1.3勾股定理的應(yīng)用第一章勾股定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.重點(diǎn):運(yùn)用勾股定理與逆定理解決實(shí)際問題;2.難點(diǎn):解決折疊、數(shù)形結(jié)合與最短距離問題.勾股定理:勾股逆定理:直角三角形a2+b2=c2a2+b2=c2直角三角形滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).舊知回顧直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.CBAabc如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.情景引入裝修工人李叔想檢測(cè)某塊裝修用磚的邊AD和邊BC是否分別垂直于邊AB.(1)如果李叔隨身只帶了卷尺,那么你能替他想辦法完成任務(wù)嗎?(2)李叔測(cè)得邊AD長(zhǎng)30cm,邊AB長(zhǎng)40cm,點(diǎn)B,D之間的距離是50cm.邊AD垂直于邊AB嗎?(3)如果李叔隨身只帶了一把長(zhǎng)度為20cm的刻度尺,那么他能檢驗(yàn)邊AD是否垂直于邊AB嗎?能,利用勾股逆定理即可.∵302+402=502,∴∠A=90°,即AD⊥AB.能,做好記號(hào),分次測(cè)量即可.例題講解如圖,水面寬10尺,蘆葦在水面中央,且高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向岸邊,那么它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.請(qǐng)問水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少?解:設(shè)OA為x尺,則OC=OB=(x+1)尺,在Rt△OAC中,由勾股定理得,AC2+OA2=OC2,即52+x2=(x+1)2,解得,x=12,∴x+1=13,答:水池的深度是12尺,蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是13尺.1.甲,乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn).某日早晨8:00,甲先出發(fā),他以6km/h的速度向正東行走.1小時(shí)后,乙出發(fā),他以5km/h的速度向正北行走.上午10:00,甲,乙兩人相距多遠(yuǎn)?解:如圖,點(diǎn)A為甲,乙兩人的出發(fā)點(diǎn),由題可知,甲前進(jìn)的時(shí)間2h,乙前進(jìn)的時(shí)間為1h,則AB=2×6=12km,AC=1×5=5km,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+AB2=BC2,解得BC=13km,所以,10點(diǎn)時(shí),兩人相距13km.小試牛刀如圖,正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),將這張紙片翻折,使點(diǎn)C落到點(diǎn)E處,折痕為GF.求DF的長(zhǎng).例題講解解:設(shè)DF為x,則EF=CF=8-x,∵四邊形ABCD是正方形,E是AD的中點(diǎn),∴∠D=90°,DE=4,由勾股定理得,DF2+DE2=EF2,即x2+42=(8-x)2,解得DF=3.題型1折疊問題折疊導(dǎo)致相等.小試牛刀2.C如圖,是一個(gè)滑梯的示意圖,若將AC水平放置,則剛好與AB一樣長(zhǎng).已知滑梯的高度CE=3m.CD=1m,試求滑道AC的長(zhǎng).解:設(shè)滑道AC的長(zhǎng)度為xm,則AB的長(zhǎng)度為xm,AE的長(zhǎng)度為(x-1)m.xx-1311在Rt△ACE中,由勾股定理得AE2+CE2=AC2,即(x-1)2+32=x2,解得x=5,所以,滑道AC的長(zhǎng)為5m.例題講解題型2數(shù)形結(jié)合問題3.有一個(gè)高為1.5m,半徑是1m的圓柱形油桶,在靠近邊的地方有一小孔,從孔中插入一鐵棒,已知鐵棒在油桶外的部分為0.5m,問這根鐵棒有多長(zhǎng)?解:設(shè)鐵棒伸入油桶中的長(zhǎng)度為xm,則最長(zhǎng)時(shí),有x2=1.52+22,解得x=2.5m,所以,最大長(zhǎng)度是2.5+0.5=3m,最短時(shí),x=1.5m,所以,最短長(zhǎng)度是1.5+0.5=2m,答:這根鐵棒的長(zhǎng)度在2-3m之間.小試牛刀課堂小結(jié)勾股定理解題步驟:1.設(shè)未知數(shù)(求啥設(shè)啥);2.列出勾股定理方程;4.答:注意帶單位.3.解方程;如圖,正方體的棱長(zhǎng)為10cm,頂點(diǎn)A處有一只螞蟻,現(xiàn)要向頂點(diǎn)B處爬行,已知螞蟻爬行的速度是1cm/s,且速度保持不變,問螞蟻能否在20s內(nèi)從A爬到B?食物AB展開圖ABB101010C例題講解題型3最短距離問題ABB解:不能,理由如下:101010C由題可知,AC=20cm,BC=10cm,∠C=90°,由勾股定理得,AC2+BC2=AB2,所以,AB2=202+102=500,所以,螞蟻不能在20s內(nèi)到達(dá)B處.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為10cm,頂點(diǎn)A處有一只螞蟻,現(xiàn)要向頂點(diǎn)B處爬行,已知螞蟻爬行的速度是1cm/s,且速度保持不變,問螞蟻能否在20s內(nèi)從A爬到B?例題講解ABC如圖,長(zhǎng)方體的高為3cm,底面是正方形,邊長(zhǎng)為2cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿長(zhǎng)方體表面到達(dá)B處,則點(diǎn)P經(jīng)過的最短距離是多少?小試牛刀解:如圖,由題意得,AC=4cm,BC=3cm,∠C=90°,由勾股定理得,AC2+BC2=AB2,解得,AB=5cm,所以,點(diǎn)P經(jīng)過的最短距離是5cm.1個(gè)直角三角形2個(gè)直角三角形3個(gè)直角三角形11個(gè)直角三角形21個(gè)直角三角形101個(gè)直角三角形從海螺圖中發(fā)現(xiàn)了什么？初始直角邊都為1時(shí)，第n個(gè)Rt三角形的斜邊長(zhǎng)為趣味數(shù)學(xué):海螺圖如圖，OP=1，過P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=;又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=；...依次繼續(xù)作下去，由勾股定理得OP2021=

加餐訓(xùn)練習(xí)題1.31.如圖(單位:cm),陰影部分是一個(gè)長(zhǎng)方形,它的面積是多少?設(shè)Rt△的斜邊為xcm,解得x=17cm,∴S長(zhǎng)方形=17×3=51cm2由勾股定理得,82+152=x2