




版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
北京市通州區(qū)宋莊中學(xué)中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1.定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高與這條邊的比值是3:5,那么稱這個(gè)三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形,這條邊就叫做這個(gè)三角形的“金底”.(概念感知)(1)如圖1,在中,,,,試判斷是否是“準(zhǔn)黃金”三角形,請(qǐng)說(shuō)明理由.(問(wèn)題探究)(2)如圖2,是“準(zhǔn)黃金”三角形,BC是“金底”,把沿BC翻折得到,連AB接AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若點(diǎn)C恰好是的重心,求的值.(拓展提升)(3)如圖3,,且直線與之間的距離為3,“準(zhǔn)黃金”的“金底”BC在直線上,點(diǎn)A在直線上.,若是鈍角,將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到,線段交于點(diǎn)D.①當(dāng)時(shí),則_________;②如圖4,當(dāng)點(diǎn)B落在直線上時(shí),求的值.解析:(1)是“準(zhǔn)黃金”三角形,理由見解析;(2);(3)①;②.【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D,先求出AD的長(zhǎng)度,然后得到,即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)題意,由“金底”的定義得,設(shè),,由勾股定理求出AB的長(zhǎng)度,根據(jù)比值即可求出的值;(3)①作AE⊥BC于E,DF⊥AC于F,先求出AC的長(zhǎng)度,由相似三角形的性質(zhì),得到AF=2DF,由解直角三角形,得到,則,即可求出DF的長(zhǎng)度,然后得到CD的長(zhǎng)度;②由①可知,得到CE和AC的長(zhǎng)度,分別過(guò)點(diǎn),D作,,垂足分別為點(diǎn)G,F(xiàn),然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì),得到,然后求出CD和AD的長(zhǎng)度,即可得到答案.【詳解】解:(1)是“準(zhǔn)黃金”三角形.理由:如圖,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D,∵,,∴.∴.∴是“準(zhǔn)黃金”三角形.(2)∵點(diǎn)A,D關(guān)于BC對(duì)稱,∴,.∵是“準(zhǔn)黃金”三角形,BC是“金底”,∴.不防設(shè),,∵點(diǎn)為的重心,∴.∴,.∴.∴.(3)①作AE⊥BC于E,DF⊥AC于F,如圖:由題意得AE=3,∵,∴BC=5,∵,∴,在Rt△ABE中,由勾股定理得:,∴,∴;∵∠AEC=∠DFA=90°,∠ACE=∠DAF,∴△ACE∽△DAF,∴,設(shè),則,∵∠ACD=30°,∴,∴,解得:∴.②如圖,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E,則.∵是“準(zhǔn)黃金”三角形,BC是“金底”,∴.∴.∵,∴.∴.∴,.分別過(guò)點(diǎn),D作,,垂足分別為點(diǎn)G,F(xiàn),∴,,,則.∵,∴.∴.∴設(shè),,.∵,∴,且.∴.∴.∴,解得.∴,.∴.【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題,主要考查了重心的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理,解直角三角形,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答.2.(基礎(chǔ)鞏固)(1)如圖①,,求證:.(嘗試應(yīng)用)(2)如圖②,在菱形中,,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為邊上兩點(diǎn),將菱形沿翻折,點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)P處,若,求的值.(拓展提高)(3)如圖③,在矩形中,點(diǎn)P是邊上一點(diǎn),連接,若,求的長(zhǎng).解析:(1)見解析;(2);(3).【分析】(1)由證明,再根據(jù)相似三角形的判定方法解題即可;(2)由菱形的性質(zhì),得到,,繼而證明是等邊三角形,結(jié)合(1)中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì),設(shè),則可整理得到,據(jù)此解題;(3)在邊上取點(diǎn)E,F(xiàn),使得,由矩形的性質(zhì),得到,結(jié)合(1)中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題即可.【詳解】解:(1)證明:∵,∴,即,∵,∴;(2)∵四邊形是菱形,∴,∴,∴是等邊三角形,∴,由(1)得,,∴,設(shè),則∴,可得①,②,①-②,得,∴,∴的值為;(3)如圖,在邊上取點(diǎn)E,F(xiàn),使得,設(shè)AB=CD=m,∵四邊形是矩形,∴,∴,=DF,,由(1)可得,,∴,∴,整理,得,解得或(舍去),∴.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí),是重要考點(diǎn),難度一般,掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.3.(基礎(chǔ)鞏固)(1)如圖1,在中,M是的中點(diǎn),過(guò)B作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證:;(嘗試應(yīng)用)(2)在(1)的情況下載線段上取點(diǎn)E(如圖2),已知,,,求;(拓展提高)(3)如圖3,菱形中,點(diǎn)P在對(duì)角線上,且,點(diǎn)E為線段上一點(diǎn),.若,,求菱形的邊長(zhǎng).解析:(1)證明見解析;(2);(3).【分析】(1)證明,即可求解;(2)過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H,得到,進(jìn)而求解;(3)延長(zhǎng)交于G,交延長(zhǎng)線于F,連結(jié),可得,所以,設(shè)菱形邊長(zhǎng)為,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)證明:,,,是的中點(diǎn),,,.(2)由(1)得,,作,垂足為H,如圖所示:,在中,,.(3)延長(zhǎng)交于G,交延長(zhǎng)線于F,連結(jié),如圖所示:過(guò)作于由,,設(shè)菱形邊長(zhǎng)為,在和中,即,解得(舍負(fù)),菱形的邊長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題,主要考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形、勾股定理的運(yùn)用,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.4.(1)(問(wèn)題背景)如圖1,在中,,,D是直線BC上的一點(diǎn),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE,連接CE,求證:;(2)(嘗試應(yīng)用)如圖2,在(1)的條件下,延長(zhǎng)DE,AC交于點(diǎn)G,交DE于點(diǎn)F.求證:;(3)(拓展創(chuàng)新)如圖3,是內(nèi)一點(diǎn),,,,直接寫出的面積為_____________.解析:(1)見解析;(2)見解析;(3)【分析】(1)【問(wèn)題背景】如圖1,根據(jù)SAS證明三角形全等即可.(2)【嘗試應(yīng)用】如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DK⊥DC交FB的延長(zhǎng)線于K.證明△ECG≌△DKF(AAS),推出DF=EG,再證明FG=DE=即可.(3)【拓展創(chuàng)新】如圖3中,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD交BD于E,連接CE.利用全等三角形的性質(zhì)證明CE=BD,CE⊥BD,再根據(jù)三角形面積公式即可求解.【詳解】(1)【問(wèn)題背景】證明:如圖1,∵,∴,在和中,,∴.