等和線題目及答案

一、單項選擇題1.已知向量\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)不共線，向量\(\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\)，若\(A\)，\(B\)，\(C\)三點共線，則\(x+y\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)答案：B2.設(shè)\(P\)是\(\triangleABC\)所在平面內(nèi)一點，且\(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}\)，若點\(P\)在直線\(BC\)上，則\(\lambda+\mu\)的值是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)答案：B3.已知\(e_1\)，\(e_2\)是平面內(nèi)兩個不共線向量，\(\overrightarrow{AB}=2e_1+ke_2\)，\(\overrightarrow{CB}=e_1+3e_2\)，\(\overrightarrow{CD}=2e_1-e_2\)，若\(A\)，\(B\)，\(D\)三點共線，則\(k\)的值為（）A.\(-8\)B.\(-6\)C.\(-4\)D.\(-2\)答案：A4.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(D\)為\(BC\)中點，\(E\)為\(AD\)中點，直線\(BE\)交\(AC\)于\(F\)，若\(\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)，則\(x+y\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B5.已知\(O\)是\(\triangleABC\)所在平面內(nèi)一點，\(D\)為\(BC\)邊中點，且\(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，則（）A.\(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}\)B.\(\overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{OD}\)C.\(\overrightarrow{AO}=3\overrightarrow{OD}\)D.\(2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}\)答案：A6.在平行四邊形\(ABCD\)中，\(E\)是\(BC\)的中點，若\(\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}\)，則\(\lambda+\mu\)的值為（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：A7.已知點\(M\)是\(\triangleABC\)的重心，若存在實數(shù)\(m\)使得\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AM}\)成立，則\(m\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(1\)D.\(3\)答案：D8.設(shè)\(M\)是\(\triangleABC\)內(nèi)一點，且\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}\)，\(\angleBAC=30^{\circ}\)，定義\(f(M)=(m,n,p)\)，其中\(zhòng)(m\)，\(n\)，\(p\)分別是\(\triangleMBC\)，\(\triangleMCA\)，\(\triangleMAB\)的面積，若\(f(M)=(\frac{1}{2},x,y)\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\)的最小值是（）A.\(8\)B.\(9\)C.\(16\)D.\(18\)答案：D9.已知\(A\)，\(B\)，\(C\)是平面上不共線的三點，\(O\)是\(\triangleABC\)的重心，動點\(P\)滿足\(\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC})\)，則點\(P\)一定為\(\triangleABC\)的（）A.\(AB\)邊中線的中點B.\(AB\)邊中線的三等分點（非重心）C.重心D.\(AB\)邊的中點答案：B10.已知向量\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{OC}\)滿足\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，且\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert=\vert\overrightarrow{OC}\vert=1\)，則\(\triangleABC\)的形狀是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.無法確定答案：C二、多項選擇題1.下列關(guān)于等和線的說法正確的是（）A.平面內(nèi)\(A\)，\(B\)，\(C\)三點共線的充要條件是對平面內(nèi)任意一點\(O\)，存在實數(shù)\(x\)，\(y\)使得\(\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\)且\(x+y=1\)B.若\(\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}\)，當\(\lambda+\mu=k\)（\(k\)為常數(shù)）時，\(P\)點的軌跡是平行于\(AB\)的直線C.等和線的應(yīng)用中，常通過向量的線性運算將已知條件轉(zhuǎn)化為共線向量的關(guān)系D.在\(\triangleABC\)中，若\(D\)為\(BC\)上一點，且\(\overrightarrow{BD}=\lambda\overrightarrow{BC}\)，則\(\overrightarrow{AD}=(1-\lambda)\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AC}\)答案：ABCD2.已知\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)不共線，\(\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}\)，若\(A\)，\(B\)，\(C\)三點共線，則（）A.\(m+n=1\)B.\(m\cdotn=1\)C.存在非零實數(shù)\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\)D.存在非零實數(shù)\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\)答案：ACD3.設(shè)\(e_1\)，\(e_2\)是平面內(nèi)兩個不共線向量，\(\overrightarrow{AB}=e_1-ke_2\)，\(\overrightarrow{CB}=2e_1+e_2\)，\(\overrightarrow{CD}=3e_1-e_2\)，若\(A\)，\(B\)，\(D\)三點共線，則（）A.\(k=2\)B.\(k=-2\)C.\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{BD}\)共線D.