736期【導(dǎo)數(shù)】細(xì)說(shuō)雙變量13類(lèi)一、經(jīng)典雙變量問(wèn)題（1）破解雙參數(shù)不等式的方法一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿(mǎn)足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.二、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題（1）極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往。如下圖所示。圖1極值點(diǎn)不偏移圖2極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡(jiǎn)稱(chēng)極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡(jiǎn)稱(chēng)極值點(diǎn)右偏。（2）方法技巧與總結(jié)1）對(duì)稱(chēng)變換主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0.(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)，若證，則令.(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．【注意】若要證明的符號(hào)問(wèn)題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效2）應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明相應(yīng)的問(wèn)題.3）比值代換是一種將雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.三、雙變量拓展之拉格朗日中值定理（1）拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿(mǎn)足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.幾何意義：在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線（如圖）（2）求割線斜率大小-----------幾何意義的利用由拉格朗日中值幾何意義可知:曲線上兩點(diǎn)的割線斜率,可以轉(zhuǎn)化為曲線上切線的斜率.即連續(xù)函數(shù)上任意兩點(diǎn)的連線總與某條切線平行.（3）利用拉格朗日中值定理證最值1）證或-------------即證與的大小關(guān)系2）證明或成立（其中，），即證或（4）利用拉格朗日中值定理證不等式在近幾年的數(shù)學(xué)高考中，出現(xiàn)了不少含有拉格朗日中值定理的試題．常以不等式恒成立問(wèn)題為基本切入點(diǎn)，具有一定的深度，既符合高考命題“能力立意”的宗旨，又突出了數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，較好地甄別了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．下面以近幾年全國(guó)各地的數(shù)學(xué)高考試題為例，說(shuō)明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的應(yīng)用，更好地體會(huì)用“高觀點(diǎn)”解題的優(yōu)勢(shì)．1）用于證明與的大小關(guān)系2）證明，，三者大小的關(guān)系（5）利用拉格朗日定理證明根的存在證明方程根的存在性,所給根的范圍就是區(qū)間把所給方程設(shè)為函數(shù)就可用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性,一般用反證法.四、題型歸納經(jīng)典雙變量問(wèn)題題型一：雙變量單調(diào)問(wèn)題題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題題型三：雙變量不等式:極值和差商積問(wèn)題題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型題型五：雙變量不等式:剪刀模型題型六：雙變量不等式:主元法極值點(diǎn)&拐點(diǎn)偏移問(wèn)題題型七：極值點(diǎn)偏移:加法型題型八：極值點(diǎn)偏移:減法型題型九：極值點(diǎn)偏移:乘積型題型十：極值點(diǎn)偏移:商型題型十一：極值點(diǎn)偏移:平方型題型十二：拐點(diǎn)偏移問(wèn)題關(guān)于拉格朗日中值定理的應(yīng)用題型一：雙變量單調(diào)問(wèn)題【典例例題】例1．（2022?蘇州三模）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅱ）求最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，，不等式恒成立．【解答】解：（Ⅰ）．假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則有，即．顯然，，代入方程中得，．△，方程無(wú)解．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派故無(wú)論取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切；（Ⅱ）依題意，恒成立．設(shè)，則上式等價(jià)于，要使對(duì)任意，恒成立，即使在上單調(diào)遞增，在上恒成立．（1），則，在上成立的必要條件是：．下面證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即，．那么，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，恒成立．因此，的最大整數(shù)值為3．例2．（2020秋?龍巖期中）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【解答】解：（1）的定義域?yàn)?，，若，則，所以在單調(diào)遞增；若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；證明：（2）因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)且，，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派所以的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿(mǎn)足，所以，不妨設(shè)，則，則，要證，只需證，設(shè)，則，知在單調(diào)遞減，又（1），當(dāng)時(shí)，，故，即，所以．例3．（2022?遼寧）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)．如果對(duì)任意，，，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得．則當(dāng)時(shí)，；時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（Ⅱ）不妨假設(shè)，而，由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減，從而，，等價(jià)于，，①令，則①等價(jià)于在單調(diào)遞減，即．從而故的取值范圍為，．（12分）例4．（2020春?平頂山期末）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的極小值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，證明：對(duì)于任意，．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，時(shí)，取得最小值．（2），，時(shí)，，在單調(diào)遞減．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（3）證明：時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，（b）（a），即對(duì)任意，．題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題【典例例題】例5．（2021春?海曙區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．【解答】解：（1）的定義域是，，令，△，若，則△，恒成立，即，則在上單調(diào)遞減，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派若，令，解得：，，故時(shí)，，即，，時(shí)，，即，，時(shí)，，，故在遞減，在，遞增，在，遞減，時(shí)，令，解得：，，故時(shí)，，即，在遞減，綜上：時(shí)，在單調(diào)遞減，時(shí)，在遞減，在，遞增，在，遞減．（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則，，由，可得，則，令，，，且與在上符號(hào)一致，，所以單調(diào)遞增，所以（1），即，所以，故的取值范圍是．例6．（2021春?江寧區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，①求的極值；②若對(duì)任意的都有，，求的最大值；（2）若函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：．【解答】解：（1）①時(shí)，，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故的極小值是，沒(méi)有極大值；②對(duì)任意都有，即恒成立，由，故，故，由①知在，單調(diào)遞增，故，可得，即，當(dāng)時(shí)，的最小值是（e），故的最大值是；（2）證明：要證，只需證明即可，由題意，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，消去，整理得：，不妨設(shè)，令，則，故只需證明當(dāng)時(shí)，，即證明，設(shè)，則，于是在單調(diào)遞增，從而（1），故，故．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派例7．（2022?德陽(yáng)模擬）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間是的導(dǎo)數(shù)）；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)、，證明：．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，，顯然遞減，且（1），故當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故在遞增，在遞減；（2）證明：，，由題意知有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，則，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（1），而時(shí)，，故的取值范圍是，，由，得，故，令，則，，，故不等式只要在時(shí)成立，令，，，故在上單調(diào)遞增，即，故在上單調(diào)遞減，即，故原不等式成立．例8．（2022?潮州二模）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若，是方程的兩個(gè)不同的正實(shí)根，證明：．【解答】解：（1），，令，△，當(dāng)時(shí)，△，，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)，，時(shí)，，遞增，，時(shí)，，遞減，故極大值點(diǎn)是，極小值點(diǎn)是；綜上：時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，時(shí)，極大值點(diǎn)是，極小值點(diǎn)是；（2）由，即，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在遞減，在，上遞增，又有2個(gè)零點(diǎn)，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，即，解得：，且，兩式相減得：，設(shè)，，，要證明，即證明，，，即證明，令，，在上單調(diào)遞減，（1），即．