(2)【嘗試應(yīng)用】證明:如圖2,過(guò)點(diǎn)D作交FB的延長(zhǎng)線于K.∵,,∴,∵,,∴,∴,∴,∵,∴,,∴,∵,,∴,∴,在和中,,∴,∴,∵,∴,∴,即.(3)【拓展創(chuàng)新】如圖3中,過(guò)點(diǎn)A作交BD于E,連接CE.∵,,∴與都是等腰直角三角形,同法可證,∴,∵,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.5.(了解概念)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,組成圖形的各點(diǎn)中,與點(diǎn)Р所連線段最短的點(diǎn)叫做點(diǎn)Р關(guān)于這個(gè)圖形的短距點(diǎn),這條最短線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)Р到這個(gè)圖形的短距.(理解運(yùn)用)(1)已知點(diǎn),以原點(diǎn)為圓心,l為半徑作,則點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的坐標(biāo)是;(2)如圖,點(diǎn),等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為,頂點(diǎn)B在第一象限,判斷點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;(拓展提升)(3)已知,,,點(diǎn)C在第一象限內(nèi),且,,若點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2,請(qǐng)直接寫出的取值范圍.解析:(1)(-1,0);(2)點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè);(3)當(dāng)p<-或2<p<4或p>6+時(shí),點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2.【分析】(1)連接PO,交于點(diǎn)M,點(diǎn)M即是點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn),進(jìn)而即可求解;(2)根據(jù)題意得點(diǎn)P是三角形OAB的中心,進(jìn)而即可求解;(3)由題意得點(diǎn)P,A,B在直線y=-x+6上,以點(diǎn)P為圓心,半徑長(zhǎng)為2畫圓,分3種情況:①當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上,圓P過(guò)點(diǎn)B時(shí),②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上,圓P與BC相切于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸,③當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,圓P過(guò)點(diǎn)A時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸,分別求解,即可得到答案.【詳解】解:(1)連接PO,交于點(diǎn)M,點(diǎn)M即是點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn),∵,、的半徑為1,∴M(-1,0),故答案是:(-1,0);(2)∵點(diǎn),等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為,∴點(diǎn)P是三角形OAB的中心,∴點(diǎn)P到OA,OB,OC的三條垂線段最短,三條垂線段都等于,∴點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè);(3)∵,,,∴點(diǎn)P,A,B在直線y=-x+6上,∴∠ABO=∠BAO=45°,∵點(diǎn)C在第一象限內(nèi),且,,∴∠ABC=75°-45°=30°,以點(diǎn)P為圓心,半徑長(zhǎng)為2畫圓,如圖所示:當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上,圓P過(guò)點(diǎn)B時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸,∵PB=2,∠PBM=45°,∴PM=2×=,∴p<-時(shí),點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2;①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上,圓P與BC相切于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸,則BP=2PN=2×2=4,PM=BP×=2,②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上,圓P與OA相切于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸,則AP=PN=2,BP=AB-AP=6-2=4,PM=BP×=4×=4,∴2<p<4時(shí),點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2;③當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,圓P過(guò)點(diǎn)A時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸,則PM=(6+2)×=6+,∴p>6+時(shí),點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2;綜上所述:當(dāng)p<-或2<p<4或p>6+時(shí),點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2.【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形與坐標(biāo)以及圓的綜合題,根據(jù)題意畫出圖形,掌握?qǐng)A與直線相切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.已知△ABC是等腰三角形,AB=AC.(1)特殊情形:如圖1,當(dāng)DE∥BC時(shí),有DBEC.(填“>”,“<”或“=”)(2)發(fā)現(xiàn)探究:若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)到圖2位置,則(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)拓展運(yùn)用:如圖3,P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度數(shù).解析:(1)=;(2)成立,證明見解析;(3)135°.【分析】試題(1)由DE∥BC,得到,結(jié)合AB=AC,得到DB=EC;(2)由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC,得到DB=CE;(3)由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△CPB≌△CEA,再用勾股定理計(jì)算出PE,然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形,再簡(jiǎn)單計(jì)算即可.【詳解】(1)∵DE∥BC,∴,∵AB=AC,∴DB=EC,故答案為=,(2)成立.證明:由①易知AD=AE,∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC,又∵AD=AE,AB=AC∴△DAB≌△EAC,∴DB=CE,(3)如圖,將△CPB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△CEA,連接PE,∴△CPB≌△CEA,∴CE=CP=2,AE=BP=1,∠PCE=90°,∴∠CEP=∠CPE=45°,在Rt△PCE中,由勾股定理可得,PE=,在△PEA中,PE2=()2=8,AE2=12=1,PA2=32=9,∵PE2+AE2=AP2,∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°,∴∠CEA=135°,又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°.【點(diǎn)睛】考點(diǎn):幾何變換綜合題;平行線平行線分線段成比例.7.