\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{BD}\)不共線答案：AC4.在\(\triangleABC\)中，\(D\)，\(E\)分別是\(AB\)，\(AC\)上的點，且\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)，\(BE\)與\(CD\)相交于點\(P\)，設(shè)\(\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)，則（）A.\(x=\frac{1}{5}\)B.\(y=\frac{2}{5}\)C.\(x+y=\frac{3}{5}\)D.\(x+y=1\)答案：ABC5.已知\(O\)是\(\triangleABC\)所在平面內(nèi)一點，且滿足\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，延長\(BO\)交\(AC\)于\(D\)，則（）A.\(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)B.\(\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)C.\(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{DC}\)D.\(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}\)答案：AC6.對于向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)，\(\overrightarrow{c}\)，下列說法正確的是（）A.若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)不共線，且\(\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow\)，則\((x,y)\)是唯一確定的B.若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)共線，則存在實數(shù)\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow\)C.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)D.在等和線問題中，利用向量的平行關(guān)系和線性運算可求解相關(guān)系數(shù)答案：AD7.在四邊形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，且\(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}\)，\(\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{FC}\)，設(shè)\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow\)，則（）A.\(\overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\overrightarrow\)B.\(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow+\frac{2}{3}\overrightarrow{a}\)C.\(E\)，\(F\)，\(B\)三點共線D.\(E\)，\(F\)，\(B\)三點不共線答案：ABC8.已知\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點共面，\(\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}+z\overrightarrow{OD}\)，則（）A.\(x+y+z=1\)B.當\(x=y=z\)時，\(O\)為\(\triangleBCD\)的重心C.若\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)構(gòu)成平行四邊形，則\(x\)，\(y\)，\(z\)有特定關(guān)系D.可以通過等和線原理確定\(x\)，\(y\)，\(z\)的取值范圍答案：ACD9.設(shè)\(P\)是\(\triangleABC\)所在平面內(nèi)一點，且\(\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)，則（）A.\(P\)是\(\triangleABC\)的重心B.\(P\)在\(BC\)邊的中線上C.\(\triangleABP\)與\(\triangleACP\)的面積相等D.\(\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)答案：ABC10.已知向量\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{OC}\)滿足\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}\)，則（）A.\(O\)是\(\triangleABC\)的外心B.\(O\)是\(\triangleABC\)的內(nèi)心C.\(O\)是\(\triangleABC\)的垂心D.向量關(guān)系與等和線有一定聯(lián)系答案：CD三、判斷題1.若\(\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}\)，且\(\lambda+\mu=1\)，則\(P\)，\(A\)，\(B\)三點共線。（）答案：對2.平面內(nèi)任意三個向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)，\(\overrightarrow{c}\)，都有\(zhòng)(\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow\)，其中\(zhòng)(x\)，\(y\)為實數(shù)。（）答案：錯3.若\(A\)，\(B\)，\(C\)三點共線，且\(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\)，則\(\lambda\)唯一確定。（）答案：對4.在\(\triangleABC\)中，\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)，則\(D\)為\(BC\)中點。（）答案：對5.若\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)不共線，\(\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\)，當\(x+y\gt1\)時，\(C\)點在直線\(AB\)外側(cè)。（）答案：對6.已知\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{AC}\)不共線，若\(\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}\)，且\(m+n=0\)，則\(D\)點在直線\(BC\)上。（）答案：錯7.若\(M\)是\(\triangleABC\)的重心，則\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)。（）答案：對8.對于向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)，若\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow\vert\)，則\(