7.1非正弦周期量及其分解7.2非正弦周期電流電路中的有效值、平均值和平均功率7.3非正弦周期電流電路的計算

本章小結(jié)

習(xí)題第7章非正弦周期電流電路7.1非正弦周期量及其分解

工程中比較常見的幾種非正弦周期量如圖7.1所示,圖(a)、(b)為脈沖電路中常遇到的尖脈沖和矩形脈沖信號,圖(c)所示鋸齒波是實驗室常用的示波器中掃描電壓所具有的波形。圖7.1幾種常見的非正弦波

非正弦信號可分為周期性的和非周期性的兩種。上述波形雖然形狀各不相同,但變化規(guī)律都是周期性的。含有周期性非正弦信號的電路,稱為非正弦周期電流電路。本章僅討論線性非正弦周期電流電路。 從高等數(shù)學(xué)中知道,凡是滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可分解為傅里葉級數(shù)。在電工技術(shù)中所遇到的周期函數(shù)通常都滿足這個條件,因此都可以分解為傅里葉級數(shù)。 設(shè)周期函數(shù)f(t)的周期為T,角頻率ω=2π/T,則其分解為傅里葉級數(shù)為

f(t)=A0+A1msin(ωt+θ1)+Ａ2msin(2ωt+θ2)+…+Akmsin(kωt+θk)+… =Ａ0+sin(kωt+θk)（7.1） 用三角公式展開,式（7.1）還可以寫成另外一種形式，即

f(t)=A0+(Akmsinθkcoskωt+Akmcosθksinkωt)=a0+ (akcoskωt+bksinkωt)（7.2）

上述兩式應(yīng)滿足下列關(guān)系:

其中a0、ak、bk為傅里葉系數(shù),可按下列各式求得 可見,將周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù),實質(zhì)上就是計算傅里葉系數(shù)a0、ak、bk。

式（7.1）中A0是不隨時間變化的常數(shù),稱為f(t)的直流分量或恒定分量,它就是f(t)在一個周期內(nèi)的平均值;第二項A1msin(ωt+θ1),其周期或頻率與原周期函數(shù)f(t)的周期或頻率相同,稱為基波或一次諧波;其余各項的頻率為基波頻率的整數(shù)倍,分別為二次、三次、…、k次諧波,統(tǒng)稱為高次諧波,k為奇數(shù)的諧波稱為奇次諧波,k為偶數(shù)的諧波稱為偶次諧波。圖7.2例7.1圖

例7.1求圖7.2所示矩形波的傅里葉級數(shù)。 解圖示周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為

根據(jù)前述有關(guān)知識得

當(dāng)k為奇數(shù)時,coskπ=-1,bk=(4Umπk)； 當(dāng)k為偶數(shù)時,coskπ=1,bk=0。 由此可知，該函數(shù)的傅里葉級數(shù)表達式為

1．周期函數(shù)為奇函數(shù) 奇函數(shù)是f(t)=-f(-t)的函數(shù),其波形對稱于原點,如表7.1中的三角波、梯形波、矩形波都是奇函數(shù)?？梢宰C明奇函數(shù)的a0=0,ak=0,所以奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只含有正弦項,不含直流分量和余弦項，可表示為 2．周期函數(shù)為偶函數(shù) 偶函數(shù)是f(t)=f(-t)的函數(shù),其波形對稱于縱軸,如表7.1中半波整流波、全波整流波均是偶函數(shù)。偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中bk=0,所以偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不含正弦項。

3．奇諧波函數(shù)

奇諧波函數(shù)是指函數(shù)f(t)滿足f(t)=-f(t+T/2)的函數(shù),也就是說,將波形移動半個周期后便與原波形對稱于橫軸,所以也叫鏡像函數(shù),如圖7.3所示,圖中虛線表示移動后的波形。表7.1中,三角波、梯形波、鋸形波都是奇諧波函數(shù)。交流發(fā)電機所產(chǎn)生的電壓實際為非正弦周期性的電壓（一般為平頂波）,也屬于奇諧波函數(shù)。圖7.3奇諧波函數(shù)

可以證明,奇諧波函數(shù)的傅里葉展開式中只含有奇次諧波,而不含直流分量和偶次諧波，可表示為

(k為奇數(shù))

函數(shù)對稱于坐標原點或縱軸,除與函數(shù)自身有關(guān)外,與計時起點也有關(guān)。而函數(shù)對稱于橫軸,只與函數(shù)本身有關(guān),與計時起點的選擇無關(guān)。因此,對某些奇諧波函數(shù),合理地選擇計時起點,可使它又是奇函數(shù)或又是偶函數(shù),從而使函數(shù)的分解得以簡化。如表7.1中的三角波、矩形波、梯形波,它們本身是奇諧波函數(shù),其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波,如表中選擇的計時起點,則它們又是奇函數(shù),不含余弦項,所以,這些函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只含有奇次正弦項。