例9．（2022?浙江模擬）已知，函數(shù)．（Ⅰ）若，求的取值范圍；（Ⅱ）記，（其中為在上的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【解答】解：（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，，在上遞增，又，故符合題意，當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，，故，又，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，解得：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，不符合題意，綜上：．（2）證明：令，則且，記且，由于，故在和上遞減，在上遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意可知，，且，先證，即證，即證，顯然成立；再證，，，只需證，，，只需證，即證，又，只需證，亦即，即，由知，，，故，即得證．題型三：雙變量不等式:極值和差商積問(wèn)題【典例例題】例10．（2021春?溫州期中）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【解答】證明：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，在定義域上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派當(dāng)時(shí)，（1），當(dāng)時(shí)，（1），原命題得證．（2），若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，解得，由韋達(dá)定理可知，，，，原命題即證：，不妨設(shè)，原命題即證：，由知，，即證：，不妨令，原命題即證：，記，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，（1），原命題得證．例11．（2021春?浙江期中）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【解答】（1）解：因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，所以（1），則在處的切線方程為；（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，且，①?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，則在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，判別式△，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派當(dāng)時(shí)，△，即，所以恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，所以在，上單調(diào)遞增，在和，上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在和，上單調(diào)遞減．（3）證明：由（2）可知，，，，則，則，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明即可，即證明，則，即證，即證在上恒成立，令，其中（1），則，故在上單調(diào)遞減，則（1），即，故，所以．例12．（2021秋?武漢月考）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：恒成立．【解答】解：（1）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，③當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，④當(dāng)時(shí)，令，得或，，得，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）證明：，則的定義域?yàn)?，，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則方程的判別式△，且，，解得，又，所以，即，所以，設(shè)，其中，，由，解得，又，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞減，即的最大值為，所以恒成立．題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型【典例例題】例13．（2022?呼和浩特二模）已知函數(shù)．①討論的單調(diào)性；②設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；③函數(shù)的圖象與軸相交于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明．【解答】解：①函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，則由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，在單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；②設(shè)函數(shù)，則，，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派當(dāng)時(shí)，，而，，故當(dāng)時(shí)，；③由①可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故，從而的最大值為，且，不妨設(shè)，，，，，則，由②得，，又在，上單調(diào)遞減，，于是，由①知，．例14．（2021秋?山西期末）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）如果方程有兩個(gè)不相等的解，，且，證明：．【解答】解：（1），①當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，至多一個(gè)根，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則（a）．不妨設(shè)，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派要證，即證，即證，即證．因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，即證，因?yàn)?，所以即證，即證，令．．當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以，時(shí)，，即，即，又，所以，所以．例15．（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，恰為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的取值范圍是，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?duì)于方程，△，①若△，即時(shí)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派②若△，即時(shí)，令，解得，或，當(dāng)和，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，，又，故，由，可得，兩式相減，可得，所以，令，所以，則，所以在上單調(diào)遞減，由的取值范圍為，，可得的取值范圍為，所以，又因?yàn)?，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派故實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型五：雙變量不等式:剪刀模型【典例例題】例16．（2022?日照一模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，；（2）函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，且在點(diǎn)處的切線方程為，函數(shù)，，求的最小值；（3）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．【解答】解：（1）將代入切線方程中，得，所以，又，解得或，又，所以，若，則（舍去）；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派所以，則；（2）由（1）可知，，，所以，令，有或，故曲線與軸負(fù)半軸的唯一交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，因?yàn)?，所以，所以若，，若，所以，若，，所以在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以；（3）證明：，設(shè)的根為，則，又單調(diào)遞減，由（2）知恒成立．又，所以，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故．又，所以．例17．（2021春?道里區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，是的極值點(diǎn)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線為直線．求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，求證：．【解答】（Ⅰ）解：；由題意知，；；（Ⅱ）證明：設(shè)曲線在，處切線為直線；令；；；在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；；，即，即上的點(diǎn)都不在直線的上方；（Ⅲ）由（Ⅱ）設(shè)方程的解為；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派則有，解得；由題意知，；令，；；在上單調(diào)遞增；；的圖象不在的下方；與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；則有，即；；關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增；．例18．（2022?江西校級(jí)二模）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅲ）若方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求證：．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：由得：又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得極大值，極大值為（1），無(wú)極小值．（3分）（Ⅱ）設(shè)，，則，，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為：（6分）（Ⅲ）設(shè)，令即，則由于在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，，，即，都有；設(shè)方程的根為，．在單調(diào)遞減，且，設(shè)曲線在點(diǎn)原點(diǎn)處的切線方程為：，則易得，，有，即，設(shè)方程的根為，則，在單調(diào)遞增，且，，即．題型六：雙變量不等式:主元法【典例例題】例19．（2021春?哈密市校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（3）若，求證：（b）．【解答】解：（1）（1分）令得：，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，；令得：；（2分）在，上為增函數(shù)；在，上為減函數(shù)．