程中需要接觸的單位數(shù)量，從而可能顯著降低調(diào)查成本。雖然群間差異大可能導(dǎo)致整群抽樣誤差相對(duì)較大，但在成本顯著降低的情況下，如果通過增加群數(shù)來保證一定的樣本量，其綜合效益可能優(yōu)于簡單隨機(jī)抽樣。三、計(jì)算題1.計(jì)算樣本量：n=N*(n/N)=100萬*(1000/100萬)=1000戶。解析思路：簡單隨機(jī)抽樣的樣本量計(jì)算公式為n=N*(n/N)，其中N為總體規(guī)模，n為抽樣比。當(dāng)抽樣比n/N已知時(shí)，直接乘以總體規(guī)模N即可得到所需樣本量。2.比例分配：n1=N1*(n/N)=50萬*(500/100萬)=250人n2=N2*(n/N)=50萬*(500/100萬)=250人最優(yōu)分配（奈曼分配）：n1*=N1*σ?/(σ?+σ?)=50萬*20/(20+60)=50萬*20/80=125人n2*=N2*σ?/(σ?+σ?)=50萬*60/(20+60)=50萬*60/80=375人解析思路：比例分配根據(jù)各層規(guī)模占總體的比例來分配樣本量，ni=Ni*(n/N)。最優(yōu)分配（奈曼分配）根據(jù)各層內(nèi)部方差與層規(guī)模乘積的比值來分配樣本量，ni*∝Ni*σi，計(jì)算時(shí)需先標(biāo)準(zhǔn)化。比較n1和n1*，n2和n2*，可以看出最優(yōu)分配將樣本更多地向內(nèi)部方差較大的層（非農(nóng)業(yè)人口層）傾斜。3.依次抽中的部門編號(hào)為：3,8,13,18。解析思路：系統(tǒng)抽樣方法要求確定抽樣間隔k（k=N/n），然后在1到k之間隨機(jī)確定一個(gè)起始編號(hào)r，后續(xù)樣本編號(hào)為r,r+k,r+2k,...,r+(n-1)k。題目中抽樣間隔k=20/4=5，假設(shè)起始編號(hào)為3（題目已給定），則依次加上間隔5，得到3+5=8，8+5=13，13+5=18。這四個(gè)編號(hào)對(duì)應(yīng)的部門即為抽中的整群。四、綜合應(yīng)用題（1）比例分配：n1=N1*(n/N)=10000*0.4*(400/10000)=160人n2=N2*(n/N)=10000*0.3*(400/10000)=120人n3=N3*(n/N)=10000*0.15*(400/10000)=60人n4=N4*(n/N)=10000*0.15*(400/10000)=60人（2）最優(yōu)分配（奈曼分配）：總方差W=(N1/N)*σ?2+(N2/N)*σ?2+(N3/N)*σ?2+(N4/N)*σ?2=0.4*0.04+0.3*0.03+0.15*0.02+0.15*0.05=0.016+0.009+0.003+0.0075=0.0355n1*=N1*[σ?2*(N/N)/W]=10000*[0.04*0.4/0.0355]≈226人n2*=N2*[σ?2*(N/N)/W]=10000*[0.03*0.3/0.0355]≈257人n3*=N3*[σ?2*(N/N)/W]=10000*[0.02*0.15/0.0355]≈84人n4*=N4*[σ?2*(N/N)/W]=10000*[0.05*0.15/0.0355]≈211人（3）選擇比例分配或最優(yōu)分配方法的理由及精度比較：選擇理由：比例分配方法簡單易行，樣本在各層中的分布與總體分布相同，易于理解和操作。最優(yōu)分配方法能更有效地利用各層內(nèi)部方差信息，理論上能獲得更小的抽樣方差，即更高的抽樣精度。精度比較：由于非農(nóng)業(yè)人口層（大二、大三、大四）的內(nèi)部方差（σ?2=0.03,σ?2=0.02,σ?2=0.