有些函數(shù),從表面來看,該函數(shù)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù),如圖7.4（a）所示電壓u(t)。但如果對該函數(shù)作適當(dāng)?shù)淖兓?就可能很容易地得到該函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式。如將圖7.4（a）所示電壓可分解為圖7.4（b）、（c）所示電壓之和,即u(t)=u1(t)+u2(t)。根據(jù)例7.1的結(jié)果或查表7.1可得該函數(shù)的傅里葉級數(shù)為圖7.4波形的分解

例7.2

試把表7.1中振幅為50V、周期為0.02s的三角波電壓分解為傅里葉級數(shù)（取至五次諧波）。 解電壓基波的角頻率為

選擇它為奇函數(shù),查表7.1可得

思考題

1.一個半波整流后的電流波,其振幅為300mA，頻率為50Hz,查表7.1,將它分解為傅里葉級數(shù)（精確到四次諧波）。

2.奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇諧波函數(shù)各有什么異同點？

3.指出下列各函數(shù)的波形特征。

(1)f1(t)=6+5cosωt+3cos3ωt (2)f2(t)=6+4cos2ωt+2cos4ωt (3)f3(t)=10sinωt+8sin3ωt+6sin5ωt (4)f4(t)=12sinωt+8sin2ωt+4sin3ωt

4.下列各電流表達式都是非正弦周期電流嗎？

(1)i1=(10sinωt+3sinωt)A (2)i2=(10sinωt+3cosωt)A (3)i3=(10sinωt+3sin3ωt)A (4)i4=(10sinωt-5sinωt)A7.2非正弦周期電流電路中的有效值、 平均值和平均功率 7.2.1有效值 在第４章中已經(jīng)定義過,任何周期量的有效值等于它的方均根值。如周期電流i(t)的有效值I為

設(shè)某一非正弦周期電流分解為傅里葉級數(shù)為 將i(t)代入有效值定義式,得 將上式根號內(nèi)的平方項展開，展開后的各項可分為兩種類型。一類為各次諧波的平方,其值為

另一類為兩個不同次諧波乘積的兩倍,即

根據(jù)三角函數(shù)的正交性,上述函數(shù)在一個周期內(nèi)的平均值為零。

這樣可以求得非正弦周期電流i(t)的有效值為

同理,非正弦周期電壓u(t)的有效值為 （7.4）

應(yīng)當(dāng)注意的是,零次諧波的有效值為恒定分量的值,其它各次諧波有效值與最大值的關(guān)系是。（7.3）

例7.3

試求周期電壓u(t)=［100+70sin(100πt-70°)-40sin(300πt+15°)］V的有效值。

解

u(t)的有效值為

7.2.2平均值

除有效值外,非正弦周期量有時還引用平均值。對于非正弦周期量的傅里葉級數(shù)展開式中直流分量為零的交變量,平均值總為零。但為了便于測量和分析,一般定義周期量的平均值為它的絕對值的平均值。設(shè)周期電流為i(t),則 （7.5）

應(yīng)當(dāng)注意的是,一個周期內(nèi)其值有正、有負的周期量的平均值Iav與其直流分量I是不同的,只有一個周期內(nèi)其值均為正值的周期量,平均值才等于其直流分量。例如,當(dāng)i(t)=Imsinωt時,其平均值為 或

I=1.11Iav

同樣,周期電壓的平均值為 對周期量,有時還用波形因數(shù)Kf、波頂因數(shù)KＡ和畸變因數(shù)Kj來反映其性質(zhì):

(7.6)

式（7.6）中這兩個因數(shù)均大于1。一般情況下還有這樣的特點:周期函數(shù)的波形越尖,則這兩個因數(shù)越大;波形越平，則因數(shù)越小。波形因數(shù)越大,則受同樣電壓有效值作用的電器越容易損壞,在某些場合下應(yīng)特別注意。

畸變因數(shù)是表達非正弦周期函數(shù)的波形與正弦波的差異的量,它等于基波的有效值與非正弦周期函數(shù)的有效值之比,即 對上例的正弦量

（7.7）

對于同一非正弦周期電流,當(dāng)我們用不同類型的儀表進行測量時,往往會有不同的結(jié)果。如用磁電系儀表測量時,所得結(jié)果為電流的恒定分量;用電磁系或電動系儀表測量時,所得結(jié)果將是電流的有效值;用全波整流磁電系儀表測量時,所得結(jié)果將是電流的平均值,但標尺按正弦量的有效值與整流平均值的關(guān)系換算成有效值刻度,只有在測量正弦量時讀數(shù)為其實際有效值,而測量非正弦量時會有誤差。由此可見,測量非正弦周期電流或電壓時,要注意選擇合適的儀表,并注意各種不同類型儀表測量結(jié)果所代表的意義。