（4分）（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，有（b），（6分），即：，．（8分）（3）將（a）（b）變形為：（a）（b）（7分）即只證：（a）設(shè)函數(shù)（8分），令，得：．在，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；的最小值為：，即總有：．（12分），即：，（13分）令，，則（a）（b），（a）（b）成立．（14分）例20．（2021秋?廣東月考）已知函數(shù)（其中且為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．（Ⅰ）若函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)數(shù)為．由或，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且恒成立．當(dāng)或時(shí)，方程無(wú)根，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，方程的根也為，此時(shí)的因式恒成立，故函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根、且，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)有、1、三個(gè)極值點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)．（Ⅱ）依題意得，令，則對(duì)，都有成立．，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，注意到，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派若，，有成立，這與恒成立矛盾；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，且，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，若對(duì)，都有成立，則只需成立，，當(dāng)時(shí)，則的最小值，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，即的最小值的最大值為；綜上所述，的最小值的最大值為．例21．（2022?微山縣校級(jí)二模）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若，證明：．【解答】（本小題滿(mǎn)分14分）解：（Ⅰ）函數(shù)，則，令，解得：，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，因此：的極小值為關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（Ⅱ）令，則注意到：，若要，必須要求，即，亦即另一方面：當(dāng)時(shí)，恒成立；故實(shí)數(shù)的取值范圍為：構(gòu)造函數(shù)，，，，，，在上是單調(diào)遞增的；故（b）（a），即：另一方面，構(gòu)造函數(shù)，，在上是單調(diào)遞減的故（b）（a）即：綜上，．題型七：極值點(diǎn)偏移:加法型【典例例題】例1．（2022?浙江期中）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【解答】解：（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，．則，即；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派證明：（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，．不妨設(shè)，則，且，若證．即證，構(gòu)造函數(shù)，，所以，所以，，令，則，所以單調(diào)遞增，所以（1），所以，所以（1），即，，又，所以因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故原不等式得證．例2．（2022?汕頭一模）已知函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，．（1）求的取值范圍；（2）求證：．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；要使函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，必有（1），，當(dāng)時(shí)，，且，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（2）由（1）知，，，，要證，，故構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在單調(diào)遞減，（1）．，，構(gòu)造函數(shù)，，下面證明，即證明，構(gòu)造函數(shù)，．在上恒成立，因此在遞增，從而（1），，在遞增，（1），，時(shí)，，單調(diào)遞增，，即．例3．（海淀區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（Ⅱ）若，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅲ）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．【解答】解：（Ⅰ），（1），（1），故切線方程是：；（Ⅱ）由已知，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；（Ⅲ）由（Ⅱ），，使得，，要證，即證，，，又且在上單調(diào)遞減，需證，即證，，即證，由（Ⅱ）知時(shí)，，得證，．例4．（2022?江門(mén)一模）已知函數(shù)，是常數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程，并證明對(duì)任意，切線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；（Ⅱ）證明：時(shí)，設(shè)、是的兩個(gè)零點(diǎn)，且．【解答】（Ⅰ）解：根據(jù)題意，函數(shù)，當(dāng)，則，則，（2），（2），則切線的方程為，變形可得：，聯(lián)立，得．切線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；（Ⅱ）證明：函數(shù)的定義域?yàn)榍遥€在在各定義域區(qū)間內(nèi)是連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（2），，在區(qū)間，上有零點(diǎn)，在區(qū)間上，，，函數(shù)單調(diào)遞減，又，若，且，則，在區(qū)間，內(nèi)有零點(diǎn)，由單調(diào)遞減知，在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)．，，則，由單調(diào)遞減知，，即．題型八：極值點(diǎn)偏移:減法型【典例例題】例5．（2022?七星區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若在處的切線斜率是，證明有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．【解答】解：（1），在遞減，在上恒成立，在上恒成立，令，，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，（1），；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（2）由題意得（1），，，，，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，又（2），，，故分別在，和有零點(diǎn)，，（不妨設(shè)，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，故在，和有2個(gè)極值點(diǎn)，，而，，，（4），，，，，，故原命題成立．例6．（2022?常熟市月考）設(shè)函數(shù)，，其中．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．①證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)；②設(shè)如為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明：．【解答】（1）解：令，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，又在，上連續(xù)，所以當(dāng)時(shí)，（1），即當(dāng)時(shí)，；（2）證明：①，得，令，由，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又（1），且．故在有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，所以在，內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn)．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派由（1）知．從而，又因?yàn)椋?），所以在，內(nèi)有唯一零點(diǎn)．又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)．②由題意，，即，從而，即．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，故，兩邊取對(duì)數(shù)，得，于是，整理得．例7．（2022?黃州區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)為．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：．【解答】（1）解：，．若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故當(dāng)時(shí)，在上在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．（2）證明：令，則．由（1）知，在上，單調(diào)遞增．又（1）（1），所以在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派又，，，所以，，故．例8．（2022?道里區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，，，求證：．【解答】解：（1），設(shè)，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（2）證明：設(shè)，，由于，恒成立，知函數(shù)在上為增函數(shù)且（1），10遞減極小值遞增（1），，（e），知在區(qū)間，以及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即為，，，知，即．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派題型九：極值點(diǎn)偏移:乘積型【典例例題】例9．（2021春?汕頭校級(jí)月考）已知，函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，證明：．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，則當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減．（2）法1：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即方程在有兩個(gè)不同根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖：可見(jiàn)，若令過(guò)原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，只須，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派設(shè)切點(diǎn)，，所以，又，所以，解得，于是，所以，法2：由（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，，此時(shí)，需解得，從而，又故在有一個(gè)零點(diǎn)；，設(shè)，，則故在單調(diào)遞減在有一個(gè)零點(diǎn)故的取值范圍為．