[探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)](1)函數(shù)的自變量的取值范圍是;(2)下列四個(gè)函數(shù)圖象中函數(shù)的圖象大致是;(3)對(duì)于函數(shù),求當(dāng)時(shí),的取值范圍.請(qǐng)將下列的求解過(guò)程補(bǔ)充完整.解:∵∴∵∴.[拓展運(yùn)用](4)若函數(shù),則的取值范圍.解析:(1);(2)C;(3)4,4;(4)【詳解】試題分析:本題的⑴問(wèn)抓住函數(shù)是由分式給定的,所以抓住是分母不為0,即可確定自變量的取值范圍.本題的⑵問(wèn)結(jié)合第⑴問(wèn)中的,即或進(jìn)行分類討論函數(shù)值的大致取值范圍,即可得到函數(shù)的大致圖象.本題的第⑶問(wèn)根據(jù)函數(shù)的配方逆向展開即推出“()”應(yīng)填寫“常數(shù)”部分,再根據(jù)配方情況可以得到當(dāng)當(dāng)時(shí),的取值范圍.本題的⑷問(wèn)現(xiàn)將函數(shù)改寫為的形式,再按⑶的形式進(jìn)行配方變形即可求的取值范圍.試題解析:(1)由于函數(shù)是分式給定的,所要滿足分母不為0,所以.故填:.(2)即或;當(dāng)時(shí),的值是正數(shù),此時(shí)畫出的圖象只能在第一象限;當(dāng)時(shí),的值是負(fù)數(shù),此時(shí)畫出的圖象只能在第三象限;所以函數(shù)的圖象只在直角坐標(biāo)系的一、三象限.故其大致圖象應(yīng)選C.(3)∵,∴.故分別填:;(4)∵(這里隱含有首先是正數(shù))∴∵∴.8.已知四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn),DE與CF交于點(diǎn)G.問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖,若四邊形ABCD是矩形,且于G,,填空:______;當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí),______;拓展探究如圖,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí),成立?并證明你的結(jié)論;解決問(wèn)題如圖,若于G,請(qǐng)直接寫出的值.解析:(1)①,②1;(2)當(dāng)+=180°時(shí),成立,理由見解析;(3).【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)先一步證明△AED~△DFC,然后進(jìn)一步利用相似三角形性質(zhì)求解即可;(2)在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M,使得CM=CF,則∠CMD=∠CFM,通過(guò)證明△ADE~△DCM進(jìn)一步求解即可;(3)過(guò)C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn),CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn),連接BD,先證明△BAD≌△BCD,然后進(jìn)一步證明△BCM~△DCN,再結(jié)合勾股定理求出CN,最終通過(guò)證明△AED~△NFC進(jìn)一步求解即可.【詳解】(1)∵四邊形ABCD為矩形,∴∠A=∠FDC=90°,AB=CD,∵CF⊥DE,∴∠DGF=90°,∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°,∴∠CFD=∠AED,∵∠A=∠CDF,∴△AED~△DFC,∴,∴①,②若四邊形ABCD為正方形,,故答案為:①,②1;(2)當(dāng)+=180°時(shí),成立,理由如下:如圖,在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M,使得CM=CF,則∠CMD=∠CFM,∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠A=∠CDM,∵∠B+∠EGC=180°,∴∠BEG+∠FCB=180°,∵∠BEG+∠AED=180°,∴∠AED=∠FCB,∵AD∥BC,∴∠CFM=∠FCB,∴∠CMD=∠AED,∴△ADE~△DCM,∴,即:;(3),理由如下:過(guò)C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn),CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn),連接BD,設(shè)CN=x,∵∠BAD=90°,即AB⊥AD,∴∠A=∠M=∠CAN=90°,∴四邊形AMCN為矩形,∴AM=CN,AN=CM,在△BAD與△BCD中,∵AD=CD,AB=BC,BD=BD,∴△BAD≌△BCD(SSS),∴∠BCD=∠A=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ABC+∠CBM=180°,∴∠MBC=∠ADC,∵∠CND=∠M=90°,∴△BCM~△DCN,∴,∴,∴,在Rt△CMB中,,BM=AM?AB=,由勾股定理可得:,∴,解得:(舍去)或,∴,∵∠A=∠FGD=90°,∴∠AED+∠AFG=180°,∵∠AFG+∠NFC=180°,∴∠AED=∠CFN,∵∠A=∠CNF,∴△AED~△NFC,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)與判定和全等三角形性質(zhì)與判定及矩形性質(zhì)的綜合運(yùn)用,熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.9.?dāng)?shù)學(xué)課上,李老師出示了如下框中的題目.在等邊三角形中,點(diǎn)E在上,點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上,且,如圖,試確定線段與的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.小敏與同桌小聰討論后,進(jìn)行了如下解答:(1)特殊情況,探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí),如圖1,確定線段與的大小關(guān)系.請(qǐng)你直接寫出結(jié)論:_____(填“>”,“<”或“=”).(2)特例啟發(fā),解答題目解:如圖2,題目中,與的大小關(guān)系是:____(填“>”“<”或“=”).理由如下:(請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程)(3)拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題在等邊三角形中,點(diǎn)E在直線上,點(diǎn)D在直線上,且.若的邊長(zhǎng)為1,,求的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫出結(jié)果).解析:(1)=;(2)=;(3)3或1【分析】(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=∠ECB=30°,求出∠DEB=30°,求出BD=BE即可;(2)過(guò)E作EF∥BC交AC于F,求出等邊三角形AEF,證△DEB和△ECF全等,求出BD=EF即可;(3)當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線上,E在AB的延長(zhǎng)線式時(shí),由(2)求出CD=3,當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上,D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),求出CD=1.【詳解】解:(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),為等邊三角形,,∠A=60°,∴為等邊三角形,,,,,,,在和中,,,,故答案為:;(2)如圖1,過(guò)E作EF∥BC交AC于F,∵等邊三角形ABC,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∴△AEF是等邊三角形,∴AE=EF=AF,∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,∵DE=EC,∴∠D=∠ECD,∴∠BED=∠ECF,在△DEB和△ECF中,∴△DEB≌△ECF(AAS),∴BD=EF=AE,即AE=BD,故答案為:=.