7.2.3平均功率 非正弦周期電流電路的平均功率仍可定義為

設(shè)某二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓u(t)、電流i(t)各為

式中,θuk、θik為k次諧波電壓、電流的初相。并設(shè)φk=θuk-θik,即k次諧波電壓超前于k次諧波電流的相位,所以 由于

因而

式中，Uk、Ik為k次諧波電壓、電流的有效值。 注意到三角函數(shù)的正交性,不同次諧波電壓、電流的乘積,它們的平均值均為零。所以,平均功率為(7.8)

上式說明,只有同頻率的電壓和電流相互作用才產(chǎn)生平均功率,不同頻率的電壓和電流相互作用只產(chǎn)生瞬時功率而不產(chǎn)生平均功率。總的平均功率等于各次諧波平均功率之和。 非正弦電流電路的無功功率則定義為各次諧波無功功率之和,即 （7.9）非正弦電流電路的視在功率則定義為（7.10）

應(yīng)當(dāng)注意:視在功率不等于各次諧波視在功率之和。 在工程計算中,為了計算簡便,往往采用等效正弦波替代原來的非正弦波。等效的條件是:

等效正弦量的有效值為非正弦量的有效值，等效正弦量的頻率為基波的頻率,平均功率不變。由此可得 （7.11）

cosφ也稱非正弦電路的功率因數(shù),φ為等效正弦電壓與電流的相位差。

例7.4

已知某電路的電壓、電流分別為

u(t)=［10+20sin(100πt-30°)+8sin(300πt-30°)］V

i(t)=［3+6sin(100πt+30°)+2sin500πt］A

求該電路的平均功率、無功功率和視在功率。

解平均功率為

無功功率為

視在功率為

思考題

1.試求周期電流i(t)=0.2+0.8sin(ωt-15°)+0.3sin(2ωt+40°)A的有效值。

2.測量交流信號的有效值、整流平均值、直流分量應(yīng)分別選用何種測量機構(gòu)的儀表？

3.試分別求出半波整流波和全波整流波的波形因數(shù)、波頂因數(shù)和畸變因數(shù)。7.3非正弦周期電流電路的計算

非正弦周期性電流電路的分析計算方法,主要是利用傅里葉級數(shù)將激勵信號分解成恒定分量和不同頻率的正弦量之和,然后分別計算恒定分量和各頻率正弦量單獨作用下電路的響應(yīng),最后利用線性電路的疊加原理,就可以得到電路的實際響應(yīng)。這種分析電路的方法稱諧波分析法。其分析電路的一般步驟如下: (1)將給定的非正弦激勵信號分解為傅里葉級數(shù),并根據(jù)計算精度要求,取有限項高次諧波。

(2)分別計算各次諧波單獨作用下電路的響應(yīng),計算方法與直流電路及正弦交流電路的計算方法完全相同。對直流分量,電感元件等于短路,電容元件等于開路。對各次諧波,電路成為正弦交流電路。但應(yīng)當(dāng)注意,電感元件、電容元件對不同頻率的諧波有不同的電抗。如基波,感抗為XL1=ωL,容抗為XC1=1/ωC;而對k次諧波,感抗為XLk=kωL=kXL1,容抗為XCk=1/kωC=(1/k)XC1,所以諧波次數(shù)越高,感抗越大,容抗越小。

(3)應(yīng)用疊加原理,將各次諧波作用下的響應(yīng)解析式進行疊加。需要注意的是,必須先將各次諧波分量響應(yīng)寫成瞬時值表達式后才可以疊加,而不能把表示不同頻率的諧波的正弦量的相量進行加減。最后所求響應(yīng)的解析式是用時間函數(shù)表示的。圖

7.5例

7.5圖

解因電源電壓的傅里葉級數(shù)已知,因而可直接計算各次諧波作用下的電路響應(yīng)。

(1)在直流分量Ｕ0=10V單獨作用下的等效電路如圖7.5(b)所示,這時電感相當(dāng)于短路,而電容相當(dāng)于開路。各支路電流分別為

(2)在基波分量u1(t)=100sinωtV單獨作用下,等效電路如圖7.5(c)所示,用相量法計算如下:

(3)在三次諧波分量u3=50sin(3ωt+30°)V單獨作用下,等效電路如圖7.5(d)所示。此時,感抗XL(3)=3ωL=6Ω,容抗XC(3)==5Ω。

把以上求得的基波分量、三次諧波分量化成瞬時值,屬于同一支路的進行相加,可得各支路電流為

各支路電流有效值分別為

R1支路吸收的平均功率為

P1=I1(0)U0+I1(1)U1cosφ1+I1(3)U3cosφ3

=2×10+18.6×100cos(-21.8°)+6.4×50cos50.19° =20+1727+204.8 =1951.8W

例7.6

圖7.6所示電路中,us=(10+50sinωt+30sin3ωt)V,已知R=10Ω,ωL=30Ω,ωL1=10Ω,1/ωC=90Ω。試求i(t)、

i1(t)、

u(t)。圖

7.6例

7.6圖

解

(1)對直流分量：

U0=10V

I0=I1(0)==1A (2)在基波作用下:

(3)對三次諧波,并聯(lián)的L1、C發(fā)生諧振,即3ωL1=1/3ωC=30Ω,這部分阻抗為無窮大,所以

因此,可以得到

i(t)=I0+i(1)+i（３）=［1+1.178sin(ωt-76.37°)］A

i1(t)=I1(0)+i1(1)+i1(3)=［1+1.325sin(ωt-76.37°)+sin(3ωt-90°)］A

u(t)=U0+u

(1)+u

(3)=［13.25sin(ωt+13.63°)+30sin3ωt］V

通過上述例題分析,應(yīng)當(dāng)充分注意到電容元件和電感元件對不同次諧波的作用。電感元件對高次諧波有著較強的抑制作用,而電容元件對高次諧波電流有暢通作用。同時,要特別注意電路中所隱含的諧振現(xiàn)象。 感抗和容抗對諧波作用不同的這種特性在工程實際中有著廣泛的應(yīng)用。例如，利用電感和電容的電抗隨頻率變化的特點可以組合成各種形式的電路,將這種電路連接在輸入和輸出之間時,可以讓某些所需要的頻率分量順利地通過而抑制某些不需要的分量。這種電路稱為濾波器,如圖7.7所示。濾波器在通信工程中應(yīng)用很廣,一般按照它的功用可以分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。

圖7.7(a)所示為一個簡單的低通濾波器,圖中電感元件對高頻電流有很強的抑制作用,而電容元件對高頻電流有很強的分流作用,這樣輸出信號中的高頻成分小,而低頻成分大。圖7.7(b)所示為最簡單的高通濾波器,其作用原理可進行類似分析。不過，實際濾波器電路的結(jié)構(gòu)要復(fù)雜得多。像圖7.7所示的簡單濾波器將難以滿足更好濾波特性的要求。

圖7.7簡單濾波器

思考題

1.一個電壓源的電壓為us(t)=(100sin100πt+5sin300πt)V,分別把R=100Ω的電阻元件、L=1/πH的電感元件、C=100/πμF的電容元件接到該電壓源。試分別求出它們的電流的解析式,并比較各電流的三次諧波振幅與基波振幅之比。

2.當(dāng)ωL=4Ω的電感與=36Ω的電容并聯(lián)后,外加電壓為u(t)=(18sinωt+3cos3ωt)V,求出總電流的解析式和有效值。

3.在RLC串聯(lián)電路中,已知R=100Ω,L=2.26mH,C=10μF,基波角頻率為ω=100πrad/s,試求對應(yīng)于基波、三次諧波、五次諧波時的諧波阻抗。

1．非正弦周期函數(shù)及其分解 電工技術(shù)中的非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)

f(t)=A0+Akmsin(kωt+θk)

或

f(t)=a0+(akcoskωt+bksinkωt)

根據(jù)波形的對稱性,可以確定它的傅里葉級數(shù)展開式中不含有哪些諧波分量。本章小結(jié)

2．周期性非正弦電流、電壓 有效值為 平均值為

平均功率為 無功功率為 視在功率為

3．非正弦周期性電流電路的分析計算——諧波分析法 分析計算的步驟:將激勵分解為傅里葉級數(shù),分別計算激勵的各次諧波單獨作用下的響應(yīng),最后把各次諧波響應(yīng)的解析式相加。

習(xí)題

7.1求出表7.1中鋸齒波的有效值和平均值。

7.2已知

f1(t)=10sinωt,f2(t)=2.5sin3ωt,試作

(1)f1(t)+f2(t)的波形；

(2)f1(t)-f2(t)的波形。

7.3圖示電路中兩個電壓源的頻率相同,電壓的有效值均為220V,us1(t)只含基波,us2(t)中含有基波和三次諧波,且三次諧波的振幅為基波振幅的1/4。試問a、b間電壓的有效值最大可能是多少？最小可能是多少？

7.4已知圖示二端口網(wǎng)絡(luò)的電壓u=311sin314tV,電流i=0.8sin(314t-85°+0