原不等式，不妨設(shè)，，，，，，，，令，則，于是，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得：，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派故函數(shù)是上的增函數(shù)，（1），即不等式成立，故所證不等式成立．例10．（2022?攀枝花模擬）已知函數(shù)有最小值，且．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）當(dāng)取得最大值時(shí)，設(shè)（b），有兩個(gè)零點(diǎn)為，，證明：．【解答】解：（Ⅰ）有題意，當(dāng)時(shí)，，在上單增，此時(shí)顯然不成立，當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)在上單減，在上單增，（b），即，所以，．所以的最大值為1．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（Ⅱ）證明：當(dāng)取得最大值時(shí)，，，的兩個(gè)零點(diǎn)為，，則，即，，不等式恒成立等價(jià)于，兩式相減得，帶入上式得，令，則，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），得證．例11．（2022?張家口二模）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，證明：．【解答】解：（1）由題意可得，有2個(gè)零點(diǎn)，令，則在時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以有2個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有2個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，時(shí)，，單調(diào)遞增，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由可得，單調(diào)遞增；可得，單調(diào)遞減，（a），關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派若，則（a），此時(shí)恒成立，沒(méi)有零點(diǎn)，若，則（a），有一個(gè)零點(diǎn)，若，則（a），因?yàn)椋?），，所以在，上各有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上，的范圍；（2）證明：要證，只要證，即證，由（1）可知，，，所以，，所以，只要證，設(shè)，令，，所以只要證即證，令，，則，（1），即當(dāng)時(shí)，，所以即，故．例12．（2022?武進(jìn)區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求的值；（2）若存在，，使不等式對(duì)于，恒成立，求的取值范圍；（3）若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根、，試證明．【解答】（1）解：，函數(shù)在處的切線與軸平行，（1），解得．（2）解：，，不等式化為：，存在，，使不等式對(duì)于，恒成立，，化為：．，令，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，（1）．，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增．（e）．的取值范圍是．（3）證明：方程，即，．令，．可得：函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減．時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值．．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根、．，要證明：．只要證明：即可．不妨設(shè)，則，由于函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，因此只要證明：即可得出，設(shè)函數(shù)，．可得在上，且．，，即，即．，．題型十：極值點(diǎn)偏移:商型【典例例題】例13．已知函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)、，且，求證：．【解答】證明：，由，得，由，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，且為最大值等于．由函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)、，可得，即．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（a），，，即，則，，，．例14．（2022?新疆模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最大值．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，令，可得或，令，可得，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2），關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派因?yàn)?，為函?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)根，所以，，可得，因?yàn)?，所以為增函?shù)，為增函數(shù)且大于0，為增函數(shù)且大于0，所以為增函數(shù)，所以，令，則，令，，所以在，上單調(diào)遞減，所以的最大值為（3）．例15．（2021春?湖北期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的最大值．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，易知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．（2）依題意，，則，兩式相除得，，設(shè)，則，，，，，，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，則（1），，則在單調(diào)遞增，又，且，，，即的最大值為．例16．（2022?寧德三模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的最大值．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，易知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（2）依題意，，則，兩式相除得，，設(shè)，則，，，，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，設(shè)，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞增，則（1），，則在單調(diào)遞增，又，即，（3），，，即的最大值為3．題型十一：極值點(diǎn)偏移:平方型【典例例題】例17．（2022?廣州一模）已知函數(shù)．（1）證明：曲線在點(diǎn)，（1）處的切線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：．【解答】證明：（1），（1），又（1），關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，，故直線過(guò)定點(diǎn)，；（2），是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，，可得，，令，，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，則在上單調(diào)遞增，而（2），，則在上單調(diào)遞增，（2），可得，則，即，則．例18．（2022?浙江開(kāi)學(xué)）已知，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．【解答】解：，，時(shí)，，，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，，時(shí)，增區(qū)間為：；時(shí)，，，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；綜上：時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；（Ⅱ）證法一：由（1）知，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；且時(shí)，，，函數(shù)的大致圖像如下圖所示：因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，即，不妨設(shè)，則，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派先證：，即證：，因?yàn)?，所以，又在單調(diào)遞增，所以即證：又，所以即證：，，令函數(shù)，，則，因?yàn)?，所以，，故，函?shù)在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，，即，所以．（Ⅱ）證法二：因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則兩個(gè)零點(diǎn)必為正實(shí)數(shù)，，問(wèn)題等價(jià)于有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解；令則，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，令，，則，所以在單調(diào)遞增，，又，故，，又，所以，又，所以，，又在單調(diào)遞增，所以，所以．例19．（2021秋?泉州月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．【解答】解：（1）函數(shù)，則，令，解得，若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：因?yàn)?，兩邊取?duì)數(shù)，可得，即，所以，此時(shí)當(dāng)時(shí)，存在且，，，滿(mǎn)足；由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，所以，，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派①若，，則成立；②若，則，記，，則，所以在上單調(diào)遞增，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派則（1），即，所以，因?yàn)?，所以，又，在上單調(diào)遞減，所以，即，又，，以上兩式左右分別相加，可得，即，綜合①②可得，．例20．（2022?開(kāi)封三模）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對(duì)于任意，證明：．【解答】解：（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；綜上可知：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是．（2）證明：由，，，由于，所以．設(shè)，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派故：，令，則，由于，故，則在上單調(diào)遞增，故（1），即：所證不等式成立．題型十二：拐點(diǎn)偏移問(wèn)題【典例例題】例21．已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程．