(3)CD=1或3,理由是:分為兩種情況:①如圖2過(guò)A作AM⊥BC于M,過(guò)E作EN⊥BC于N,則AM∥EN,∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC,∴BM=CM=BC=,∵DE=CE,EN⊥BC,∴CD=2CN,∵AB=1,AE=2,∴AB=BE=1,∵EN⊥DC,AM⊥BC,∴∠AMB=∠ENB=90°,在△ABM和△EBN中,∴△AMB≌△ENB(AAS),∴BN=BM=,∴CN=1+=,CD=2CN=3;②如圖3,作AM⊥BC于M,過(guò)E作EN⊥BC于N,則AM∥EN,∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC,∴BM=CM=BC=,∵DE=CE,EN⊥BC,∴CD=2CN,∵AM∥EN,∴,∴,∴MN=1,∴CN=1-=,∴CD=2CN=1,即CD=3或1.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,解(2)小題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等的三角形后求出BD=EF,解(3)小題的關(guān)鍵是確定出有幾種情況,求出每種情況的CD值,注意,不要漏解?。?0.在中,,過(guò)點(diǎn)作直線,將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到(點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是),射線分別交直線于點(diǎn).(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1所示,若與重合,則的度數(shù)為_________________(2)類比探究:如圖2,所示,設(shè)與的交點(diǎn)為M,當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí),求線段的長(zhǎng);(3)拓展延伸:在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí),試探究四邊形的面積是否存在最小值,若存在,直接寫出四邊形的最小面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解析:(1)60°;(2);(3)存在,【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)可得:AC=A'C=2,進(jìn)而得到BC=,依據(jù)∠A'BC=90°,可得cos∠A'CB=,即可得到∠A'CB=30°,∠ACA'=60°;(2)根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn),即可得出∠A=∠A'CM,進(jìn)而得到PB=,依據(jù)tan∠BQC=tan∠A=,即可得到BQ=BC×=2,進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=;(3)依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-,即可得到S四邊形PA'B′Q最小,即S△PCQ最小,而S△PCQ=PQ×BC=PQ,利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3,S四邊形PA'B′Q=3-.【詳解】解(1)由旋轉(zhuǎn)得:,,,,,,;(2)因?yàn)镸是中點(diǎn),所以,,,,.∵∠PCQ=∠PBC=90°,∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°,∴∠BQC=∠BCP=∠A,,,;(3),最小,即最小,,取PQ的中點(diǎn)G,,即PQ=2CG,當(dāng)最小時(shí),最小,,與重合,最小,∵的最小值為,.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題,主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用,解題時(shí)注意:旋轉(zhuǎn)變換中,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.11.問(wèn)題背景:如圖1,在矩形中,,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).實(shí)驗(yàn)探究:(1)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中,小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),如圖2所示,得到結(jié)論:①_____;②直線與所夾銳角的度數(shù)為______.(2)小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問(wèn)探究(1)中的結(jié)論是否仍然成立?并說(shuō)明理由.拓展延伸:在以上探究中,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí),則的面積為______.解析:(1),30°;(2)成立,理由見解析;拓展延伸:或【分析】(1)通過(guò)證明,可得,,即可求解;(2)通過(guò)證明,可得,,即可求解;拓展延伸:分兩種情況討論,先求出,的長(zhǎng),即可求解.【詳解】解:(1)如圖1,,,,,如圖2,設(shè)與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),,,,,又,,直線與所夾銳角的度數(shù)為,故答案為:,;(2)結(jié)論仍然成立,理由如下:如圖3,設(shè)與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),,又,,,,又,,直線與所夾銳角的度數(shù)為.拓展延伸:如圖4,當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí),過(guò)點(diǎn)作于,,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),,,,,,,,、、三點(diǎn)共線,,,,,由(2)可得:,,,的面積;如圖5,當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí),過(guò)點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于,同理可求:的面積;故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題,考查了矩形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí),利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.12.如圖1,在中,,,點(diǎn),分別在邊,上,,連接,點(diǎn),,分別為,,的中點(diǎn).(1)觀察猜想圖1中,線段與的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;(2)探究證明把繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置,連接,,,判斷的形狀,并說(shuō)明理由;(3)拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若,,請(qǐng)直接寫出面積的最大值.解析:(1)PM=PN,;(2)等腰直角三角形,理由詳見解析;(3).【詳解】試題分析:(1)已知點(diǎn),,分別為,,的中點(diǎn),根據(jù)三角形的中位線定理可得,,,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPM=∠DCE,∠NPD=∠ADC,在中,,,,可得BD=EC,∠DCE+∠ADC=90°,即可得PM=PN,∠DPM+∠NPD=90°,即;(2)是等腰直角三角形,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證△BAD≌△CAE,即可得BD=CE,∠ABD=∠ACE,根據(jù)三角形的中位線定理及平行線的性質(zhì)(方法可類比(1)的方法)可得PM="PN,"∠MPD=∠ECD,∠PNC=∠DBC,所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD,∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN,即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°,即△PMN為等腰直角三角形;(3)把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置,此時(shí)PN=(AD+AB)="7,"PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最長(zhǎng),由(2)可知PM=PN,,所以面積的最大值為.