初等數(shù)論模擬試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.若\(a\)，\(b\)，\(c\)均為整數(shù)，且\(a\midb\)，\(b\midc\)，則以下結(jié)論正確的是（）A.\(a\midc\)B.\(c\mida\)C.\(a=c\)D.\(a\)與\(c\)無整除關(guān)系答案：A2.兩個(gè)整數(shù)\(a\)，\(b\)互素的充要條件是（）A.\((a,b)=1\)B.\(a\)，\(b\)都是素?cái)?shù)C.\(a\)，\(b\)中至少有一個(gè)素?cái)?shù)D.\(a\)，\(b\)都是奇數(shù)答案：A3.下列數(shù)中，能被\(3\)整除的數(shù)是（）A.\(1234\)B.\(2345\)C.\(3456\)D.\(4567\)答案：C4.若\(a\equivb(\bmodm)\)，\(c\equivd(\bmodm)\)，則下列式子成立的是（）A.\(a+c\equivb+d(\bmodm)\)B.\(a-c\equivb-d(\bmodm)\)C.\(ac\equivbd(\bmodm)\)D.以上都成立答案：D5.小于\(10\)且與\(10\)互素的正整數(shù)有（）A.\(1\)，\(3\)，\(7\)，\(9\)B.\(1\)，\(3\)，\(5\)，\(7\)C.\(1\)，\(5\)，\(7\)，\(9\)D.\(1\)，\(3\)，\(5\)，\(9\)答案：A6.同余方程\(3x\equiv6(\bmod9)\)的解的個(gè)數(shù)是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：C7.模\(5\)的簡化剩余系是（）A.\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)B.\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)C.\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)D.\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)答案：C8.若\(p\)是素?cái)?shù)，\(a\)是整數(shù)且\(p\nmida\)，則\(a^{p-1}\equiv\)（）\((\bmodp)\)A.\(0\)B.\(1\)C.\(p\)D.\(a\)答案：B9.不定方程\(3x+5y=1\)的整數(shù)解為（）A.\(x=2+5t\)，\(y=-1-3t\)，\(t\inZ\)B.\(x=1+5t\)，\(y=-1-3t\)，\(t\inZ\)C.\(x=2+3t\)，\(y=-1-5t\)，\(t\inZ\)D.\(x=1+3t\)，\(y=-1-5t\)，\(t\inZ\)答案：A10.整數(shù)\(n\)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為\(n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdotsp_{k}^{a_{k}}\)，則\(n\)的正約數(shù)個(gè)數(shù)\(d(n)\)為（）A.\(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}\)B.\(a_{1}a_{2}\cdotsa_{k}\)C.\((a_{1}+1)(a_{2}+1)\cdots(a_{k}+1)\)D.\(p_{1}p_{2}\cdotsp_{k}\)答案：C二、多項(xiàng)選擇題1.以下關(guān)于整除的性質(zhì)，正確的有（）A.若\(a\midb\)，\(a\midc\)，則\(a\mid(b+c)\)B.若\(a\midb\)，\(m\)為任意整數(shù)，則\(a\midmb\)C.若\(a\midb\)，\(b\mida\)，則\(a=b\)D.若\(a\midbc\)，則\(a\midb\)或\(a\midc\)答案：AB2.下列數(shù)中，能同時(shí)被\(2\)和\(5\)整除的數(shù)有（）A.\(10\)B.\(20\)C.\(30\)D.\(40\)答案：ABCD3.關(guān)于同余的性質(zhì)，正確的有（）A.若\(a\equivb(\bmodm)\)，則\(b\equiva(\bmodm)\)B.若\(a\equivb(\bmodm)\)，\(b\equivc(\bmodm)\)，則\(a\equivc(\bmodm)\)C.若\(a\equivb(\bmodm)\)，\(n\)為正整數(shù)，則\(a^{n}\equivb^{n}(\bmodm)\)D.