（2）若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，求證：．【解答】解：（1），，，（1），（1），故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（2）證明：因?yàn)?，在上單調(diào)遞增．由（1），正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，所以不妨設(shè)，記，，，在，上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，?），所以，即，所以，根據(jù)單調(diào)遞增，得，即原命題成立．例22．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若正實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，求證：．【解答】解：（1），，在遞減，在遞增，且當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的根為，時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；證明：（2），．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派由，即，從而，（8分）令，則由得：可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（1），（10分），，又，，．例23．已知函數(shù)，．（Ⅰ）若在處取得極值，求的值；（Ⅱ）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，求證：．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以（1），解得：．驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，易得在處取得極大值．（Ⅱ）因?yàn)?，所以，①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞減．②若，，當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派因?yàn)椋?，即，所以，令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為1．所以，即，所以或，因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，滿(mǎn)足條件，所以．十三：拉格朗日中值定理在雙變量中的應(yīng)用（1）求割線斜率大小-----------幾何意義的利用由拉格朗日中值幾何意義可知:曲線上兩點(diǎn)的割線斜率,可以轉(zhuǎn)化為曲線上切線的斜率.即連續(xù)函數(shù)上任意兩點(diǎn)的連線總與某條切線平行.下面通過(guò)下題具體分析.（2011年福建省質(zhì)檢理19題）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得的圖象上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于，即對(duì)任意，都有即求任意兩點(diǎn)割線斜率的大小，由中值定理知存在，有關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派轉(zhuǎn)為求切線斜率的大小.即在上恒成立.評(píng)析：該題若用初等方法解決，構(gòu)造函數(shù)同是本題的難點(diǎn)和突破口．將轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)而考查函數(shù)，學(xué)生不是很容易想到，但若利用拉格朗日中值定理，則只需求二次導(dǎo)函數(shù)在所給區(qū)間的最小值即可，學(xué)生易接受．（2）利用拉格朗日中值定理證最值1）證或-------------即證與的大小關(guān)系（2009年遼寧卷理21題）已知函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：若，則對(duì)任意，，有.解：（Ⅰ）略；（Ⅱ）要證成立，即證.令，則.由于，所以.從而在恒成立.也即.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派又，，故.則，即，也即.評(píng)析：這道題（Ⅱ）小題用初等方法做考慮函數(shù).為什么考慮函數(shù)很多考生一下子不易想到.而且的放縮也不易想到.2）、證明或成立（其中，），即證或（2007年高考全國(guó)卷I第20題）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）證明：的導(dǎo)數(shù)；（Ⅱ）證明：若對(duì)所有，都有，則的取值范圍是.解：（Ⅰ）略.（Ⅱ）證明：（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有（ii）當(dāng)時(shí)，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為對(duì)所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知內(nèi)至少存在一點(diǎn)（從而），使得，即，由于，故在上是增函數(shù)，讓得，所以的取值范圍是.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派評(píng)析：用的是初等數(shù)學(xué)的方法.即令，再分和兩種情況討論.其中，又要去解方程.但這有兩個(gè)缺點(diǎn)：首先，為什么的取值范圍要以為分界展開(kāi).其次，方程求解較為麻煩.但用拉格朗日中值定理求解就可以避開(kāi)討論，省去麻煩.（2008年全國(guó)卷Ⅱ22題）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍.證明：（Ⅰ）略；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)任何，都有；當(dāng)時(shí)，由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由（Ⅰ）知，從而.令得，；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派令得，.所以在上，的最大值在上，的最大值.從而函數(shù)在上的最大值是.知，當(dāng)時(shí)，的最大值為.所以，的最大值.為了使恒成立，應(yīng)有.所以的取值范圍是.評(píng)析：這道題的參考答案的解法是令,再去證明函數(shù)的最小值.這與上述的思路是一樣的.但首先參考答案的解法中有個(gè)參數(shù),要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論;其次為了判斷的單調(diào)性,還要求和的解,這個(gè)求解涉及到反余弦,較為復(fù)雜.而用拉格朗日中值定理就可以避開(kāi)麻煩，省去討論.再次體現(xiàn)了高觀點(diǎn)解題的優(yōu)越性.（3）利用拉格朗日中值定理證不等式在近幾年的數(shù)學(xué)高考中，出現(xiàn)了不少含有拉格朗日中值定理的試題．常以不等式恒成立問(wèn)題為基本切入點(diǎn)，具有一定的深度，既符合高考命題“能力立意”的宗旨，又突出了數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，較好地甄別了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．下面以近幾年全國(guó)各地的數(shù)學(xué)高考試題為例，說(shuō)明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的應(yīng)用，更好地體會(huì)用“高觀點(diǎn)”解題的優(yōu)勢(shì)．1）用于證明與的大小關(guān)系(2006年四川卷理第22題)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正，證明：（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，.證明：由得，，令則由拉格朗日中值定理得：下面只要證明：當(dāng)時(shí)，任意,都有，則有，即證時(shí)，恒成立.這等價(jià)于證明的最小值大于.由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，又，故時(shí)，恒成立.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派所以由拉格朗日定理得：.評(píng)析：這道題用初等數(shù)學(xué)的方法證明較為冗長(zhǎng)，而且技巧性較強(qiáng).因而思路較為突兀，大多數(shù)考生往往難以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理證明，思路較為自然、流暢.體現(xiàn)了高觀點(diǎn)解題的優(yōu)越性，說(shuō)明了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要性.2）證明，，三者大小的關(guān)系（2004年四川卷第22題）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；（Ⅱ）設(shè)，證明：.證明（Ⅰ）略；（Ⅱ）證明：依題意，有，由拉格朗日中值定理得，存在，使得評(píng)析：對(duì)于不等式中含有的形式，我們往往可以把和，分別對(duì)和兩次運(yùn)用拉格朗日中值定理.(2006年四川卷理第22題)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：（Ⅰ）不妨設(shè)，即證．由拉格朗日中值定理知，存在，則且，又，.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派當(dāng)時(shí)，.所以是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，故從而成立，因此命題獲證．（4）利用拉格朗日定理證明根的存在證明方程根的存在性,所給根的范圍就是區(qū)間把所給方程設(shè)為函數(shù)就可用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性,一般用反證法.設(shè)在可導(dǎo),且,又對(duì)于內(nèi)所有的點(diǎn)有證明方程在內(nèi)有唯一的實(shí)根.分析:要證明方程有唯一的實(shí)根,分兩步證明,先證明有根,再證明根是唯一的證明:先證方程有根,令,又因?yàn)?則,得到g(0)·g(1)<0.所以,函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.再證唯一性；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派假設(shè)方程在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根不妨設(shè)為,則有,對(duì)函數(shù))在上運(yùn)用拉格朗日中值定理有.因此這和已知條件矛盾.所以方程在(0,1)內(nèi)有唯一的實(shí)根.【提升訓(xùn)練】經(jīng)典雙變量問(wèn)題1．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),利用零點(diǎn)存在性定理,判斷根的分布,進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性,即可得極值.（2）分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用放縮法和分類(lèi)討論即可求解.(1)定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)令∵時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派所以使此時(shí)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減時(shí)，，單調(diào)遞增∴是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．