試題解析:(1)PM=PN,;(2)等腰直角三角形,理由如下:由旋轉(zhuǎn)可得∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,∵點(diǎn),分別為,的中點(diǎn)∴PM是△DCE的中位線∴PM=CE,且,同理可證PN=BD,且∴PM="PN,"∠MPD=∠ECD,∠PNC=∠DBC,∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD,∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN,∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°,即△PMN為等腰直角三角形.(3).考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)和三角形的綜合題.13.問(wèn)題情境:如圖1,在正方形ABCD中,E為邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N.判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.問(wèn)題探究:在“問(wèn)題情境”的基礎(chǔ)上,(1)如圖2,若垂足P恰好為AE的中點(diǎn),連接BD,交MN于點(diǎn)Q,連接EQ,并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F.求∠AEF的度數(shù);(2)如圖3,當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上時(shí),連接AN,將△APN沿著AN翻折,點(diǎn)P落在點(diǎn)P'處.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,AD的中點(diǎn)為S,求P'S的最小值.問(wèn)題拓展:如圖4,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)M、N分別為邊AB、CD上的點(diǎn),將正方形ABCD沿著MN翻折,使得BC的對(duì)應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C'N交AD于點(diǎn)F.分別過(guò)點(diǎn)A、F作AG⊥MN,F(xiàn)H⊥MN,垂足分別為G、H.若AG=,請(qǐng)直接寫出FH的長(zhǎng).解析:?jiǎn)栴}情境:.理由見解析;問(wèn)題探究:(1);(2)的最小值為;問(wèn)題拓展:.【分析】問(wèn)題情境:過(guò)點(diǎn)B作BF∥MN分別交AE、CD于點(diǎn)G、F,證出四邊形MBFN為平行四邊形,得出NF=MB,證明△ABE≌△BCF得出BE=CF,即可得出結(jié)論;問(wèn)題探究:(1)連接AQ,過(guò)點(diǎn)Q作HI∥AB,分別交AD、BC于點(diǎn)H、I,證出△DHQ是等腰直角三角形,HD=HQ,AH=QI,證明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH=∠QEI,得出△AQE是等腰直角三角形,得出∠EAQ=∠AEQ=45°,即可得出結(jié)論;(2)連接AC交BD于點(diǎn)O,則△APN的直角頂點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),則點(diǎn)P′與點(diǎn)D重合;設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí),則點(diǎn)P′的落點(diǎn)為O′,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ODA=∠ADO′=45°,當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動(dòng)時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CD于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)P′作P′H⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接PC,證明△APB≌△CPB得出∠BAP=∠BCP,證明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG=NH,GN=P'H,由正方形的性質(zhì)得出∠PDG=45°,易得出PG=GD,得出GN=DH,DH=P'H,得出∠P'DH=45°,故∠P'DA=45°,點(diǎn)P'在線段DO'上運(yùn)動(dòng);過(guò)點(diǎn)S作SK⊥DO',垂足為K,即可得出結(jié)果;問(wèn)題拓展:延長(zhǎng)AG交BC于E,交DC的延長(zhǎng)線于Q,延長(zhǎng)FH交CD于P,則EG=AG=,PH=FH,得出AE=5,由勾股定理得出BE==3,得出CE=BC﹣BE=1,證明△ABE∽△QCE,得出QE=AE=,AQ=AE+QE=,證明△AGM∽△ABE,得出AM=,由折疊的性質(zhì)得:AB'=EB=3,∠B'=∠B=90°,∠C'=∠BCD=90°,求出B'M=,AC'=1,證明△AFC'∽△MAB',得出AF=,證明△DFP∽△DAQ,得出FP=,得出FH=FP=.【詳解】問(wèn)題情境:因?yàn)樗倪呅问钦叫?,所?過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn).所以四邊形為平行四邊形.所以.所以,所以,又因?yàn)椋?,所以.因?yàn)?,所以,所?問(wèn)題探究:(1)連接,過(guò)點(diǎn)作,分別交于點(diǎn).易得四邊形矩形.所以且.因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線,所以.所以是等腰直角三角形,.所以.因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€,所以.所以.所以.所以.所以.所以是等腰直角三角形,,即.(2)如圖所示,連接交于點(diǎn),由題意易得的直角頂點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合,則點(diǎn)與點(diǎn)重合;設(shè)與點(diǎn)重合,則點(diǎn)的落點(diǎn)為.易知.當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為,過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn).易證:,所以,因?yàn)槭钦叫蔚膶?duì)角線,所以,易得,所以.所以.所以,故.所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)作,垂足為,因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),所以,則的最小值為.問(wèn)題拓展:解:延長(zhǎng)AG交BC于E,交DC的延長(zhǎng)線于Q,延長(zhǎng)FH交CD于P,如圖4:則EG=AG=,PH=FH,∴AE=5,在Rt△ABE中,BE==3,∴CE=BC﹣BE=1,∵∠B=∠ECQ=90°,∠AEB=∠QEC,∴△ABE∽△QCE,∴∵AG⊥MN,∴∠AGM=90°=∠B,∵∠MAG=∠EAB,∴△AGM∽△ABE,∴,即,解得:,由折疊的性質(zhì)得:AB'=EB=3,∠B'=∠B=90°,∠C'=∠BCD=90°,∴B'M=,∵∠BAD=90°,∴∠B'AM=∠C'FA,∴△AFC'∽△MAB',∴,解得:∵AG⊥MN,F(xiàn)H⊥MN,∴AG∥FH,∴AQ∥FP,∴△DFP∽△DAQ,∴,即,解得:FP=,∴FH=.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目,考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),有一定難度,證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵.14.小圓同學(xué)對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.(一)猜測(cè)探究在中,,是平面內(nèi)任意一點(diǎn),將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與相等的角度,得到線段,連接.