若\(a\equivb(\bmodm)\)，\(c\equivd(\bmodm)\)，則\(ac\equivbd(\bmodm)\)答案：ABCD4.以下是模\(6\)的完全剩余系的有（）A.\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)B.\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)C.\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)D.\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)，\(10\)，\(11\)答案：ACD5.下列哪些數(shù)是素?cái)?shù)（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)答案：ABD6.不定方程\(ax+by=c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)為整數(shù)，\((a,b)=d\)）有整數(shù)解的充要條件是（）A.\(d\midc\)B.\(d\nmidc\)C.\(a\midc\)D.\(b\midc\)答案：A7.以下關(guān)于歐拉函數(shù)\(\varphi(n)\)，正確的是（）A.若\(n\)是素?cái)?shù)\(p\)，則\(\varphi(p)=p-1\)B.若\(n=pq\)（\(p\)，\(q\)為不同素?cái)?shù)），則\(\varphi(pq)=(p-1)(q-1)\)C.若\(n=p^{k}\)（\(p\)為素?cái)?shù)，\(k\geq1\)），則\(\varphi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}\)D.\(\varphi(1)=1\)答案：ABCD8.下列同余方程有解的是（）A.\(2x\equiv3(\bmod5)\)B.\(3x\equiv6(\bmod9)\)C.\(4x\equiv5(\bmod7)\)D.\(5x\equiv10(\bmod15)\)答案：ACD9.整數(shù)\(n\)的正約數(shù)\(d\)滿足（）A.\(d\midn\)B.\(n/d\)也是\(n\)的正約數(shù)C.\(d\geq1\)D.\(d\leqn\)答案：ABCD10.以下屬于中國剩余定理應(yīng)用的場(chǎng)景有（）A.求解多個(gè)同余方程組成的方程組B.計(jì)算某些復(fù)雜的余數(shù)問題C.密碼學(xué)中的一些算法D.數(shù)論中的整除性證明答案：ABC三、判斷題1.若\(a\midb\)且\(b\mida\)，則\(a=b\)。（）答案：錯(cuò)誤（\(a=\pmb\)）2.任何一個(gè)大于\(1\)的整數(shù)都可以分解成素?cái)?shù)的乘積。（）答案：正確3.同余方程\(ax\equivb(\bmodm)\)有解的充要條件是\((a,m)\midb\)。（）答案：正確4.模\(m\)的簡化剩余系中元素的個(gè)數(shù)就是歐拉函數(shù)\(\varphi(m)\)的值。（）答案：正確5.不定方程\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\)只有一組正整數(shù)解\((3,4,5)\)。（）答案：錯(cuò)誤（有無數(shù)組正整數(shù)解）6.若\(a\equivb(\bmodm)\)，\(c\equivd(\bmodm)\)，則\(a-c\equivb-d(\bmodm)\)。（）答案：正確7.素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。（）答案：正確8.整數(shù)\(n\)的正約數(shù)個(gè)數(shù)\(d(n)\)一定是偶數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤（當(dāng)\(n\)為完全平方數(shù)時(shí)，\(d(n)\)為奇數(shù)）9.同余關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。（）答案：正確10.若\(a\)，\(b\)為整數(shù)，\((a,b)=1\)，則\((a+b,a-b)=1\)或\(2\)。（）答案：正確四、簡答題1.簡述整除的定義。若整數(shù)\(a\)除以非零整數(shù)\(b\)，商為整數(shù)，且余數(shù)為零，我們就說\(a\)能被\(b\)整除（或說\(b\)能整除\(a\)），記作\(b\mida\)，其中\(zhòng)(a\)叫做\(b\)的倍數(shù)，\(b\)叫做\(a\)的約數(shù)。