(2)∵在上單調(diào)遞減∴恒成立∴恒成立①時(shí)，令∵，∴∴在單調(diào)遞減，∴又∵∴，∴②時(shí)，，∵，∴∴，∴又∵，∴令令，∴∴單調(diào)遞減，∵使，即時(shí)，單調(diào)遞增時(shí)，單調(diào)遞減∴∴∴，∴綜上關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，極值點(diǎn)，不等式的證明，參數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是基本操作，導(dǎo)函數(shù)符號(hào)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響，以及零點(diǎn)存在性定理，適當(dāng)?shù)姆趴s，把雙變量問(wèn)題通過(guò)放縮變成單變量問(wèn)題.2．（2022·北京·北師大二附中三模）已知函數(shù)，其中，為的導(dǎo)函數(shù).(1)當(dāng)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)，且恒成立.①求的取值范圍；②設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，的極小值點(diǎn)為，求證：.【答案】(1)(2)①;②詳見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.（2）①先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，推出，求導(dǎo)，得到，解對(duì)應(yīng)不等式，得到單調(diào)性，求出其最小值，再根據(jù)恒成立，即可得出結(jié)果；②先設(shè)，求導(dǎo)得.設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)，判定單調(diào)性，從而得到函數(shù)單調(diào)性，得到是函數(shù)的極小值點(diǎn)，得到，再由①得時(shí)，，推出所以，得到，得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再由題意，即可得出結(jié)論成立.(1)時(shí)，,,,，所以函數(shù)在處的切線方程，即.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派(2)①由題設(shè)知，，，，由，得，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；由，得，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).故在處取得最小值，且.由于恒成立，所以，得，所以的取值范圍為；②設(shè)，則.設(shè)，則，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由（1）知，，所以，，故存在，使得，所以，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).因此，即.由①可知，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，所以.因此，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.由于，即，即，所以.又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.3．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式求出定義域以及導(dǎo)數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出，運(yùn)用分析法將需要證明成立的不等式轉(zhuǎn)化，再利用換元法寫(xiě)出表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明原不等式成立.(1).當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)證明：由題意得，.要證，只需證，即證，即證.令，所以只需證在上恒成立，即證在上恒成立.令，則，令，則.所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派所以.4．（2022·陜西·漢臺(tái)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)（，）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)的最小值為0，，（）為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的極值；（2）首先由函數(shù)的最小值，確定，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定，，可得，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最小值.(1)（），，若時(shí)，則恒成立，在上單調(diào)遞增，故沒(méi)有極值；若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，有極小值，極小值為，無(wú)極大值.(2)證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，，由函數(shù)的最小值為0，得，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派由題知，，，，，，，（），令，則，令，則在上單調(diào)遞增，又，在上，，，單調(diào)遞減，在上，，，單調(diào)遞增，，得證.5．（2022·江蘇·海門(mén)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）求出，對(duì)a分類(lèi)討論得出函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）化簡(jiǎn)進(jìn)而即證：對(duì)任意的恒成立，通過(guò)求導(dǎo)進(jìn)而得證.(1)解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則令，則，或，，則，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派(2)有兩個(gè)極值是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則要證：，即證：不妨設(shè)，即證：即證：對(duì)任意的恒成立令，，則從而在上單調(diào)遞減，故，所以6．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知對(duì)于不相等的正實(shí)數(shù)a，b，有成立，我們稱(chēng)其為對(duì)數(shù)平均不等式．現(xiàn)有函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．①證明：；②證明：．【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)區(qū)間即可求出極值；（2）由和可得，由已知條件所給的不等式即可證得①；由①可得，則，令，構(gòu)造函數(shù)，利用二次求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性即可證得②.(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，則當(dāng)時(shí)，；時(shí)，．即在上遞增，上遞減，故的極大值為，無(wú)極小值．(2)結(jié)合（1）由，；，，可得，①由題意可得，從而，即，結(jié)合參考的公式可得：，故，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派且，即，從而有．②由①可得，令，則，所以，則，則，∴遞減，又∵，∴，故遞增，∴，即，即．7．（2022·山東濟(jì)寧·高二期中）已知函數(shù)（），且有兩個(gè)極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使成立，若存在求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不存在；理由見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)之后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，列式即可求解（2），假設(shè)存在，由（1）知，則，不妨設(shè)，代入，消元得，構(gòu)造函數(shù)（）可知上述方程無(wú)實(shí)解，故不存在實(shí)數(shù)a，使成立(1)由題設(shè)，知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?/p>

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

則有，

解得，即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．(2)由題意，得，又由（1）知，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派所以．

要使成立，只需．由（1）知，則只需，即．（※）

由于，所以不妨設(shè)，則（※）式成立，等價(jià)于成立．

設(shè)（），則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以

所以無(wú)實(shí)數(shù)解，即（※）式不成立，所以不存在實(shí)數(shù)a，使成立．8．（2022·廣東·廣州市第七中學(xué)高二期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先寫(xiě)出函數(shù)定義域，然后求出，并按，討論，最后判斷即可.（2）由（1）可得，設(shè)，，，計(jì)算，化簡(jiǎn)，計(jì)算，換元并構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后可證結(jié)果.(1)的定義域?yàn)?，．①若，則，所以在單調(diào)遞增．②若，則由得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．(2)由（1）可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，從而．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，不妨設(shè)，，，則．由，兩式相減得：，即：，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派又令，，則，從而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而，又，所以．9．（2022·重慶·萬(wàn)州純陽(yáng)中學(xué)校高二期中）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，①求a的取值范圍；②證明：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)；(2)；詳見(jiàn)證明過(guò)程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）利用（1）中的結(jié)論求出的范圍，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，即可證明，令，，得到，得到，可知，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可．