(1)如圖1,若是線段上的任意一點(diǎn),請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系是,與的數(shù)量關(guān)系是;(2)如圖2,點(diǎn)是延長(zhǎng)線上點(diǎn),若是內(nèi)部射線上任意一點(diǎn),連接,(1)中結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.(二)拓展應(yīng)用如圖3,在中,,,,是上的任意點(diǎn),連接,將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),得到線段,連接.求線段長(zhǎng)度的最小值.解析:(一)(1)結(jié)論:,.理由見解析;(2)如圖2中,①中結(jié)論仍然成立.理由見解析;(二)的最小值為.【分析】(一)①結(jié)論:,.根據(jù)證明≌即可.②①中結(jié)論仍然成立.證明方法類似.(二)如圖3中,在上截取,連接,作于,作于.理由全等三角形的性質(zhì)證明,推出當(dāng)?shù)闹底钚r(shí),的值最小,求出的值即可解決問(wèn)題.【詳解】(一)(1)結(jié)論:,.理由:如圖1中,∵,∴,∴,∵,,∴≌(),∴.故答案為,.(2)如圖2中,①中結(jié)論仍然成立.理由:∵,∴,∴,∵,,∴≌(),∴.(二)如圖3中,在上截取,連接,作于,作于.∵,∴,∵,,∴≌(),∴,∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí),的值最小,在中,∵,,∴,∵,∴,∴,在,∵,∴,根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),的值最小,∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形,垂線段最短等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.15.如圖1,△ABC和△DCE都是等邊三角形.探究發(fā)現(xiàn)(1)△BCD與△ACE是否全等?若全等,加以證明;若不全等,請(qǐng)說(shuō)明理由.拓展運(yùn)用(2)若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上,∠ADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的長(zhǎng).(3)若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上(如圖2),且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2,求△ACD的面積及AD的長(zhǎng).解析:(1)全等,理由見解析;(2)BD=;(3)△ACD的面積為,AD=.【分析】(1)依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD=∠ACE,然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD;(2)由(1)知:BD=AE,利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng),可得BD的長(zhǎng);(3)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F,先根據(jù)平角的定義得∠ACD=60°,利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長(zhǎng),由三角形面積公式可得△ACD的面積,最后根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng).【詳解】解:(1)全等,理由是:∵△ABC和△DCE都是等邊三角形,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,在△BCD和△ACE中,,∴△ACE≌△BCD(SAS);(2)如圖3,由(1)得:△BCD≌△ACE,∴BD=AE,∵△DCE都是等邊三角形,∴∠CDE=60°,CD=DE=2,∵∠ADC=30°,∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°,在Rt△ADE中,AD=3,DE=2,∴,∴BD=;(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F,∵B、C、E三點(diǎn)在一條直線上,∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°,∵△ABC和△DCE都是等邊三角形,∴∠BCA=∠DCE=60°,∴∠ACD=60°,在Rt△ACF中,sin∠ACF=,∴AF=AC×sin∠ACF=,∴S△ACD=,∴CF=AC×cos∠ACF=1×,F(xiàn)D=CD﹣CF=,在Rt△AFD中,AD2=AF2+FD2=,∴AD=.【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形,勾股定理等,第(3)小題巧作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.16.某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后,針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形,它們的面積,,之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究:類比探究(1)如圖2,在中,為斜邊,分別以為斜邊向外側(cè)作,,,若,則面積,,之間的關(guān)系式為;推廣驗(yàn)證(2)如圖3,在中,為斜邊,分別以為邊向外側(cè)作任意,,,滿足,,則(1)中所得關(guān)系式是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明你的結(jié)論;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;拓展應(yīng)用(3)如圖4,在五邊形中,,,,,點(diǎn)在上,,,求五邊形的面積.解析:(1);(2)結(jié)論成立,證明看解析;(3)【分析】(1)由題目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均為直角三角形,又因?yàn)?,則有∽∽,利用相似三角形的面積比為邊長(zhǎng)平方的比,列出等式,找到從而找到面積之間的關(guān)系;(2)在△ABD、△ACE、△BCF中,,,可以得到∽∽,利用相似三角形的面積比為邊長(zhǎng)平方的比,列出等式,從而找到面積之間的關(guān)系;(3)將不規(guī)則四邊形借助輔助線轉(zhuǎn)換為熟悉的三角形,過(guò)點(diǎn)A作AHBP于點(diǎn)H,連接PD,BD,由此可知,,即可計(jì)算出,根據(jù)△ABP∽△EDP∽△CBD,從而有,由(2)結(jié)論有,最后即可計(jì)算出四邊形ABCD的面積.【詳解】(1)∵△ABC是直角三角形,∴,∵△ABD、△ACE、△BCF均為直角三角形,且,∴∽∽,∴,,∴∴得證.(2)成立,理由如下:∵△ABC是直角三角形,∴,∵在△ABD、△ACE、△BCF中,,,∴∽∽,∴,,∴∴得證.(3)過(guò)點(diǎn)A作AHBP于點(diǎn)H,連接PD,BD,∵,,∴,,∵,∴,∴PH=AH=,∴,,∴,∵,ED=2,∴,,∴,∵,∴△ABP∽△EDP,∴,,∴,,∴,,∵,∴∵,∴∵∴△ABP∽△EDP∽△CBD∴故最后答案為.【點(diǎn)睛】(1)(2)主要考查了相似三角形的性質(zhì),若兩三角形相似,則有面積的比值為邊長(zhǎng)的平方,根據(jù)此性質(zhì)找到面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系即可;(3)主要考查了不規(guī)則四邊形面積的計(jì)算以及(2)的結(jié)論,其中合理正確利用前面得出的結(jié)論是解題的關(guān)鍵.17.實(shí)際問(wèn)題:某商場(chǎng)為鼓勵(lì)消費(fèi),設(shè)計(jì)了投資活動(dòng).方案如下:根據(jù)不同的消費(fèi)金額,每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中(面值為整數(shù)),一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎(jiǎng)券,獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額.某顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì),小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額?問(wèn)題建模:從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù),這個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果?模型探究:我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略,先從最簡(jiǎn)單的情形入手,再逐次遞進(jìn),從中找出解決問(wèn)題的方法.探究一:(1)從1,2,3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù),這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果?表①所取的2個(gè)整數(shù)1,21,3,2,32個(gè)整數(shù)之和345如表①,所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3,4,5,也就是從3到5的連續(xù)整數(shù),其中最小是3,最大是5,所以共有3種不同的結(jié)果.(2)從1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù),這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果?表②所取的2個(gè)整數(shù)1,21,3,1,42,32,43,42個(gè)整數(shù)之和345567如表②,所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3,4,5,6,7,也就是從3到7的連續(xù)整數(shù),其中最小是3,最大是7,所以共有5種不同的結(jié)果.(3)從1,2,3,4,5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù),這2個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果.(4)從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù),這2個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果.探究二:(1)從1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù),這3個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果.(2)從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù),這3個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果.探究三:從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù),這4個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果.歸納結(jié)論:從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù),這個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果.問(wèn)題解決:從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中(面值為整數(shù)),一次任意抽取5張獎(jiǎng)券,共有______種不同的優(yōu)惠金額.拓展延伸:(1)從1,2,3,…,36這36個(gè)整數(shù)中任取多少個(gè)整數(shù),使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果?(寫出解答過(guò)程)(2)從3,4,5,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù),這個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果.解析:探究一:(3);(4)(,為整數(shù));探究二:(1)(2);探究三:歸納結(jié)論:(為整數(shù),且,<<);問(wèn)題解決:;拓展延伸:(1)個(gè)或個(gè);(2).【分析】探究一:(3)根據(jù)(1)(2)的提示列表,可得答案;(4)仔細(xì)觀察(1)(2)(3)的結(jié)果,歸納出規(guī)律,從而可得答案;探究二:(1)仿探究一的方法列表可得答案;(2)由前面的探究概括出規(guī)律即可得到答案;探究三:根據(jù)探究一,探究二,歸納出從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)的和的結(jié)果數(shù),再根據(jù)上面探究歸納出從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù),這個(gè)整數(shù)之和的結(jié)果數(shù);問(wèn)題解決:利用前面的探究計(jì)算出這5張獎(jiǎng)券和的最小值與最大值,從而可得答案;拓展延伸:(1)直接利用前面的探究規(guī)律,列方程求解即可,(2)找到與問(wèn)題等價(jià)的模型,直接利用規(guī)律得到答案.【詳解】解:探究一:(3)如下表:取的2個(gè)整數(shù)2個(gè)整數(shù)之和所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3,4,5,6,7,8,9也就是從3到9的連續(xù)整數(shù),其中最小是3,最大是9,所以共有7種不同的結(jié)果.(4)從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù),這2個(gè)整數(shù)之和的最小值是3,和的最大值是所以一共有種.探究二:(1)從1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù),如下表:取的3個(gè)整數(shù)1,2,31,2,41,3,42,3,43個(gè)整數(shù)之和6789從1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù),這3個(gè)整數(shù)之和共有4種,(2)從1,2,3,4,5這5個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù),這3個(gè)整數(shù)之和的最小值是6,和的最大值是12,所以從1,2,3,4,5這5個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù),這3個(gè)整數(shù)之和共有7種,從而從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù),這3個(gè)整數(shù)之和的最小值是6,和的最大值是所以一共有種,探究三:從1,2,3,4,5這5個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù),這4個(gè)整數(shù)之和最小是最大是,所以這4個(gè)整數(shù)之和一共有5種,從1,2,3,4,5,6這6個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù),這4個(gè)整數(shù)之和最小是最大是,所以這4個(gè)整數(shù)之和一共有9種,從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù),這4個(gè)整數(shù)之和的最小值是10,和的最大值是,所以一共有種不同的結(jié)果.歸納結(jié)論:由探究一,從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù),這2個(gè)整數(shù)之和共有種.探究二,從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù),這3個(gè)整數(shù)之和共有種,探究三,從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù),這4個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.從而可得:從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù),這個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.