復(fù)變函數(shù)試題及答案一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)\(z=x+yi\)，則\(e^{z}\)等于（）A.\(e^{x}(\cosy+i\siny)\)B.\(e^{x}(\cosy-i\siny)\)C.\(e^{y}(\cosx+i\sinx)\)D.\(e^{y}(\cosx-i\sinx)\)答案：A2.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)處的留數(shù)為（）A.-1B.1C.0D.不存在答案：A3.若\(f(z)\)在單連通域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)為\(D\)內(nèi)的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則\(\oint_{C}f(z)dz\)等于（）A.0B.\(2\pii\)C.\(2\piif(z_{0})\)（\(z_{0}\)為\(C\)內(nèi)任一點(diǎn)）D.不確定答案：A4.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\)的收斂半徑為（）A.1B.\(+\infty\)C.0D.不確定答案：B5.設(shè)\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(u(x,y)=x^{2}-y^{2}\)，則\(v(x,y)\)等于（）A.\(2xy+C\)（\(C\)為常數(shù)）B.\(-2xy+C\)C.\(x^{2}+y^{2}+C\)D.\(-x^{2}-y^{2}+C\)答案：A6.復(fù)數(shù)\(i^{100}\)的值為（）A.1B.-1C.\(i\)D.\(-i\)答案：A7.下列函數(shù)中為解析函數(shù)的是（）A.\(|z|\)B.\(z\)C.\(\overline{z}\)D.\(z^{2}\)答案：B8.設(shè)\(C\)為正向圓周\(|z|=1\)，則\(\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz\)等于（）A.0B.\(2\pii\)C.\(-2\pii\)D.不確定答案：C9.若\(f(z)\)在\(z_{0}\)處可導(dǎo)，則\(f(z)\)在\(z_{0}\)處（）A.連續(xù)B.可微C.解析D.以上都對(duì)答案：D10.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}z^{n-1}\)的收斂半徑為（）A.2B.\(\frac{1}{2}\)C.\(+\infty\)D.0答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)在復(fù)平面上處處解析的有（）A.\(e^{z}\)B.\(z^{2}\)C.\(\sinz\)D.\(\cosz\)答案：ABCD2.設(shè)\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)為\(D\)內(nèi)的正向簡(jiǎn)單閉曲線，\(z_{0}\)為\(C\)內(nèi)一點(diǎn)，則（）A.\(f(z_{0})=\frac{1}{2\pii}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz\)B.\(\oint_{C}f(z)dz=0\)C.\(f(z)\)在\(z_{0}\)處可導(dǎo)D.\(f(z)\)在\(z_{0}\)處連續(xù)答案：ACD3.下列級(jí)數(shù)收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)答案：AC4.設(shè)\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，則（）A.\(u(x,y)\)，\(v(x,y)\)在\(D\)內(nèi)可微B.\(u_{x}=v_{y}\)，\(u_{y}=-v_{x}\)在\(D\)內(nèi)成立C.\(f'(z)=u_{x}+iv_{x}=u_{x}-iu_{y}\)D.\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)的積分與路徑無(wú)關(guān)答案：ABCD5.復(fù)數(shù)的三角表示形式為（）A.\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)B.\(z=r(\cos\theta-i\sin\theta)\)C.\(z=r(\sin\theta+i\cos\theta)\)D.\(z=r(\sin\theta-i\cos\theta)\)答案：A三、判斷題1.任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示為三角形式。（）答案：對(duì)2.若\(f(z)\)在\(z_{0}\)處解析，則\(f(z)\)在\(z_{0}\)的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)。（）答案：對(duì)3.冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂，在收斂圓外發(fā)散。（）答案：對(duì)4.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，則\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。（）答案：對(duì)5.復(fù)數(shù)的模是一個(gè)實(shí)數(shù)。（）答案：對(duì)6.兩個(gè)解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)。（）答案：錯(cuò)7.若\(\oint_{C}f(z)dz=0\)，則\(f(z)\)在\(C\)所圍區(qū)域內(nèi)解析。（）答案：錯(cuò)8.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)連續(xù)。（）答案：對(duì)9.復(fù)數(shù)的輻角是唯一的。（）答案：錯(cuò)10.若\(f(z)\)在\(z_{0}\)處不解析，則\(f(z)\)在\(z_{0}\)處不可導(dǎo)。（）答案：對(duì)四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則。答案：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則如下：加法：\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)；減法：\((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)；乘法：\((a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i\)；除法：\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i\)（\(c+di\neq0\)）。2.說(shuō)明柯西-黎曼方程的內(nèi)容。答案：柯西-黎曼方程為：若\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，則在\(D\)內(nèi)有\(zhòng)(u_{x}=v_{y}\)，\(u_{y}=-v_{x}\)。3.解釋冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的定義。答案：對(duì)于冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}\)，如果存在一個(gè)正數(shù)\(R\)，使得當(dāng)\(|z|\ltR\)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)\(|z|\gtR\)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱\(R\)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。4.簡(jiǎn)述解析函數(shù)的性質(zhì)。答案：解析函數(shù)具有以下性質(zhì)：在其解析區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)；滿足柯西-黎曼方程；具有任意階導(dǎo)數(shù)；其積分與路徑無(wú)關(guān)等。五、討論題1.討論復(fù)數(shù)在幾何中的應(yīng)用。答案：復(fù)數(shù)在幾何中有廣泛的應(yīng)用，例如可以用復(fù)數(shù)表示平面向量，通過(guò)復(fù)數(shù)的運(yùn)算來(lái)進(jìn)行向量的加法、減法等運(yùn)算。復(fù)數(shù)的?？梢员硎鞠蛄康拈L(zhǎng)度，復(fù)數(shù)的輻角可以表示向量的方向。在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)可以與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，通過(guò)研究復(fù)數(shù)的性質(zhì)可以解決幾何問(wèn)題，如圓的方程、橢圓的方程等都可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示和求解。2.探討解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。答案：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)有密切的關(guān)系。若\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，則\(u(x,y)\)和\(v(x,y)\)都是調(diào)和函數(shù)，即滿足拉普拉斯方程\(\Deltau=0\)和\(\Deltav=0\)。反之，若\(u(x,y)\)是調(diào)和函數(shù)，且滿足一定的條件，則存在調(diào)和函數(shù)\(v(x,y)\)，使得\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析。這種關(guān)系在數(shù)學(xué)物理方程等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。3.分析冪級(jí)數(shù)展開(kāi)在函數(shù)研究中的作用。答案：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)在函數(shù)研究中具有重要作用。它可以將復(fù)雜的函數(shù)表示為簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)形式，便于進(jìn)行函數(shù)的分析和計(jì)算。通過(guò)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，可以研究函數(shù)的局部性質(zhì)，如在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)、極值等。同時(shí)，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)也