(1)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，成立，所以在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派①當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，②當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)；綜上：當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，(2)結(jié)合（1），當(dāng)時(shí)，取得極小值，又∵函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，可得，綜上所述，；下面證明結(jié)論成立：不妨設(shè)，設(shè)，，可得，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，，，∴當(dāng)時(shí)，，又∵，，∴，又∵當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴，即，設(shè)，，則，兩式相比得，即，∴，又∵，令，則，令，則，則在內(nèi)單調(diào)遞減，即，即，故，故在上單調(diào)遞減，∴，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派∴，即；綜上所述，．10．（2022·福建省廈門(mén)集美中學(xué)高二期中）已知函數(shù)．(1)試討論的極值；(2)設(shè)，若，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先討論的單調(diào)性，再確定極值（2），，使得等價(jià)于，分別求出與，即可求解(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值．當(dāng)時(shí)，由，解得，故在上單調(diào)遞增．由，解得，故在上單調(diào)遞減．此時(shí)函數(shù)在處取得極大值．無(wú)極小值．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，無(wú)極小值．(2)由（1）知當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，故無(wú)最大值，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，．易知在上單調(diào)遞減，所以．關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派因?yàn)?，，使得，所以，即解得，所以?shí)數(shù)a的取值范圍是．11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)分別是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】因?yàn)?，只需證.令，即證.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即證.由上述分析可知.【詳解】因?yàn)?，分別是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以?xún)墒较鄿p，得，所以.因?yàn)?，所?要證，即證.因，故又只要證.令，則即證明.令，，則.這說(shuō)明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即成立.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派由上述分析可知成立.12．（2021·重慶市第十一中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)，研究的單調(diào)性；(2)令，若存在使得，求證.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間；（2）求出，，由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，函數(shù)的變化趨勢(shì)，從而得出的范圍，由的關(guān)系，設(shè)，把都用表示，則可表示的函數(shù)，同樣利用導(dǎo)數(shù)得出新函數(shù)是增函數(shù)，得出，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得證不等式成立．(1)，，在上單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)，（），時(shí)，遞增，時(shí)，，遞減，時(shí)，，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派存在使得，則，令，，，令，則，在上單調(diào)遞增，，，，，.極值點(diǎn)&拐點(diǎn)偏移問(wèn)題13．（2022·天津河?xùn)|·二模）已知函數(shù)（且）．(1)，求函數(shù)在處的切線方程．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類(lèi)討論：a<0和a>0分別討論單調(diào)性；（3）本題屬于極值點(diǎn)偏移，利用分析法轉(zhuǎn)化為只要證明f(2e-x2)>0，由構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出g(t)在(e，2e)上是遞增的，得到g(t)>g(e)=0即為f(2e-x2)>0.(1)當(dāng)時(shí)，，所以.，所以.所以函數(shù)在處的切線方程為，即.(2)的定義域?yàn)?0，+∞)，.當(dāng)a<0時(shí)，恒成立，所以在(0，+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，.在上，，所以單調(diào)遞減；在上，，所以單調(diào)遞增.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派(3)當(dāng)，.由(2)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意可得：.由及得：.欲證x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，且f(x1)=0，只要證明f(2e-x2)>0即可.由得.所以令則，則g(t)在(e，2e)上是遞增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派綜上x(chóng)1+x2>2e.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明不等式．2．（2022·河北·滄縣中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，得到，先得到，在通過(guò)驗(yàn)證得到滿(mǎn)足題意；（2）構(gòu)造函數(shù)證明極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.(1)定義域?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞減.，所以在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，又，所以先保證必要條件成立，即滿(mǎn)足題意.當(dāng)時(shí)，易知，；由以上可知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(2)由題意，假設(shè)，要證明，只需證明.只需證，又.即只需證，構(gòu)造函數(shù).關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，所以在單調(diào)遞減.，即成立，即所以原命題成立.【點(diǎn)睛】對(duì)于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，通常可以構(gòu)造差函數(shù)來(lái)進(jìn)行求解.3．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，現(xiàn)有如下三個(gè)命題：①；②；③；請(qǐng)從①②③中任選一個(gè)進(jìn)行證明．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）分，討論，當(dāng)時(shí)，求的最小值，根據(jù)可得；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，先利用導(dǎo)數(shù)研究?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)的范圍，然后由，，作商取對(duì)數(shù)得.若選①，令，構(gòu)造函數(shù)，若選②，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的方法可證；若選③，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可證.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí)不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，要，只需，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，則由得，所以，故實(shí)數(shù)b的取值范圍為．(2)當(dāng)時(shí)，，，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，則，設(shè)，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以，，則，取對(duì)數(shù)得，令，，則，即①令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派令，則，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，亦即，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，則，整理得，所以，故①成立②令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派所以，即，故②成立．③令，，則，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，∴，則，兩邊約去后化簡(jiǎn)整理得，即，故③成立．【點(diǎn)睛】雙變量的不等式證明問(wèn)題，主要通過(guò)換元構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明即可.本題屬極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)膶?duì)稱(chēng)函數(shù).4．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)求證：當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根時(shí)，求證：【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）令，進(jìn)而討論單調(diào)性，求解證明即可；（2）證法一：由函數(shù)的單調(diào)性易得，進(jìn)而得，不妨設(shè)，由于方程可化為，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為；，再求和即可證明結(jié)論；證法二：由函數(shù)的單調(diào)性易得，進(jìn)而得，不妨設(shè)，根據(jù)分析法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，即證明，再構(gòu)造函數(shù)，證明，恒成立即可.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派(1)證明：令，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，.(2)證明：由，得，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.