例如\(6\div3=2\)，余數(shù)為\(0\)，則\(3\mid6\)。2.說明歐拉函數(shù)\(\varphi(n)\)的含義，并舉例計(jì)算\(\varphi(10)\)。歐拉函數(shù)\(\varphi(n)\)表示小于等于\(n\)且與\(n\)互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。對(duì)于\(n=10\)，其標(biāo)準(zhǔn)分解式為\(10=2\times5\)。小于等于\(10\)的正整數(shù)有\(zhòng)(1\)到\(10\)。與\(10\)不互素的數(shù)有\(zhòng)(2\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(8\)，\(10\)。所以與\(10\)互素的數(shù)有\(zhòng)(1\)，\(3\)，\(7\)，\(9\)，共\(4\)個(gè)，即\(\varphi(10)=4\)。3.求解同余方程\(2x\equiv3(\bmod5)\)。首先，因?yàn)閈((2,5)=1\)，\(1\mid3\)，所以該同余方程有解。求\(2\)關(guān)于模\(5\)的逆元，即找到整數(shù)\(y\)使得\(2y\equiv1(\bmod5)\)，易知\(y=3\)，因?yàn)閈(2\times3=6\equiv1(\bmod5)\)。方程兩邊同時(shí)乘以\(3\)，得到\(3\times2x\equiv3\times3(\bmod5)\)，即\(x\equiv9\equiv4(\bmod5)\)，所以同余方程的解為\(x\equiv4(\bmod5)\)。4.簡述中國剩余定理的內(nèi)容。中國剩余定理：設(shè)\(m_{1},m_{2},\cdots,m_{k}\)是兩兩互素的正整數(shù)，\(M=m_{1}m_{2}\cdotsm_{k}\)，\(M_{i}=M/m_{i}\)，\(i=1,2,\cdots,k\)。同余方程組\(x\equiva_{i}(\bmodm_{i})\)（\(i=1,2,\cdots,k\)）有唯一解\(x\equivM_{1}y_{1}a_{1}+M_{2}y_{2}a_{2}+\cdots+M_{k}y_{k}a_{k}(\bmodM)\)，其中\(zhòng)(M_{i}y_{i}\equiv1(\bmodm_{i})\)，\(i=1,2,\cdots,k\)。五、討論題1.討論素?cái)?shù)分布的規(guī)律，以及目前已知的關(guān)于素?cái)?shù)分布的一些重要結(jié)論。素?cái)?shù)分布并不均勻，隨著數(shù)字增大，素?cái)?shù)分布越來越稀疏。目前已知重要結(jié)論有：素?cái)?shù)定理，它表明不超過\(x\)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)\(\pi(x)\)與\(x/\lnx\)在\(x\)趨于無窮大時(shí)的比值趨近于\(1\)；還有狄利克雷定理，即對(duì)于任意互素的正整數(shù)\(a\)，\(d\)，算術(shù)級(jí)數(shù)\(a+nd\)（\(n=0,1,2,\cdots\)）中包含無窮多個(gè)素?cái)?shù)。此外，還有一些未解決的猜想，如哥德巴赫猜想等也反映了素?cái)?shù)分布的一些特性。2.結(jié)合實(shí)際例子，討論同余在生活中的應(yīng)用。同余在生活中有諸多應(yīng)用。例如在日歷計(jì)算中，一周有\(zhòng)(7\)天，這就是以\(7\)為模的同余應(yīng)用。若今天是星期一，過\(10\)天后是星期幾，可計(jì)算\(10\bmod7=3\)，即從星期一開始過\(3\)天是星期四。在密碼學(xué)中，同余也用于加密和解密算法。如RSA算法就利用了同余性質(zhì)對(duì)信息進(jìn)行加密處理，保障信息安全。在循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序設(shè)計(jì)中，也常用同余來控制循環(huán)的周期。3.探討不定方程在實(shí)際問題中的建模與求解思路。在實(shí)際問題中，如分配問題、資源配置問題等?？山⒉欢ǚ匠棠Ｐ?。建模時(shí)，先根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系設(shè)出未知數(shù)，再依據(jù)條件列出方程。求解思路：首先判斷不定方程是否有解，可通過判斷系數(shù)的最大公因數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的整除關(guān)系。有解后，對(duì)于二