問(wèn)題解決:從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中(面值為整數(shù)),一次任意抽取5張獎(jiǎng)券,這5張獎(jiǎng)券和的最小值是15,和的最大值是490,共有種不同的優(yōu)惠金額.拓展延伸:(1)從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù),這個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.當(dāng)有或或從1,2,3,…,36這36個(gè)整數(shù)中任取29個(gè)或7個(gè)整數(shù),使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果.(2)由探究可知:從3,4,5,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù),等同于從1,2,3,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù),所以:從3,4,5,…,(為整數(shù),且)這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù),這個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.【點(diǎn)睛】本題考查的是學(xué)生自主探究,自主歸納的能力,同時(shí)考查了一元二次方程的解法,掌握自主探究的方法是解題的關(guān)鍵.18.在我們學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)教科書中,有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng),若身旁沒(méi)有量角器或三角尺,又需要作等大小的角,可以采用如下方法:操作感知:第一步:對(duì)折矩形紙片,使與重合,得到折痕,把紙片展開(如圖13-1).第二步:再一次折疊紙片,使點(diǎn)落在上,并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn),得到折痕,同時(shí)得到線段(如圖13-2).猜想論證:(1)若延長(zhǎng)交于點(diǎn),如圖13-3所示,試判定的形狀,并證明你的結(jié)論.拓展探究:(2)在圖13-3中,若,當(dāng)滿足什么關(guān)系時(shí),才能在矩形紙片中剪出符(1)中的等邊三角形?解析:(1)是等邊三角形,理由見解析;(2),理由見解析【分析】(1)連接,由折疊性質(zhì)可得是等邊三角形,,,然后可得到,即可判定是等邊三角形.(2)由折疊可知,由(1)可知,利用的三角函數(shù)即可求得.【詳解】(1)解:是等邊三角形,證明如下:連接.由折疊可知:,垂直平分.∴,∴,∴為等邊三角形,∴,∴,∵,,∴,∴,∴是等邊三角形.(2)解:方法一:要在矩形紙片上剪出等邊,則,在中,,,∴,∵,∴,即,當(dāng)或()時(shí),在矩形紙片上能剪出這樣的等邊.方法二:要在矩形紙片上剪出等邊,則,在中,,,設(shè),則,∴,即,得,∴,∵,∴,即,當(dāng)(或)時(shí),在矩形紙片上能剪出這樣的等邊.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì),及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用,正確理解折疊性質(zhì)靈活運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形是解本題的關(guān)鍵.19.旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換,當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)往往可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題.(1)嘗試解決:如圖①,在等腰中,,點(diǎn)M是上的一點(diǎn),,,將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到,連接,則___________.(2)類比探究:如圖②,在“箏形”四邊形中,于點(diǎn)B,于點(diǎn)D,點(diǎn)P、Q分別是上的點(diǎn),且,求的周長(zhǎng).(結(jié)果用a表示)(3)拓展應(yīng)用:如圖③,已知四邊形,,求四邊形的面積.解析:(1);(2)2a;(3)【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABM≌△ACN,從而得出∠MCN=∠ACB+∠ACN=90°,再根據(jù)勾股得出AM的長(zhǎng);(2)將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到,利用SAS得出△QCP≌△QCM,從而得出的周長(zhǎng)(3)連接BD,由于AD=CD,所以可將△BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△DAB′,連接BB′,延長(zhǎng)BA,作B′E⊥BE;易證△AFB′是等腰直角三角形,△AEB是等腰直角三角形,利用勾股定理計(jì)算AE=B′E=,BB′=,求△ABB′和△BDB′的面積和即可.【詳解】(1)∵,∴∠B=∠ACB=45°,將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到,此時(shí)AB與AC重合,由旋轉(zhuǎn)可得:△ABM≌△ACN,∴∠BAM=∠CAN,AM=AN,BM=CN=1,∠B=∠ACN=45°,∴∠MCN=∠ACB+∠ACN=90°,∠MAN=∠ABC=90°,∴∴;(2)∵,,∴將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到,此時(shí)BC與DC重合,∴△BCP≌△DCM,∴∠DCM=∠PCB,BP=DM,PC=CM,∵,∴,∴,∵PC=CM,QC=QC,∴△QCP≌△QCM,∴PQ=QM,∴的周長(zhǎng)=AQ+AP+PQ=AQ+AP+QM=AQ+AP+DQ+DM=AQ+AP+DQ+BP=AD+AB,∵,∴的周長(zhǎng)=2a;(3)如圖3,連接BD,由于AD=CD,所以可將△BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△DAB′,連接BB′,延長(zhǎng)BA,作B′E⊥BE;∴△BCD≌△B′AD∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB′A,∵∠ABC=75°,∠ADC=60°,∴∠BAB′=135°∴∠B′AE=45°,∵∴B′E=AE=,∴BE=AB+AE=2+=,∴∵等邊△DBB′,∴BB′上的高=,∴∴,∴S四邊
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025福建三明市教育局華東師范大學(xué)附屬三明中學(xué)招聘緊缺急需專業(yè)工作人員18人模擬試卷有完整答案詳解
- 2025江蘇東臺(tái)市教育系統(tǒng)面向畢業(yè)生校園招聘教師20人(第二批)模擬試卷及答案詳解(各地真題)
- 個(gè)人生活隱秘信息保護(hù)承諾書(4篇)
- 健康管理團(tuán)隊(duì)專業(yè)保證承諾書8篇
- 湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考地理試題(解析版)
- 人力資源招聘面試流程及問(wèn)題清單
- 2025內(nèi)蒙古赤峰穆香源肉類食品有限公司招聘考前自測(cè)高頻考點(diǎn)模擬試題及一套答案詳解
- 2025廣西大嶺鄉(xiāng)儲(chǔ)備村“兩委”后備人才80人模擬試卷及答案詳解(必刷)
- 2025江蘇無(wú)錫市宜興市教育系統(tǒng)招聘事業(yè)編制鄉(xiāng)村教師定向師范生60人考前自測(cè)高頻考點(diǎn)模擬試題及答案詳解(名校卷)
- 租房培訓(xùn)用電知識(shí)課件
- 血常規(guī)檢驗(yàn)質(zhì)量控制和注意事項(xiàng)
- zippo稀有品系列圖鑒
- SGS公司MSA模板 五性分析
- 硬筆書法課講義課件
- 工程公司“十四五”發(fā)展戰(zhàn)略規(guī)劃(專業(yè)完整模板)
- GB/T 5013.3-2008額定電壓450/750V及以下橡皮絕緣電纜第3部分:耐熱硅橡膠絕緣電纜
- GB/T 25728-2010糧油機(jī)械氣壓磨粉機(jī)
- UPW系統(tǒng)介紹(培訓(xùn)學(xué)習(xí)資料)解析課件
- 輪機(jī)英語(yǔ)(新版)
- 后的英雄-中國(guó)遠(yuǎn)征軍
- 不寧腿綜合征診斷與治療
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論