因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不等實(shí)根，所以.不妨設(shè).由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.方程可化為.所以，整理得.①同理由，整理得.②由①②，得.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派又因?yàn)樗?法二：由，得，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不等實(shí)根，所以.不妨設(shè).要證，只要證，只要證：.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，只要證：.令，只要證，恒成立.因?yàn)?，令，則，故在上單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，故原結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于借助第一問(wèn)和，進(jìn)而求和證明.或者借助極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的方法，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，恒成立.5．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為、且，求證：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）可得，令，其中，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)論；（2）推導(dǎo)出，將所證不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點(diǎn)，函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點(diǎn)，證明出，，再利用不等式的基本性質(zhì)可證得所證不等式成立.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派(1)由可得，令，其中，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，，令可得，列表如下：減極小值增如下圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(2)證明：，其中，所以，，由已知可得，上述兩個(gè)等式作差得，要證，即證，因?yàn)椋O(shè)函數(shù)的圖象交軸的正半軸于點(diǎn)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，，，設(shè)函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點(diǎn)，函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象在處的切線方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，對(duì)任意的，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由圖可知，則，所以，，因?yàn)?，可得，函?shù)在處的切線方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，因?yàn)椋?，，?gòu)造函數(shù)，其中，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，對(duì)任意的，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，可得，因此，，故原不等式成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).6．（2022·安徽淮南·二模（理））已知函數(shù)．(1)若，證明：時(shí)，；(2)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，故得到；（2）首先確定為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，接下來(lái)研究，構(gòu)造差函數(shù)，求導(dǎo)后單調(diào)性，得到證明.(1)時(shí)，函數(shù)，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派則，在上單調(diào)遞增，所以．(2)，顯然為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為；設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由已知，必有兩個(gè)零點(diǎn)，且，下證：．設(shè)函數(shù)，則，，由于，則，由（1）有，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即有，由于，且在上單調(diào)遞增，所以，所以．【點(diǎn)睛】對(duì)于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，通常要構(gòu)造差函數(shù)，結(jié)合差函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)行證明.7．（2022·湖南·岳陽(yáng)一中一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性和最值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求證：.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論得到導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性和最值.（2）利用同構(gòu)可得原方程即為有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合構(gòu)造法可證成立.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派(1)，其中若，則在上恒成立，故在上為減函數(shù)，故無(wú)最值.若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，無(wú)最小值.(2)方程即為，故，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根即為：有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.所以，所以，不妨設(shè)，，故，要證：即證，即證，即證，即證，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派設(shè)，則，故，所以在上為增函數(shù)，故，所以在上為增函數(shù)，所以，故成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于較為復(fù)雜的與指數(shù)、對(duì)數(shù)有關(guān)的方程，可以考慮利用同構(gòu)將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的方程，從而利用常見(jiàn)的極值點(diǎn)偏移的方法來(lái)處理零點(diǎn)不等式.8．（2022·山東·青島二中高三期末）已知函數(shù)，.(1)討論f（x）的單調(diào)性；(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，證明：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.(2)(3)證明詳見(jiàn)解析【分析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后討論a的取值即可確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）分離參數(shù)a，構(gòu)造出新函數(shù)，得到最小值，即可得到a的范圍；（3）利用同構(gòu)關(guān)系將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)差函數(shù)分別證明左右兩側(cè)的不等式即可.(1)解：因?yàn)?，定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，令，解得即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)令，解得，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.(2)若時(shí)，都有，即，恒成立.令，則，，令，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，所以，在單調(diào)遞減，所以=，所以(3)原式可整理為，令，原式為，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則為兩根，其中，不妨令，要證，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派即證，，只需證，令，，，令，則，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減.又，故，所以恒成立，即成立，所以，原式得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想同構(gòu)的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.常用方法有如下四種，方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，其中利用的對(duì)稱(chēng)差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.9．（2021·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解即可；（2）由題知，進(jìn)而令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知，證明：，再根據(jù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題求解即可.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派(1)解：函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)因?yàn)?，故，即，故，設(shè)，則，不妨設(shè)，由（1）可知原命題等價(jià)于：已知，證明：.

證明如下：關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派若，恒成立；若，即時(shí)，要證：，即證，而，即證，即證：，其中設(shè)，，則，因?yàn)椋?，故，所以，故在為增函?shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，是難題．本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于設(shè)，結(jié)合（1）將命題轉(zhuǎn)化為已知，證明：，再根據(jù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題求解即可.10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，且，求證：.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線的方程；（2）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（3）分析可知，證明出，其中，由已知條件可得，兩式作差可得，結(jié)合所證不等式可證得結(jié)論成立.(1)解：當(dāng)時(shí)，，，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.(2)當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí)，由可得或.（i）當(dāng)時(shí)，，由，可得，由，可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；（ii）當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的，且不恒為零，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（iii）當(dāng)時(shí)，，由，可得，由，可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.(3)證明：，則，令，則.當(dāng)時(shí)，由可得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，解得.下面證明不等式，其中，即證，令，即證對(duì)任意的恒成立，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派構(gòu)造函數(shù)，其中，則對(duì)任意的恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，由已知可得，兩式作差可得，則，即，故原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若存在，滿(mǎn)足，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可求出單調(diào)區(qū)間和極值；（2）由題（1）可設(shè)，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可證，又在上單調(diào)遞增，可證，在證明，即可證明結(jié)果.(1)解：.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.(2)解：由題（1）可知，當(dāng)時(shí)才存在，滿(mǎn)足，不妨設(shè)，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即故，因?yàn)?，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，下面證明：；因?yàn)椋?，所以，所以，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）問(wèn)涉及到極值點(diǎn)偏移，在解答過(guò)程中構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，這也是解決常見(jiàn)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的常見(jiàn)方法.12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若f（1）=2，求a的值；(2)若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，證明：①；②.【答案】(1)2；(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）代入f（1）=2即可求出a的值；（2）①分情況討論，得到時(shí)滿(mǎn)足題意，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，不妨設(shè)，構(gòu)造差函數(shù)，證明極值點(diǎn)偏移問(wèn)題；②在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行放縮即可證明..(1)由，化簡(jiǎn)得：，兩邊平方，解得：.(2)不妨令，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故不能使得存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，舍去；當(dāng)時(shí)，為定值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)知識(shí)可知：當(dāng)